高三数学第一轮复习《圆的方程》讲义.doc

圆的方程自主梳理1圆的定义在平面内，到_定点_的距离等于_定长_的点的_集合_叫圆2确定一个圆最基本的要素是_.圆心_和_半径_3圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 (r0)，其中_(a，b)_为圆心，_ r _为半径4圆的一般方程x2y2dxeyf0，若化为标准式，即为22由于r2相当于所以当d2e24f0时，圆心为，半径r 当d2e24f0时，表示一个点当d2e24f_r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2_0，圆心坐标为，半径r.方法二如图所示，设弦pq中点为m，o1mpq，ko1m2.又圆心坐标为，o1m的方程为y32，即y2x4.由方程组解得m的坐标为(1,2)则以pq为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.opoq，点o在以pq为直径的圆上(01)2(02)2r2，即r25，mq2r2.在rto1mq中，o1m2mq2o1q2.2(32)25.m3.半径为，圆心为. 方法三设过p、q的圆系方程为x2y2x6ym(x2y3)0 由opoq知，点o(0,0)在圆上 m30，即m3圆系方程可化为x2y2x6y3x2y30即x2(1)xy22(3)y0 圆心m，又圆心在pq上2(3)30，1，m3 圆心为，半径为变式训练2如图，已知圆心坐标为(，1)的圆m与x轴及直线yx分别相切于a、b两点，另一圆n与圆m外切且与x轴及直线yx分别相切于c、d两点(1)求圆m和圆n的方程；(2)过点b作直线mn的平行线l，求直线l被圆n截得的弦的长度解(1)m的坐标为(，1)，m到x轴的距离为1，即圆m的半径为1，则圆m的方程为(x)2(y1)21.设圆n的半径为r，连接ma，nc，om，则max轴，ncx轴，由题意知：m，n点都在cod的平分线上，o，m，n三点共线由rtoamrtocn可知，|om|on|ma|nc|，即r3，则oc3，则圆n的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过a点与mn平行的直线被圆n截得的弦的长度，此弦的方程是y(x)，即xy0，圆心n到该直线的距离d，则弦长为2.题型三与圆有关的最值问题例3已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上(1)求xy的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值解(1)设txy，则yxt，t可视为直线yxt的纵截距，所以xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1，所以xy的最大值为1，最小值为1.(4分)(2)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线方程为ykx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，所以的最大值为2，最小值为2.(8分)(3)，即，其最值可视为点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又因为圆心到定点(1,2)的距离为，所以的最大值为1，最小值为1.探究提高与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题变式训练3已知m为圆c：x2y24x14y450上任意一点，且点q(2,3)(1)求|mq|的最大值和最小值；(2)若m(m，n)，求的最大值和最小值 (1)|mq|max6，|mq|min2(2)的最大值为2，最小值为2已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题解(1)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.题型四与圆有关的轨迹问题例4已知p(4,0)是圆x2y236内的一点，a、b是圆上两动点，且满足apb90，求矩形apbq的顶点q的轨迹方程解 设ab的中点为r，坐标为(x1，y1)，则在rtabp中，|ar|pr|.又因为r是弦ab的中点，故|ar|2|ao|2|or|236(x12y12)，又|ar|pr|，所以有(x14)2y1236(x12y12)，即x12y124x1100.因此点r在一个圆上而当r在此圆上运动时，q点即在所求的轨迹上运动设q(x，y)，因为r是pq的中点，所以x1，y1.代入方程x12y124x1100，得224100，整理得x2y256.即矩形apbq的顶点q的轨迹方程为x2y256.探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程；几何法：利用圆与圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等变式训练4 设定点m(3,4)，动点n在圆 x2y24上运动，以om、on为两边作平行四边形monp，求点p的轨迹解如图所示，设p(x，y)，n(x0，y0)，则线段op的中点坐标为，线段mn的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而.n(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点p在直线om上时的情况)方法与技巧1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算失误与防范1求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程2过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况一、选择题1已知圆c：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为 ()a8 b4 c6 d无法确定2已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x4y40相切，则圆的方程是()ax2y24x0 bx2y24x0cx2y22x30 dx2y22x303在圆x2y22x6y0内，过点e(0,1)的最长弦和最短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为()a5 b10c 15 d20b圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦|ac|2，最短弦bd恰以e(0,1)为中心，设点f为其圆心，坐标为(1,3)故ef，bd22，s四边形abcdacbd10.4若直线axby1与圆x2y21相交，则p(a，b)() a在圆上 b在圆外c在圆内 d以上都有可能5圆x2y22x4y10关于直线2axby20 (a、br)对称，则ab的取值范围是()a. b. c. d.6已知两点a(2,0)，b(0,2)，点c是圆x2y22x0上任意一点，则abc面积的最小值是()a3 b3 c3 d.7已知函数y，x1,2，对于满足1x1x2x2x1； x2f(x1)x1f(x2)；(x2x1)f(x2)f(x1)0.其中正确结论的个数为()a1 b2 c3 d4二、填空题8已知圆c的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆c与直线xy30相切，则圆c的方程为_(x1)2y22_9设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于a、b两点，且弦ab的长为2，则a_0_.10已知点m(1,0)是圆c：x2y24x2y0内的一点，那么过点m的最短弦所在直线的方程是_ xy10 _11直线x2y2k0与2x3yk0的交点在圆x2y29的外部，则k的范围是_._12过原点o作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为p，q，则线段pq的长为_4_三、解答题13根据下列条件，求圆的方程：(1)经过a(6,5)、b(0,1)两点，并且圆心c在直线3x10y90上；(2)过三点a(1,12)，b(7,10)，c(9,2)解(1)ab的中垂线方程为3x2y150，由解得圆心为c(7，3)又|cb|，故所求圆的方程为(x7)2(y3)265. (2)设圆的一般方程为x2y2dxeyf0，则解得d2，e4，f95.所求圆的方程为x2y22x4y950.14已知以点p为圆心的圆经过点a(1,0)和b(3,4)，线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d，且|cd|4. (1)求直线cd的方程； (2)求圆p的方程解(1)直线ab的斜率k1，ab的中点坐标为(1,2)，直线cd的方程为y2(x1)， 即xy30.(2)设圆心p(a，b)，则由p在cd上得ab30. 又直径|cd|4，|pa|2，(a1)2b240 由解得或圆心p(3,6)或p(5，2)，圆p的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.15已知圆m过两点a(1，1)，b(1，1)，且圆心m在直线xy20上(1)求圆m的方程；(2)设p是直线3x4y80上的动点，pa、pb是圆m的两条切线，a、b为切点，求四边形pamb面积的最小值解(1)设圆m的方程为(xa)2(yb