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2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（43） 已知椭圆的焦点坐标为（-1,0），（1,0），过垂直于长轴的直线交椭圆于p、q两点，且|pq|=3，（1） 求椭圆的方程；（2） 过的直线l与椭圆交于不同的两点m、n，则mn的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【命题分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问题. 考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点，焦点在哪条对称轴上；“定式”是指根据“形”设出相应的椭圆方程的具体形式；“定量”是指利用定义法或待定系数法确定的值.本题第一问利用椭圆的离心率和点在直线上得到两个等式求解的值；在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.本题的第二问利用直线和椭圆联立，借助求根公式和面积公式确定mn的内切圆的面积与k的函数关系式，构造函数留影求导确定是否存在问题.解：（1） 设椭圆方程为=1（ab0）,由焦点坐标可得c=1由pq|=3，可得=3，解得a=2，b=，故椭圆方程为=1（2） 设m，n,不妨0, 0,设mn的内切圆的径r，则mn的周长=4a=8，（mn+m+n）r=4r因此最大，r就最大，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，得，则ab（）=，令t=,则t1,则,令f（t）=3t+，则f(t) =3-，当t1时，f(t)0,f(t)在1,+)上单调递增，有f(t)f(1)=4, =3,即当t=1,m=0时，=3,
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