山西省忻州实验中学高三数学模拟试卷2 理（含解析）新人教A版.doc

2012-2013学年山西省忻州实验中学高三模拟数学试卷2（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2011清城区二模）设集合a=x|y=ln（1x），集合b=y|y=x2，则ab=（）a0，1b0，1）c（，1d（，1）考点：交集及其运算；对数函数的定义域专题：计算题分析：由集合a=x|y=ln（1x），表示函数y=ln（1x）的定义域，集合b=y|y=x2，表示y=x2的值域，我们不难求出集合a，b，再根据集合交集的定义，不难得到答案解答：解：a=x|y=ln（1x）=x|x1，b=y|y=x2=y|y0，ab=0，1）故选b点评：遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：求出m和n；借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围2（5分）（2011密山市模拟）已知等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）a64b81c128d243考点：等比数列分析：由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得d，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解解答：解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，q=2a1（1+q）=3，a1=1，a7=26=64故选a点评：本题主要考查了等比数列的通项及整体运算3（5分）已知公差不为零的等差数列等于（）a4bc8d10考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，且d0，可得a1=d，而=，代入计算可得答案解答：解：设等差数列an的公差为d，且d0则a1+9d=，即a1=d故=故选b点评：本题考查等差数列的前n项和公式及通项公式，属基础题4（5分）已知向量，满足|=|=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（）abcd考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题；平面向量及应用分析：将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出=，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值解答：解：|+|=1，（+）2=2+2+2=1|=|=1，得2=2=1代入上式得：2=1，=因此，向量，夹角的余弦为cos=故选：b点评：本题给出向量、满足的条件，求它们夹角的余弦之值，着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题5（5分）已知点（2，3）在双曲线c：上，c的焦距为4，则它的离心率为（）a2bcd考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：通过点在双曲线上，以及双曲线的焦距，列出方程组，求出a，b，然后求出双曲线的离心率解答：解：点（2，3）在双曲线c：上，c的焦距为4，所以，解得，a=1，b=；又c=2，所以e=2故选a点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，注意椭圆与双曲线中a、b、c的区别，考查计算能力6（5分）如图，abcd是边长为l的正方形，o为ad的中点，抛物线的顶点为o，且通过点c，则阴影部分的面积为（）abcd考点：定积分专题：计算题分析：以抛物线的顶点为原点，以平行于ab的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，则阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去抛物线与x=0，x=1，及x轴所围成的曲边梯形的面积解答：解：建立如图所示的坐标系，因为正方形abcd的边长为1，所以c（1，），设抛物线方程为y=ax2（a0），则，所以，抛物线方程为，图中阴影部分的面积为：=故选d点评：本题考差了定积分，考查了定积分的简单应用，解答此题的关键是，正确建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，找出被积函数的原函数，从而运用微积分基本定理求解，此题是中档题7（5分）（2010辽宁）设0，函数y=sin（x+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）abcd3考点：函数y=asin（x+）的图象变换专题：计算题；待定系数法分析：求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出的最小值解答：解：将y=sin（x+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2k，即，又因为0，所以k1，故，故选c点评：本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度8（5分）已知命题p：若a，br，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分不必要条件；命题q：已知a，b，c是锐角三角形abc的三个内角；向量，则与的夹角是锐角则（）ap假q真bp且q为真cp真q假dp或q为假考点：命题的真假判断与应用专题：转化思想分析：分别判断两个命题的真假，再利用真值表做出选择即可，命题p可举反例说明是假命题，命题q利用向量夹角的计算公式计算即可解答：解：|1|+|1|1，而|1+1|=01，命题p是假命题，a，b，c是锐角三角形abc的三个内角，a+b，即，absinasin（b），sinacosb，同理，sinbcosa，又a+b，cos（a+b）0=（1+sina）（1+sinb）+（1+cosa）（1cosb）=sina+sinbcosacosbcos（a+b）0与的夹角是锐角，命题q是真命题故选a点评：本题考查了命题真假的判断9（5分）（2010马鞍山模拟）点p到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）abcd考点：点到直线的距离公式；抛物线的应用专题：压轴题分析：到a和到直线的距离相等，则p点轨迹是抛物线方程，再注意b点，用上p到的距离和点p到b的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有=0，从而可求a的值解答：解：法一 由题意有点p在抛物线y2=2x上，设p（，y），则有（+）2=（a）2+（y2）2，化简得（a）y24y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a时，=0，有a3+=0，（a+）（a2a+）=0，a=故选d法二 