高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件 新人教A版选修22.ppt

1 2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 主题几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式1 怎样利用定义求函数y f x 的导数 提示 1 计算 并化简 2 观察当 x趋近于0时 趋近于哪个定值 3 趋近于的定值就是函数y f x 的导数 2 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 1 函数y f x c 常数 的导数的物理意义是什么 2 函数y f x x的导数的物理意义呢 提示 1 若y c表示路程关于时间的函数 则y 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0 即一直处于静止状态 2 若y x表示路程关于时间的函数 则y 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动 3 利用导数的定义可以求函数的导函数 但运算比较繁杂 有些函数式子在中学阶段无法变形 怎样解决这个问题 提示 可以使用给出的导数公式进行求导 简化运算过程 降低运算难度 4 你能发现8个导数公式之间的联系吗 提示 公式6是公式5的特例 公式8是公式7的特例 结论 导数的描述 0 cosx sinx 微思考 1 对于一些带有根号的函数如何求导 如y 提示 把y 转化为y 后再求导 2 若f x 2 则f x 的导数是多少 提示 函数f x 2 2为常数 所以f x 的导数是零 3 若f x x2 则f m 的含义是什么 提示 含义是函数f x x2在x m处对应的导数值 4 原函数的定义域与导函数的定义域相同吗 提示 不一定 如f x 与f x 的定义域不同 预习自测 1 曲线y xn在x 2处的导数为12 则n等于 a 1b 2c 3d 4 解析 选c y xn求导 得y nxn 1 令n 2n 1 12 解得n 3 2 已知f x 2x 则f 1 解析 因为f x 2x 所以f x 2xln2 所以f 1 21ln2 2ln2 答案 2ln2 3 正弦函数y sinx在x 处的切线方程为 解析 求导 y cosx 代入x 可得曲线y sinx在x 处的切线斜率为 又切点纵坐标为sin 即 所以所求切线方程为y x 去分母化简得12y 6 x 即x 12y 6 0 答案 x 12y 6 0 4 一物体在曲线s 上运动 则该物体在t 3时的瞬时速度为 解析 因为s 所以该物体在t 3时的瞬时速度为s 3 答案 5 点p是曲线y ex上任意一点 则点p到直线y x的最小距离为 解析 根据题意设平行于直线y x的直线与曲线y ex相切于点 x0 y0 该切点即为与y x距离最近的点 如图 则在点 x0 y0 处的切线斜率为1 因为y ex ex 所以ex0 1 得x0 0 代入y ex 得y0 1 即p 0 1 利用点到直线的距离公式得最小距离为 答案 类型一利用公式求函数的导数 典例1 1 给出下列结论 cos sin 若y 则y 若f x 3x 则 f 1 3 若y 则y 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 2 f x 则f 1 a b c d 解题指南 1 适当进行化简 再运用导数公式判断 2 注意先对式子f x 化简 再求导 解析 1 选a cos 为常数 则 cos 0 所以 错误 y x 2 所以 正确 因为f x 3x 所以f x 3 所以 f 1 0 所以 错误 y 所以 错误 2 选d 因为f x 所以f x 所以f 1 方法总结 应用导数公式求导的两个注意事项 1 应用导数公式时不需对公式说明 掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可 2 对一些函数求导时 要弄清一些函数的内部关系 合理转化后再求导 如y 可以转化为y 后再求导 巩固训练 求下列函数的导数 1 y 2 y 解析 1 2 类型二导数公式的应用 典例2 求曲线y x4在点p 2 16 处的切线方程 解题指南 判断出点p在曲线上后求出该点处的导数值 即得切线的斜率 解析 由已知得 点p在曲线上 y x4 4x4 1 4x3 所以当x 2时 y 4 23 32 所以点p 2 16 处的切线方程为y 16 32 x 2 即32x y 48 0 延伸探究 1 求曲线y x4过点q 0 3 的切线方程 解析 显然点q不在曲线上 设切点为 x0 y0 因为y 4x3 所以4x30 与y0 x40联立方程组 解得x0 1 y0 1 所以当切点为 1 1 时 切线斜率为4 切线方程为4x y 3 0 当切点为 1 1 时 切线斜率为 4 切线方程为4x y 3 0 2 已知直线l y x 1 点m为y x4上任意一点 求m在什么位置时到直线l的距离最短 解析 由题意知 在点m处的切线与直线l平行时 点m到直线l的距离最短 设m x1 y1 因为y 4x3 所以4x31 1 解得x1 所以点m的坐标为 方法总结 导数法解决切线问题 1 利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法 它适用于任何可导函数 是高考的热点 2 求曲线的切线方程时 一定要注意已知点是否为切点 若切点没有给出 一般是先设出切点 然后求出切点坐标 最后求切线方程 补偿训练 1 已知函数y x2的图象在点 x0 x20 处的切线为l 若l也与函数y lnx x 0 1 的图象相切 则x0必满足 a 0 x0 b x0 1c x0 d x0 解析 选d 函数y x2的导数为y 2x 在点 x0 x20 处的切线的斜率为k 2x0 切线方程为y x20 2x0 x x0 设切线与y lnx相切的切点为 m lnm 0 m 1 又y lnx的导数为y 可得2x0 切线方程为y lnm x m 令x 0 可得y lnm 1 x20 由0 m 1 可得x0 且x20 1 解得x0 1 由m 可得x20 ln 2x0 1 0 令f x x2 ln 2x 1 x 1 f x 2x 0 f x 在 1 上递增 且f 2 ln 1 0 f 3 ln 1 0 则有x20 ln 2x0 1 0的根x0 2 设坐标平面上的抛物线c y x2 过第一象限的点 a a2 作曲线c的切线l 则l与y轴的交点q的坐标为 l与x轴夹角为30 时 a 解析 因为y 2x