高中数学 第一章 数列 1.2.1.1 等差数列的定义和通项公式课件 北师大版必修5.ppt

2等差数列 2 1等差数列 第1课时等差数列的定义和通项公式 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与前一项的差是同一个常数 那么这个数列就叫作等差数列 这个常数就叫作等差数列的公差 通常用字母d表示 做一做1 下列数列是等差数列的是 答案 d 归纳总结理解等差数列注意以下几点 1 等差数列的定义还可以用数学符号语言表述为 在数列 an 中 如果an 1 an d 常数 对任意n n 或an an 1 d 常数 对任意n n 且n 2 都成立 那么称数列 an 为等差数列 常数d称为等差数列的公差 2 要注意定义中的an 1 an d 常数 是对任意n n 或an an 1 d 常数 对任意n n 且n 2 都成立 如有一项不满足 则 an 就不是等差数列 例如 数列1 1 2 3 4 5 就不是等差数列 3 常数列是公差等于0的等差数列 4 等差数列的公差d一定是由后一项减去前一项所得 不能颠倒顺序 2 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1 公差为d an为它的通项 则an a1 n 1 d 1 等差数列通项公式的推导方法除了教材中介绍的归纳法以外 还可用以下几种方法推导等差数列的通项公式 叠加法 由等差数列 an 的定义得a2 a1 d a3 a2 d an 1 an 2 d an an 1 d n 2 将这 n 1 个式子的等号两边分别相加 得an a1 n 1 d 即an a1 n 1 d 显然n 1时 a1也满足该式 叠加法是推导an 1 an f n 型数列的通项公式的一种重要方法 迭代法 an 是等差数列 an an 1 d an 2 d d an 2 2d an 3 d 2d an 3 3d a1 n 1 d n 2 an a1 n 1 d 显然n 1时 a1也满足该式 3 等差数列通项公式的函数特征 等差数列的通项公式是n的一次函数或是常数函数 由an a1 n 1 d 得an dn a1 d 设d p a1 d q 则上式变为an pn q 由此可见 等差数列的通项公式是n的一次函数 公差d 0 或常数函数 公差d 0 若数列的通项公式为an pn q p q为任意实数 则数列 an 是等差数列 等差数列的通项公式an a1 n 1 d dn a1 d是n的一次函数或常数函数 所以其图像是直线y dx a1 d 上的一些等间隔的点 这些点的横坐标是正整数 其中公差d是该直线的斜率 4 等差数列通项公式的应用 已知等差数列的首项和公差 可以求得这个数列的任意一项 在等差数列中 已知a1 n d an这四个量中的三个 可以求得另一个量 等差数列的首项a1和公差d称为等差数列的 基本量 列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法 做一做2 2016福建福州高二检测 2017是等差数列1 4 7 10 的第 a 673项b 672项c 671项d 670项答案 a 做一做3 在数列 an 中 a1 2 2an 1 2an 1 则a2017的值是 a 1010b 1009c 1008d 1007答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 等差数列的公差不能为0 2 若一个数列从第三项起 每一项与它前一项的差是同一个常数 则该数列为等差数列 3 若一个数列从第二项起 每一项与它前一项的差是常数 则该数列为等差数列 4 若数列 an 满足an pn q n n 其中p q为常数 则数列 an 一定为等差数列 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 1 下列各数列是等差数列的是 2 2 2 2 cos0 cos1 cos2 cos3 3m 3m a 3m 2a 3m 3a a 3 a 1 a 5 1 答案 2 分析 要证明三个数成等差数列 只要证明中间位置的数的2倍是另外两个数的和即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断或证明一个数列是不是等差数列的方法 1 若数列为有穷数列且各项已给出 可直接计算每一项与其前一项的差 按定义判断即可 2 若数列的通项公式已给出 可根据定义判断an 1 an d n n 是否满足即可 即若d是与n无关的常数 则是等差数列 否则 不是等差数列 3 要证明一个数列不是等差数列 只需举一个反例进行否定 也可证明an 1 an或an an 1 n 2 不是一个常数 而是一个与n有关的变数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 1 已知 an 为等差数列 且其前三项为a 2a 1 10 a 试求 an 的通项公式以及第20项 2 在等差数列 an 中 若a7 12 a15 4 求a30 并判断20是否是该数列中的项 分析 1 由前三项求出a的值 从而得首项和公差 即可求出通项公式 2 由a7和a15的值建立a1与d的方程组 求出a1与d的值即可求a30 并根据通项公式判断20是否是其中的项 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 因为a 2a 1 10 a是等差数列的前三项 所以2 2a 1 a 10 a 整理得4a 12 所以a 3 即前三项依次为3 5 7 因此首项a1 3 公差d 5 3 2 于是 an 的通项公式为an 3 2 n 1 即an 2n 1 数列 an 的第20项a20 2 20 1 41 2 设 an 的公差为d 于是 an 的通项公式为an 18 n 1 即an 19 n 所以a30 19 30 11 令19 n 20 解得n 1 n 所以20不是该数列中的项 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知等差数列 an a5 11 a8 5 求通项an 解 设数列 an 的公差为d 解得a1 19 d 2 所以 数列 an 的通项公式an 19 n 1 2 21 2n 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 已知成等差数列的四个数之和为26 第二个数与第三个数之积为40 求这四个数 分析 根据题意可设这四个数为a 3d a d a d a 3d 利用已知条件 求出a d 进而求出这四个数 解 设这四个数为a 3d a d a d a 3d 则由题设 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟已知几个数成等差数列 并满足其他条件 求这几个数时 通常采用如下设法 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间一项为a 再以公差d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数n为偶数时 可设中间两项分别为a d a d 再以公差2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3三个数成等差数列 其和为9 前两项之积为后一项的6倍 求这三个数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得本例错解都对 从第10项开始比1大 这句话理解不透彻 由等差数列的增减性知 这句话的含义表明a10 1 但里面也隐含着a9 1这一条件 因此解决等差数列的此类问题时要多结合等差数列本身的增减性 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知首项为 24的等差数列 从第10项开始为正数 则公差d的取值范围为 1 2 3 4 5 1 若一个无穷数列 an 的前4项分别是1 2 3 4 则下列说法中正确的是 a 它一定是等差数列b 它一定是递增数列c 通项公式是an nd 以上结论都不一定正确解析 仅给出数列的前4项 后面的项未知 所以不能确定该数列一定是等差数列或递增数列 通项公式也不一定是an n 答案 d 1 2 3 4 5 2 已知 an 为等差数列 且a7 2a4 1 a3 0 则公差d等于 答案 b 1 2 3 4 5 3 等差数列1 1 3 89共有项 答案 46 1 2 3 4 5 4 已知三个数成等差数列 它们的和等于15 且前两个数之积等于10 则这三个数分别为 解析 设三个数分别为a d a a d 则有 因此三个数分别为2 5 8 答案 2 5 8 1 2 3 4 5 5 已知a b c成等差数列 求证 a b a c b c成等差数列 证明 因为a b c成等差数列 所以b a c b 即2b a c 又因为2 a c a c a c a c 2b a b b c 所以a b a c b c也成等差数列 1 2 3 4 5 6 已知数列 an a1 a2 1 an an