由题意有点p在抛物线y2=2x上，b在直线y=2上，当a=时，b为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，b为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选d故选d点评：本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想法一代数法，法二是几何法10（5分）一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为（）abcd3考点：由三视图还原实物图专题：空间位置关系与距离分析：由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，设出三度，利用勾股定理，基本不等式求出最大值解答：解：将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，则设长方体的三度：x、y、z，所以x2+y2+z2=4，x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=3，可解得a2+b2=5ab（a2+b2）=，当且仅当a=b时取等号，则ab的最大值为故选c点评：本题考查三视图，几何体的结构特征，考查空间想象能力，基本不等式的应用，是中档题11（5分）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（）a（）b（1，2）c（，1）d（2，3）考点：函数零点的判定定理专题：计算题；压轴题分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0b1，f（1）=0，从而2a1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a0，g（1）=ln1+2+a=2+a0，函数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（，1）；故选c点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题12（5分）已知定义域为r的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且对xr，恒有f（x+1）f（x），则实数a的取值范围为（）a0，2bc1，1d2，0考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质专题：压轴题；函数的性质及应用分析：定义域为r的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，画出函数图象，可得13a2（a2）可得a的范围解答：解：定义域为r的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2=，f（x）的图象如图所示：当x0时，函数的最大值为a2，对xr，恒有f（x+1）f（x），要满足f（x+l）f（x），1大于等于区间长度3a2（a2），13a2（a2），解得a，故选b点评：考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）由命题“存在xr，使x2+2x+m0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+）考点：特称命题专题：计算题分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出xr，都有x2+2x+m0，再由0，求得m解答：解：“存在xr，使x2+2x+m0”是假命题，则其否命题为真命题，即是说“xr，都有x2+2x+m0”，根据一元二次不等式解的讨论，可知=44m0，所以m1m的取值范围为（1，+）故答案为：（1，+）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题考查转化、计算能力14（5分）（2011扬州三模）直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|有3个公共点时，实数k的取值范围是（0，1）考点：直线与圆锥曲线的关系专题：计算题分析：当 x2 时，曲线 y=2； 当2x1 时，曲线 y=2x2；当 1x0 时，曲线 y=+x2，如图所示：可得实数k的取值范围解答：解：当 x2 时，曲线 y=x（x2）=2；当2x1 时，曲线 y=x（2x）=2x2；当 1x0 时，曲线 y=（2x）=+x2如图所示：直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|有3个公共点时，实数k的取值范围是 0k1，故答案为 （0，1）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键15（5分）四棱锥pabcd的三视图如图所示，四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，e、f分别是棱ab、cd的中点，直线ef被球面所截得的线段长为，则该球表面积为12考点：球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积专题：计算题；压轴题分析：将三视图还原为直观图，得四棱锥pabcd的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径r，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积解答：解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥pabcd的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球且该正方体的棱长为a设外接球的球心为o，则o也是正方体的中心，设ef中点为g，连接og，oa，ag根据题意，直线ef被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得ag=a，所以正方体棱长a=2rtoga中，og=a=1，ao=即外接球半径r=，得外接球表面积为4r2=12故答案为：12点评：本题将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题16（5分）已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为sn，若a11，a43，s39，设bn=2nan，则b1+b2+bn的结果为4+n2n+1考点：数列的求和专题：计算题；压轴题分析：由已知可得a1+3d3，3a29d，a1+d3a13d3=2结合等差数首项a1及公差d都是整数可得a1=2 则d1d=1，从而可得an=2+1（n1）=n+1，bn=2nan=2n（n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可解答：解：因为a11，a43，s39，所以a1+3d3，3a29d，a1+d3a13d3=2等差数列an的首项a1及公差d都是整数a1=2 则d1d=1an=2+1（n1）=n+1bn=2nan=2n（n+1）令sn=b1+b2+bn=221+322+n2n1+（n+1）2n2sn=222+323+n2n+（n+1）2n+1得，sn=221+22+2n（n+1）2n+1=n2n+1sn=n2n+1故答案为：n2n+1点评：等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综合一直是数列部分的考查重点之一，而数列的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点，要注意方法的把握三、解答题（共70分要求写出详细解答过程）17（10分）已知函数f（x）=cos2x+sin2x（1）求f（x）的最大值和最小正周期；（2）设，f（）=，f（）=，求sin（+）的值考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：（1）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出函数f（x）的最大值，找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；（2）由（1）化简的f（x）解析式及已知的第一个等式，得到sin的值，由的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