高中数学 模块复习课2 利用空间向量解决空间问题课件 北师大版选修21.ppt

第2课时利用空间向量解决空间问题 知识网络 要点梳理 知识网络 要点梳理 填一填 x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1 a b cos p xa yb zc u1 u2 u n n1 n2 u1 u2 u n n1 n2 知识网络 要点梳理 一 夹角的计算1 利用空间向量解决立体几何中夹角问题的一般步骤 1 适当地构建空间直角坐标系 求得所对应点的坐标 2 用坐标表示空间向量及其数量积 3 代入空间向量夹角公式的坐标形式 4 提炼共性 转化为几何结论 2 利用向量求异面直线所成角的方法 利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角 再结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角 3 利用向量求二面角的大小的方法 1 转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角 注意 要特别关注两个向量的方向 2 转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角 或其补角 知识网络 要点梳理 4 利用向量求直线与平面所成角的方法 1 作或找出直线与平面所成角的平面角 再转化为这个平面角的两边对应的方向向量的夹角来求角 2 设直线与平面所成的角为 若直线的方向向量为a 平面的法向量为n 则有sin cos 知识网络 要点梳理 二 距离的计算1 求距离的一般方法和步骤 应用各种距离之间的转化关系和 平行移动 的思想方法 把所求的距离转化为点点距 点线距或点面距来求 2 求点到平面的距离的方法有三种 1 定义法 这是常规方法 首先过点向平面作垂线 确定垂足的位置 然后将该线段放到一个直角三角形中 最后通过解三角形求得点到平面的距离 2 等体积法 把点到平面的距离视为一个三棱锥的高 利用三棱锥转化底面求体积 从而求得点到平面的距离 3 向量法 这是我们常用的方法 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为 求出该平面的一个法向量 找到从该点出发的平面的任意一条斜线段所对应的向量 求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值 再除以法向量的模 即可求得点到平面的距离 知识网络 要点梳理 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 空间中任何两个向量都是共面向量 2 若两个非零向量共线 则这两个向量的夹角为0 3 设a b是两个非零向量 则a b a b 0 4 当直线的方向向量a与平面的法向量n垂直时 该直线与平面垂直 5 设n1 n2为平面 的法向量 则n1与n2的夹角即为两平面的夹角 6 直线l的方向向量为u 平面 的法向量为n 直线与平面所成的角为 则sin cos 专题归纳 高考体验 专题一空间角 例1 如图 已知两个正四棱锥p abcd与q abcd的高分别为1 2 ab 4 1 证明 pq 平面abcd 2 求异面直线aq与pb所成角的余弦值 思维点拨 1 连接ac bd 且设ac bd o 证明po 平面abcd qo 平面abcd 再说明p o q三点共线即可 2 建立空间直角坐标系 写出p a q b的坐标 再用求角的余弦值 专题归纳 高考体验 1 证明 如图 连接ac bd 设ac bd o 连接op oq p abcd与q abcd都是正四棱锥 po 平面abcd qo 平面abcd 从而p o q三点在一条直线上 pq 平面abcd 专题归纳 高考体验 2 解 由题设知 四边形abcd是正方形 ac bd 由 1 知 pq 平面abcd 分别以ca db qp所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系o xyz 专题归纳 高考体验 反思感悟求异面直线间的夹角主要有定义法 平移法 和向量法两种 定义法主要借助于构造出的平行四边形的对边和三角形的中位线 向量法就是在两条异面直线上取方向向量 将两条异面直线的夹角与两个方向向量的夹角联系在一起 但应注意两个方向向量 专题归纳 高考体验 变式训练1如图 已知四棱锥p abcd的底面为直角梯形 ab dc dab 90 pa 底面abcd 且pa ad dc ab 1 m是pb的中点 1 求证 平面pad 平面pcd 2 求ac与pb的夹角的余弦值 专题归纳 高考体验 解 由题易知pa ad pa ab ad ab 以a为坐标原点 ad长为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系 ap dc 又由题设知ad dc 且ap与ad是平面pad内的两条相交直线 由此得dc 平面pad 又dc 平面pcd 故平面pad 平面pcd 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 例2 