高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修11.ppt

2 2双曲线2 2 1双曲线及其标准方程 主题1双曲线的定义1 取一条拉链 拉开一部分 然后固定拉后的两边 让一边长另一边短 用笔尖放在拉链处 随着拉链拉开的过程 笔尖画出的是什么曲线 提示 是两支曲线 若左边短右边长 画出的是左支 若右边短左边长 画出的是右支 2 在画出双支曲线 双曲线 的过程中有哪些不变的量 提示 两边的长度差不变 即动点到两定点的距离差不变 结论 双曲线的定义 平面内与两个定点f1 f2的 等于 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 叫做双曲线的焦点 叫做双曲线的焦距 距离的差的绝对值 非零常数 两个定点 两焦点间的距离 微思考 双曲线的定义中规定 距离的差的绝对值等于非零常数 小于 f1f2 若括号中条件不满足 会是什么结果 提示 若常数等于 f1f2 则轨迹为以f1 f2为端点的两条射线 若常数大于 f1f2 则轨迹不存在 主题2双曲线的标准方程1 根据双曲线的几何特征 如何建立坐标系求双曲线的方程 提示 选择x轴 或y轴 经过两个定点f1 f2 并且使坐标原点为线段f1f2的中点 然后按求轨迹方程的直接法的步骤 求出双曲线的方程 2 若以两焦点f1 f2所在直线为x轴 以线段f1f2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系 则此时双曲线上任一点m满足的条件是什么 提示 根据双曲线的定义知满足条件 mf1 mf2 2a a为定长 结论 双曲线的标准方程焦点在x轴上 a 0 b 0 焦点在y轴上 a 0 b 0 a b c的关系 c2 a2 b2 微思考 1 利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么 提示 确定参数a b的值 2 求双曲线的标准方程时 设双曲线方程的关键是什么 提示 关键是先确定焦点的位置 若双曲线的焦点位置不能确定 要分别写出焦点在x轴 y轴上的双曲线的标准方程 不能遗漏 预习自测 1 动点p到点m 1 0 n 1 0 的距离之差的绝对值为2 则点p的轨迹是 a 双曲线b 双曲线的一支c 两条射线d 一条射线 解析 选c 因为 pm pn 2 mn 所以点p的轨迹是两条射线 2 若方程表示焦点在y轴上的双曲线 则m的取值范围是 a 12c m 2d 2 m 2 解析 选c 由得m 2 3 已知双曲线 1上一点p到双曲线的一个焦点的距离为3 则点p到另一个焦点的距离为 解析 设双曲线的两个焦点为f1 f2 pf1 3 所以p在靠近f1的一支上 因为 pf2 pf1 2a 3 6 9 所以p到另一个焦点的距离为9 答案 9 4 双曲线焦点在x轴上 c 且经过点 5 2 求双曲线的标准方程 仿照教材例1的解析过程 解析 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 由题意得 解得a2 5 b2 1 故所求双曲线方程为 类型一求双曲线的标准方程 典例1 1 2017 嘉兴高二检测 已知双曲线两个焦点的坐标分别为f1 0 5 f2 0 5 双曲线上一点p到f1 f2的距离之差的绝对值等于6 则双曲线的标准方程为 2 动圆m与 c x 2 2 y2 2内切 且过点a 2 0 求圆心m的轨迹方程 解题指南 1 由题意知焦点在y轴上 设出标准方程利用待定系数法求解 2 利用两圆内切和圆过定点 可以得到点m满足的条件 进而判断符合双曲线的定义 解析 1 因为双曲线的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 1 a 0 b 0 因为2a 6 2c 10 所以a 3 c 5 所以b2 52 32 16 所以所求双曲线的标准方程为答案 2 设动圆m的半径为r 因为 c与 m内切 点a在 c外 所以 mc r ma r 因此有 ma mc 所以点m的轨迹是以c a为焦点的双曲线的左支 即m的轨迹方程是 延伸探究 本例 2 中条件改为动圆m与 c1 x 3 2 y2 9外切 且与 c2 x 3 2 y2 1内切 求圆心m的轨迹方程 解析 设 m的半径为r 因为 m与 c1外切 且 m与 c2内切 所以 mc1 r 3 mc2 r 1 因此 mc1 mc2 4 所以点m的轨迹是以c1 c2为焦点的双曲线的右支 所以m的轨迹方程是 1 x 2 方法总结 1 待定系数法求方程的步骤 1 定型 即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 2 设方程 根据焦点位置设出相应的标准方程的形式 若不知道焦点的位置 则进行讨论 或设双曲线的方程为ax2 by2 1 ab0 b 0 共焦点的双曲线的标准方程可设为 1 b2 a2 3 计算 利用题中条件列出方程组 求出相关值 4 结论 写出双曲线的标准方程 2 定义法求双曲线方程的步骤 1 列出动点满足的条件 2 整理化简条件式 若满足动点到两定点的距离的差 或差的绝对值 是常数 小于两定点间的距离 则可以判定动点的轨迹是双曲线的一支 或完整的双曲线 3 利用两定点间的距离和常数 可以求出a c 进而得系数b 可以写出标准方程 巩固训练 1 2017 济南高二检测 设f1 f2是双曲线的两个焦点 q是双曲线上任一点 从某一焦点引 f1qf2的平分线的垂线 垂足是p 