高中数学 第二章 解三角形 习题课 正弦定理和余弦定理课件 北师大版必修5.ppt

第二章解三角形 习题课正弦定理和余弦定理 1 学会利用三角形中的隐含条件 2 进一步熟练掌握正弦 余弦定理在解各类三角形中的应用 3 初步应用正弦 余弦定理解决一些和三角函数 向量有关的综合问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一有关三角形的隐含条件 能 由于三角形中大边对大角 当a b时 有a b 由正弦定理 得2rsina 2rsinb 从而有sina sinb 答案 我们知道y sinx在区间 0 上不单调 所以由0 得不到sin sin 那么由a b为 abc的内角且a b 能得到sina sinb吗 为什么 梳理 三角形 这一条件隐含着丰富的信息 利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论 1 由a b c 180 可得sin a b cos a b tan a b sinc cosc tanc 2 由三角形的几何性质可得acosc ccosa bcosc ccosb acosb bcosa 3 由大边对大角可得sina sinb ab 4 由锐角 abc可得sinacosb b a c 知识点二解三角形的基本类型 余弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 1 1 0 1 2 正弦定理 1 知识点三三角形有关问题的解决思路 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化 转化为代数问题或者三角恒等式 再利用三角恒等变换解决问题 中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等 题型探究 类型一利用正弦 余弦定理解三角形 例1在 abc中 若c cosb b cosc cosa 求sinb的值 解答 由c cosb b cosc 结合正弦定理 得sinccosb sinbcosc 故sin b c 0 0 b 0 c b c b c 0 b c 故b c 由余弦定理 得3a2 2b2 引申探究1 对于例1中的条件 c cosb b cosc 能否使用余弦定理 解答 化简得a2 c2 b2 a2 b2 c2 c2 b2 从而c b 2 例1中的条件c cosb b cosc的几何意义是什么 解答 如图 作ad bc 垂足为d 则c cosb bd b cosc cd ccosb bcosc的几何意义为边ab ac在bc边上的射影相等 反思与感悟 1 边 角互化是处理三角形边 角混合关系的常用手段 2 解题时要画出三角形 将题目条件直观化 根据题目条件 灵活选择公式 跟踪训练1在 abc中 已知b2 ac a2 c2 ac bc 1 求a的大小 由题意知 b2 ac 解答 解答 类型二正弦 余弦定理与三角变换的综合应用 例2在 abc中 a b c分别为角a b c的对边 4sin2 cos2a 1 求a的度数 解答 4 1 cosa 4cos2a 5 即4cos2a 4cosa 1 0 0 a 180 a 60 2 若a b c 3 求b和c的值 解答 化简并整理 得 b c 2 a2 3bc 将a b c 3代入上式 得bc 2 反思与感悟 1 解三角形的实质是解方程 利用正弦 余弦定理 通过边 角互化 建立未知量的代数方程或三角方程 2 三角形内角和定理在判断角的范围 转化三角函数 检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用 跟踪训练2在 abc中 角a b c所对的边分别是a b c a2 c2 b2 求2sin2 sin2b的值 解答 解答 类型三正弦 余弦定理与平面向量的综合应用 ac 35 又 a 7 c 5 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosb 32 c 45 反思与感悟 利用向量的有关知识 把问题化归为三角形的边角关系 再结合正弦 余弦定理解三角形 跟踪训练3已知 abc的三内角a b c所对的边分别是a b c 设向量m a b sinc n c sinb sina 若m n 则角b的大小为 150 答案 解析 当堂训练 在 abc中 利用正弦定理 得 1 在锐角 abc中 角a b所对的边分别为a b 若2asinb 则角a等于 答案 解析 1 2 3 1 2 3 答案 解析 3 已知 abc中 a x b 2 b 45 若这个三角形有两解 则x的取值范围是 1 2 3 答案 解析 若三角形有两解 必须满足cd 2 x 规律与方法 1 对于给出条件是边角关系混合在一起的问题 一般运用正弦定理和余弦定理 把它统一为边的关系或把它统一为角的关系 再利用三角形的有关知识 三角恒等变形方法 代数恒等变形方法等进行转化 化简 从而得出结论 2