2011年全国高中数学联赛平面几何题的背景探讨.pdf

8 2 上海 中学 数学 2 0 1 2年 第 1 2期 2 0 1 1年全国高中数学联赛平面几何题的背景探讨 3 1 4 0 5 0 浙 江省嘉兴市第一 中学 吕峰 波 2 0 1 1年全 国高中数 学联 赛加 试 平面 几何 试 题 为 如 图 1 P Q分 别 是 圆 内接 四边 形 AB C D A 的对 角 线 AC BD 的 中 点 若 BP A一 DP A 证 明 AQB一 C QB 笔者进行了研究 下 面对该 题 的背 景 和解 法 作一些探讨 引 理 1 如 图 2 MB MD 为 圆 0 的 两 条 切 线 MAC 为 o0 的 割 线 求 证 AB C D AD BC 证 明 因 为 MB为 0 的切线 图 1 图 2 所 以 MBA一 MC B 结 合 BMC C MB 可得 B MA cMB 可得 AB 同理 k DMAc o k C MD 所 以 而MA A面 D 所以 AB一 面 AD 可得 AB C D AD BC 在引理 1中 四边 形 ABC D 是 圆 内接 四边 形且对边乘积相等 我们 把这样 的 四边 形 为调 和 四边形 调和四边形具有 以下性质 A 引理 2 如 图 3 Q 是 圆内接 四边 形 ABCD 的 对 角 线 B D 的 中 点 AB CD AD BC 证 明 AQB一 C QB 图 3 解 AM 1pQ 1 M 的轨迹是以A 为 球 心 以 1 为 半 径 的 吉 球 面 s 一 百1 4 丌 1 2 号 证 明 由已知条件 AB C D A D B C 结 合托勒密定理 AB C D AD BC AC BD 得 到 A B C D AC B D A C 丢 B D 一 A C B Q 所 一 器 又 AB D AC D 得 到 ABQ AC D 所以 AQ B一 ADC 同理 可知 BC Qo o AC D 所 以 C QB一 ADc 因 此 AQB一 C QB 引理 2的逆命 题也是 成立 的 见引 理 3 字 母有调整 引理 3 P是 圆 内接 四边 形 ABC D 的 对 角线 AC 的 中点 若 BPA一 DPA 证 明 AB C D AD BC 证法一 在 线段 AC 上 取 点 S 使 C DS一 图 4 ADB 又 ABD 一 AC D 所 以 ABD S C D 所 以 A B 故 AB C D BD c S 在线段 AC上 取点 丁 使 C BT ABD 又 AC B一 ADB 所 以 C B丁 DB A 所 以 器一 A D B C B D c T 由 及托勒密定理 AB C D AD BC AC BD 可 知 AT S C 若 S T不与 P 重合 则 由于 P为线 段 A C 的 中点 S T在 P 的两侧 则 AT B APB 一 APD AS D 或 者 ATB APB APD ASD 但 由 ABD S C D 可 知 B AD 一 C S D 由 C BT DB A可 知 B AD一 直觉思 维在 解 决 数学 问题 中是广 泛 存 在 的 这就要求在 解决 数学 问题 时 要 注意 观察 激发灵感 不 断培养数学直 觉思维能 力 从 而富 有创造性 使 问题解决变得快速简捷 上 海 中学数 学 2 0 1 2年 第 1 2期 8 3 由等速螺线展开的联想 0 6 4 0 0 0 河北省唐 山市丰润 区丰润镇 中学 刘智全 众所周 知 阿基 米德 螺线 即等速 螺线 在极 坐标系下的方程为 p n 由这个方程 可得 到启 示进行联想 提出如下关于等速螺线的命题 命题 1 作半径 为 a的圆 以该 圆 的圆心 0 为端 点 向正方 向作 射 线 0 交 圆于 点 A 以 O 为端点将射线 O A 逆时针旋转 角 与圆交 于点 B 在 旋转后 的射 线 0 B上 取 一点 M 使 得 线 段 O M 等于弧长 A B 求 M 点的轨迹方程 如图 1 若 以 O A 所 在射 线 为 极 坐标 轴 0 为极点 设 M p 口 很容 易求得 M 点 的轨迹 的 极坐标方程 为 P a O 显然 M 点 的轨 迹 就是 等 速螺线 图 1 由命题 1又得 到启示 再进 行联 想 在 圆内 部任取一点 为端点 如法 炮制 就会 得 到新 的不 同于等速螺线 的新 的螺 线 进 一 步联 想 如果 把 圆换成任意 的简单 闭合 曲线 就会 得 到一 系 列 不同的螺线 由此得到如下更加普遍的命题 命题 2 在简单 闭合 曲线 C 内部任 取一 点 0 以 0为端点 向正方 向作射线 O A 交曲线 C于 B丁C 所 以 C S D 一 BT C 即 ATB一 AS D 矛 盾 所以 S T与 P重合 故 AB C D AD B C 证 法 二 过 D 作 圆 的切 线 与 C A 延 长 线 交 于 M 过 M 作 圆 的 另一条切线 MB B 为 切 点 则 由引 理 1 可知 AB c D AD B C 又 因 图 5 点 A 以 0为端 点将射 线 O A 逆时针 旋转 角 与曲线 C交 于点 B 在旋转后 的射线 0B上取一 点 M 使得线段 o M 等于 弧线长 AB 求 M 点 的 轨迹 方程 如图 2 若 以 O A 所在 射线 为极 坐标 轴 设 M p 设 闭合 曲线 C在此 极 坐标 系下 的方 程 为 C 由数 学分析 中的相关 知识 图 2 可 求 得 弧 线 A B 长 为 j C 2 d O 即 M 点 的 轨 迹 方 程 应 为 P I 我们将 M 点 的轨迹称 为 闭合 曲线 C 0 的 生成 螺线 例如命题 1中 C O a 由上面 的公 式 1 可知其曲线 C O 一a的生成螺线 的轨迹方程 为 ID I 口 0 t 0一 l a d o a O 由圆生成 的螺 线的 两个命 题 命题 3作半径为 a的圆 以该 圆上任取一 点 0为端点 向正 方 向作射 线 O A 交 圆于点 A 以 0为端点将射线 O A 逆 时针旋 转角 与 圆交 于点 B 在旋转后 的射 线 0 B上取 一点 M 使得 线段 O M 等于弧长 A B 求 M 点的轨迹方程 为 P 为 AC 中 点 由 引 理 2可 知 B PA一 DPA 所 以 B P A一 B PA 因为 B和 B 在 AC同侧 所 以 B和 B 重合 所 以 AB C D AD BC 由引理 2和引理 3的结合就可 以构成 2 0 1 1 年联 赛平面几 何 的解 答 这 样 的解法 充 分应用 了调和四边形