则点p的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析 选a 如图所示 点q在双曲线的右支上 有 qf1 qf2 2a 延长f1p qf2交于l 因为 f1qp lqp qp f1p 所以 f1q ql 代入 则 ql qf2 2a 即 f2l 2a 取线段f1f2的中点o 则由p是f1l中点有 po f2l 2a a 所以p的轨迹是以o为圆心 以a为半径的圆 2 根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 双曲线的中心在原点 焦点在y轴上 且经过点 0 2 与 2 c 经过点 5 2 焦点在x轴上 解析 1 因为双曲线的中心在原点 焦点在y轴上 所以可设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 又双曲线经过点 0 2 与 所以双曲线方程为 2 因为焦点在x轴上 c 所以设所求双曲线方程为 1 其中0 6 因为双曲线经过点 5 2 所以所以 5或 30 舍去 所以所求双曲线方程是 y2 1 类型二双曲线定义的应用 典例2 已知双曲线 1的左 右焦点分别是f1 f2 若双曲线上一点p使得 f1pf2 60 求 f1pf2的面积 解题指南 首先根据题目信息得到该双曲线中的a b c的值且 pf1 pf2 sin f1pf2 再由 pf1 pf2 2a结合余弦定理即可求出 pf1 pf2 解析 由已知得a 3 b 4 c 5 所以 f1f2 2c 10 pf2 pf1 2a 6 由余弦定理得 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 又因为 pf1 2 2 pf1 pf2 pf2 2 36 所以 pf1 2 pf2 2 36 2 pf1 pf2 代入 式得100 36 2 pf1 pf2 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 64 所以 pf1 pf2 sin60 16 方法总结 双曲线中的焦点三角形双曲线上的点p与其两个焦点f1 f2连接而成的三角形pf1f2称为焦点三角形 令 pf1 r1 pf2 r2 f1pf2 因 f1f2 2c 所以有 1 定义 r1 r2 2a 2 余弦公式 4c2 2r1r2cos 3 面积公式 r1r2sin 一般地 在 pf1f2中 通过以上三个等式 所求问题就会顺利解决 巩固训练 设p为双曲线x2 1上的一点 f1 f2是该双曲线的两个焦点 若 pf1 pf2 3 2 则 pf1f2的面积为 解析 由已知得2a 2 又由双曲线的定义得 pf1 pf2 2 又 pf1 pf2 3 2 所以 pf1 6 pf2 4 又 f1f2 2c 由余弦定理得cos f1pf2 所以 pf1f2为直角三角形 所以 6 4 12 答案 12 类型三双曲线标准方程的应用 典例3 1 在方程mx2 my2 n中 若mn 0 则方程的曲线是 a 焦点在x轴上的椭圆b 焦点在x轴上的双曲线c 焦点在y轴上的椭圆d 焦点在y轴上的双曲线 2 已知方程kx2 y2 4 其中k为实数 对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型 解题指南 1 把方程化为标准方程再确定曲线类型 2 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论 解析 1 选d 方程mx2 my2 n可化为 因为mn0 所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线 2 当k 0时 y 2 表示两条与x轴平行的直线 当k 1时 方程为x2 y2 4 表示圆心在原点 半径为2的圆 当k1时 方程为 1 表示焦点在y轴上的椭圆 方法总结 双曲线标准方程的应用的关注点 1 已知方程所代表的曲线 求参数的取值范围时 应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式 再根据方程中参数取值的要求 建立不等式 组 求解参数的取值范围 2 牢记标准方程的特点 左端为两个平方项的差 右端为常数1 x2 y2的系数的正负决定焦点位置 a b的大小关系不确定 巩固训练 2016 全国卷 已知方程表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为4 则n的取值范围是 a 1 3 b 1 c 0 3 d 0 解析 选a 1表示双曲线 则 m2 n 3m2 n 0 所以 m2 n 3m2 由双曲线性质知 c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 所以焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 所以 1 n 3 延伸探究 2017 青岛高二检测 已知曲线c 1 t 0 t 1 1 求t为何值时 曲线c分别为椭圆 双曲线 2 求证 不论t为何值 曲线c有相同的焦点 解析 1 当 t 1时 t2 0 t2 1 0 曲线c为椭圆 当00 t2 1 0 曲线c为双曲线 2 当 t 1时 曲线c是椭圆 且t2 t2 1 因而c2 a2 b2 t2 t2 1 1 所以焦点为f1 1 0 f2 1 0 当0 t 1时 双曲线c的方程为因为c2 a2 b2 t2 1 t2 1 所以焦点为f1 1 0 f