，再由已知的第二个等式，求出的度数，代入所求式子中利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值解答：解：（1）f（x）=cos2x+sin2x=（cos2x+sin2x）=sin（2x+），1sin（2x+）1，f（x）的最大值为，=2，周期t=；（2）f（+）=sin2（+）+=sin（+）=cos=，cos=，又0，sin=，f（+）=sin2（+）+=sin（+2）=sin（+）=，sin（+）=1，0，+，+=，即=，则sin（+）=sin（+）=sincos+cossin=点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键18（12分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc（）若，求tanc的大小；（）若a=2，abc的面积，且bc，求b，c考点：余弦定理的应用专题：综合题；解三角形分析：（）由3（b2+c2）=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosa，根据，即可求tanc的大小；（）利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论解答：解：（）3（b2+c2）=3a2+2bc，=cosa=，sina=，tanc=；（）abc的面积，bc=a=2，由余弦定理可得4=b2+c22bcb2+c2=5bc，联立可得b=，c=点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）已知为锐角，且，函数，数列an的首项a1=1，an+1=f（an）（1）求函数f（x）的表达式；（2）在abc中，若a=2，bc=2，求abc的面积（3）求数列an的前n项和sn考点：数列与函数的综合；数列的求和专题：综合题分析：（1）利用三角函数公式二倍角公式，两角和正弦公式分别求出tan2，sin（2+）的值，代入解析式即可求得函数f（x）的表达式（2）利用正弦定理求得ab，再用sabc=abbcsinb计算可得面积大小（3）由an+1=2an+1，先转化构造出数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列求出数列an的通项，再去求和解答：解：（1）=（分子分母同除以cos2）=1f（x）=2x+1（2）由（1）得a=2=，而，根据正弦定理易ab=，sabc=abbcsinb=（3）an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1）a1=1数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列可得an+1=2n，an=2n1，点评：本题考查函数与三角、数列的综合注意考查了三角函数公式、正弦定理、数列求和须具有较强的分析解决问题，计算，转化的思想与能力是难题20（12分）（2013石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc=90，pd面abcdad=1，bc=4（1）求证：bdpc；（2）求直线ab与平面pdc所成角；（3）设点e在棱pc、上，若de面pab，求的值考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题；证明题分析：（1）根据余弦定理求出dc的长，而bc2=db2+dc2，根据勾股定理可得bddc，而pd面abcd，则bdpd，pdcd=d，根据线面垂直判定定理可知bd面pdc，而pc在面pdc内，根据线面垂直的性质可知bdpc；（2）在底面abcd内过d作直线dfab，交bc于f，分别以da、df、dp为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知bd面pdc，则就是面pdc的法向量，设ab与面pdc所成角大小为，利用向量的夹角公式求出即可（3）先求出向量，设=（x，y，z）为面pab的法向量，根据=0，=0，求出，再根据de面pab，则=0求出即可解答：解：（1）dab=90，ad=1，ab=，bd=2，abd=30，bcaddbc=60，bc=4，由余弦定理得dc=2，（3分）bc2=db2+dc2，bddc，pd面abcd，bdpd，pdcd=d，bd面pdc，pc在面pdc内，bdpc（5分）（2）在底面abcd内过d作直线dfab，交bc于f，分别以da、df、dp为x、y、z轴建立如图空间坐标系，（6分）由（1）知bd面pdc，就是面pdc的法向量，（7分）a（1，0，0），b（1，0），p（0，0，a）=（0，0），=（1，0），（8分）设ab与面pdc所成角大小为，cos=，（9分）（0，）=（10分）（3）在（2）中的空间坐标系中a、（1，0，0），b、（1，0），p（0，0，a）c、（3，0），（11分）=（3，a），=（3，a），=+=（0，0，a）+（3，a）=（3，aa）（12分）=（0，0），=（1，0，a），设=（x，y，z）为面pab的法向量，由=0，得y=0，由=0，得xaz=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），（14分）由d、e面pab得：，=0，3a+aa=0，=（15分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面所成角和与二面角有关的立体几何综合题，属于中档题21（12分）已知椭圆（ab0）经过点m（1，），且其右焦点与抛物线的焦点f重合求椭圆c1的方程；直线l经过点f与椭圆c1相交于a、b两点，与抛物线c2相交于c、d两点求的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先求出抛物线的焦点坐标，则c可求，结合椭圆的隐含条件及点m（1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出a，b，c，d四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值解答：解：如图，解法1：由抛物线方程为y2=4x，得其焦点f（1，0），椭圆右焦点与抛物线焦点重合，c=1故a2b2=c2=1 又椭圆c1经过点， 由消去a2并整理，得，4b49b29=0，解得：b2=3，或（舍去），从而a2=b2+1=4 故椭圆的方程为解法2：由抛物线方程，得焦点f（1，0），c=1椭圆c1的左右焦点分别为f1（1，0），f2（1，0）椭圆（ab0）经过点m（1，），=4a=2，则a2=4，b2=a2c2=41=3故椭圆的方程为当直线l垂直于x轴时，则a（1，），b（1，），c（1，2），d（1，2）当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k0），则直线l的方程为：y=k（x1）联立，得：（3+4k2）x28k2x+4k212=0=（8k2）24（3+4k2）（12）=64k4+192k2+1440方程有两个不等的实数根设a（x1，y1），b（x2，y2）则，所以，=由，得，k2x2（2k2+4）x+k2=0=（2k2+4）24k4=16k2+160，方程有两个不等的实数根设c（x3，y3），d（x4，y4）k0，由抛物线的定义，得=综上，当直线l垂直于x轴时，取得最大值点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题22（12分）设函数（）当时，求f（x）的最大值；（）令，（0x3），其图象上任意一点p（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；压轴题分析：（i）函数的定义域是（0，+），把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有