如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 p是侧棱cc1上的一点 cp m 1 试确定m 使得直线ap与平面bdd1b1夹角的正切值为3 2 在线段a1c1上是否存在一个定点q 使得对任意的m d1q在平面apd1上的投影垂直于ap 并证明你的结论 思维点拨 本题主要考查线面关系 直线与平面夹角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 专题归纳 高考体验 解法一连接ac 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 1 0 0 b 1 1 0 p 0 1 m c 0 1 0 d 0 0 0 b1 1 1 1 d1 0 0 1 专题归纳 高考体验 2 存在点q满足题意 证明如下 设q x 1 x 1 专题归纳 高考体验 解法二 1 连接ac 设ac bd o ap与平面bdd1b1交于点g 连接og 如图所示 因为pc 平面bdd1b1 平面bdd1b1 平面apc og 所以og pc 又o为ac的中点 又ao db ao bb1 所以ao 平面bdd1b1 故 ago即为ap与平面bdd1b1的夹角 专题归纳 高考体验 2 存在点q满足题意 证明如下 依题意 要在a1c1上找一点q 使得d1q ap 可推测a1c1的中点o1即为所求的点q 因为d1o1 a1c1 d1o1 aa1 所以d1o1 平面acc1a1 又ap 平面acc1a1 故d1o1 ap 从而d1o1在平面ad1p上的投影与ap垂直 故存在定点q满足题意 反思感悟直线与平面的夹角的求法 专题归纳 高考体验 变式训练2如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧棱aa1 底面abcd ab dc aa1 1 ab 3k ad 4k bc 5k dc 6k k 0 1 求证 cd 平面add1a1 2 若直线aa1与平面ab1c的夹角的正弦值为 求k的值 专题归纳 高考体验 1 证明 如图 取cd的中点e 连接be ab de ab de 3k 四边形abed为平行四边形 be ad 且be ad 4k 在 bce中 be 4k ce 3k bc 5k be2 ce2 bc2 bec 90 即be cd 又be ad cd ad aa1 平面abcd cd 平面abcd aa1 cd 又aa1 ad a cd 平面add1a1 专题归纳 高考体验 则a 4k 0 0 c 0 6k 0 b1 4k 3k 1 a1 4k 0 1 专题归纳 高考体验 例3 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 已知dc dd1 2ad 2ab ad dc ab dc 1 设e是dc的中点 求证 d1e 平面a1bd 2 求平面a1bd与平面c1bd夹角的余弦值 思维点拨 1 本题可用常规法和向量法两种方法求解 2 用向量法求平面间的夹角的大小时 应结合夹角的取值范围来判断求出的是平面间的夹角 还是它的补角 专题归纳 高考体验 解法一 1 证明 如图 连接be 则四边形dabe为正方形 所以be ad a1d1 且be ad a1d1 所以四边形a1d1eb为平行四边形 所以d1e a1b 又因为d1e 平面a1bd a1b 平面a1bd 所以d1e 平面a1bd 专题归纳 高考体验 2 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设da 1 则d 0 0 0 a 1 0 0 b 1 1 0 c1 0 2 2 a1 1 0 2 专题归纳 高考体验 设m与n的夹角为 平面a1bd与平面c1bd的夹角为 专题归纳 高考体验 解法二以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系如解法一 2 中的图 设da a 由题意知d 0 0 0 a a 0 0 b a a 0 c 0 2a 0 c1 0 2a 2a a1 a 0 2a d1 0 0 2a e 0 a 0 因为a1b 平面a1bd d1e 平面a1bd 所以d1e 平面a1bd 2 取db的中点f dc1的中点m 连接a1f fm 专题归纳 高考体验 故 a1fm为所求平面间夹角的平面角 设平面a1bd与平面c1bd的夹角为 专题归纳 高考体验 反思感悟平面间夹角的求法 1 求两个平面的法向量n1 n2 2 两平面的夹角 或 专题归纳 高考体验 变式训练3如图 已知长方体abcd a1b1c1d1 ab 2 aa1 1 直线bd与平面aa1b1b的夹角为 ae垂直bd于点e 点f为a1b1的中点 1 求异面直线ae与bf的夹角的余弦值 2 求平面bdf与平面aa1b1b夹角的余弦值 专题归纳 高考体验 解 在长方体abcd a1b1c1d1中 以ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴 aa1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图 由已知ab 2 aa1 1 可得a 0 0 0 b 