高中数学 第二单元 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教B版选修11.ppt

第二章 2 3抛物线 2 3 1抛物线及其标准方程 1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 掌握抛物线的标准方程及其推导过程 3 明确抛物线标准方程中p的几何意义 能解决简单的求抛物线标准方程问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一抛物线的定义 思考1 如图 在黑板上画一条直线ef 然后取一个三角板 将一条拉链ab固定在三角板的一条直角边上 并将拉链下边一半的一端固定在c点 将三角板的另一条直角边贴在直线ef上 在拉链d处放置一支粉笔 上下拖动三角板 粉笔会画出一条曲线 这是一条什么曲线 由画图过程你能给出此曲线的定义吗 答案 平面内到一个定点f和一条定直线l f l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 思考2 抛物线的定义中 l能经过点f吗 为什么 答案 不能 若l经过点f 满足条件的点的轨迹不是抛物线 而是过点f且垂直于l的一条直线 梳理从定义可以看出 抛物线不是双曲线的一支 双曲线有渐近线 而抛物线没有 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上 否则 动点的轨迹是一条 直线 知识点二抛物线的标准方程 思考1 抛物线方程中p有何意义 抛物线的开口方向由什么决定 p是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的方程中一次项决定开口方向 答案 思考2 抛物线标准方程的特点 答案 思考3 已知抛物线的标准方程 怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 系数为负 则焦点在负半轴上 焦点确定 开口方向也随之确定 答案 梳理抛物线的标准方程有四种类型 题型探究 类型一抛物线标准方程及求解 命题角度1由抛物线方程求焦点坐标或准线方程例1已知抛物线的方程如下 求其焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 解答 由方程y2 6x 知抛物线开口向左 2 3x2 5y 0 解答 3 y 4x2 解答 4 y2 a2x a 0 解答 如果已知抛物线的标准方程 求它的焦点坐标 准线方程时 首先要判断抛物线的对称轴和开口方向 一次项的变量若为x 或y 则x轴 或y轴 是抛物线的对称轴 一次项系数的符号决定开口方向 反思与感悟 答案 解析 2 若抛物线y2 2px的焦点坐标为 1 0 则p 准线方程为 答案 解析 2 x 1 命题角度2求解抛物线标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点为 2 0 解答 2 准线为y 1 解答 3 过点a 2 3 解答 解答 所求抛物线方程为y2 5x或y2 5x或x2 5y或x2 5y 反思与感悟 求抛物线方程 通常用待定系数法 若能确定抛物线的焦点位置 则可设出抛物线的标准方程 求出p值即可 若抛物线的焦点位置不确定 则要分情况讨论 焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2 ax a 0 焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2 ay a 0 跟踪训练2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 解答 方法一 点 3 4 在第四象限 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p1y p1 0 把点 3 4 的坐标分别代入y2 2px和x2 2p1y 得 4 2 2p 3 32 2p1 4 方法二设抛物线的方程为y2 ax a 0 或x2 by b 0 2 焦点在直线x 3y 15 0上 解答 令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为x2 20y或y2 60 x 类型二抛物线定义的应用 解答 2 是否存在m 使 ma mf 取得最小值 若存在 求此时点m的坐标 若不存在 请说明理由 如图 由于点m在抛物线上 所以 mf 等于点m到其准线l的距离 mn 于是 ma mf ma mn 所以当a m n三点共线时 ma mn 取最小值 亦即 ma mf 取最小值 这时m的纵坐标为2 可设m x0 2 代入抛物线方程得x0 2 即m 2 2 解答 反思与感悟 1 抛物线定义具有判定和性质的双重作用 本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程 又利用抛物线的定义 化曲折为平直 将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值 这是平面几何性质的典型运用 2 通过利用抛物线的定义 将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化 从而简化问题的求解过程 在解决抛物线问题时 一定要善于利用其定义解题 答案 解析 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2