2 0 0 f 1 0 1 又ad 平面aa1b1b 专题归纳 高考体验 2 易知平面aa1b1b的一个法向量m 0 1 0 设n x y z 是平面bdf的法向量 专题归纳 高考体验 专题二空间距离 例4 在棱长为1的正方体abcd a b c d 中 1 求点a到直线b d的距离 2 求点a到平面bb d d的距离 3 求直线ab到平面cda b 的距离 解 以d为原点 da dc dd 分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则d 0 0 0 a 1 0 0 c 0 1 0 b 1 1 0 b 1 1 1 d 0 0 1 a 1 0 1 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 3 易知ab 平面cda b 即直线ab到平面cda b 的距离为点a到平面cda b 的距离 设平面cda b 的法向量为m x1 y1 z1 专题归纳 高考体验 反思感悟空间距离的求法 空间距离分为点线距 点面距 线面距 面面距 而线面距和面面距通常转化为点面距求解 专题归纳 高考体验 变式训练4已知四棱锥p abcd的底面abcd是边长为1的正方形 pd 平面abcd 且pd 1 e f分别为ab bc的中点 1 求点d到平面pef的距离 2 求直线ac到平面pef的距离 解 1 建立以d为坐标原点 da dc dp所在直线分别为x轴 y轴 z轴的空间直角坐标系 如图所示 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 因为e f分别为ab bc的中点 所以ac ef 因为ac 平面pef ef 平面pef 所以ac 平面pef 专题归纳 高考体验 考点一 空间向量及其运算1 2017课标 高考 已知向量a 1 2 b m 1 若向量a b与a垂直 则m 解析 因为a 1 2 b m 1 所以a b m 1 3 因为a b与a垂直 所以 a b a 0 即 m 1 2 3 0 解得m 7 答案 7 专题归纳 高考体验 2 2017课标 高考 已知向量a 2 3 b 3 m 且a b 则m 解析 a b a b 2 3 3 m 2 3 3m 0 解得m 2 答案 2 专题归纳 高考体验 考点二 利用空间向量求空间角3 2015四川高考 如图 四边形abcd和adpq均为正方形 它们所在的平面互相垂直 动点m在线段pq上 e f分别为ab bc的中点 设异面直线em与af所成的角为 则cos 的最大值为 专题归纳 高考体验 解析 以a为坐标原点 射线ab ad aq分别为x y z轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方形abcd和adpq的边长为2 则e 1 0 0 f 2 1 0 m 0 y 2 0 y 2 当t 0时 cos 0 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 4 2017课标 高考 如图 四棱锥p abcd中 侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd ab bc ad bad abc 90 e是pd的中点 1 证明 直线ce 平面pab 2 点m在棱pc上 且直线bm与底面abcd所成角为45 求二面角m ab d的余弦值 专题归纳 高考体验 解 1 取pa的中点f 连接ef bf 因为e是pd的中点 又bf 平面pab ce 平面pab 故ce 平面pab 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 5 2017课标 高考 如图 四面体abcd中 abc是正三角形 acd是直角三角形 abd cbd ab bd 1 证明 平面acd 平面abc 2 过ac的平面交bd于点e 若平面aec把四面体abcd分成体积相等的两部分 求二面角d ae c的余弦值 专题归纳 高考体验 解 1 由题设可得 abd cbd 从而ad dc 又 acd是直角三角形 所以 adc 90 取ac的中点o 连接do bo 则do ac do ao 又由于 abc是正三角形 故bo ac 所以 dob为二面角d ac b的平面角 在rt aob中 bo2 ao2 ab2 又ab bd 所以bo2 do2 bo2 ao2 ab2 bd2 故 dob 90 所以平面acd 平面abc 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 6 2017天津高考 如图 在三棱锥p abc中 pa 底面abc bac 90 点d e n分别为棱pa pc bc的中点 m是线段ad的中点 pa ac 4 ab 2 1 求证 mn 平面bde 2 求二面角c em n的正弦值 3 已知点h在棱pa上 且直线nh与直线be所成角的余弦值为 求线段ah的长 专题归纳 高考体验 向建立空间直角坐标系 依题意可得a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 4 0 p 0 0 4 d 0 0 2 e 0 2