高考数学总复习导学 第七篇 不等式第3讲 二元一次不等式与简单的线性规划问题 理 新人教A版.doc

第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【2013年高考会这样考】1考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)2考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围【复习指导】1掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)2理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合基础梳理1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0；直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0by0c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域(2)由于对直线axbyc0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入axbyc所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由ax0by0c的符号即可判断axbyc0表示直线axbyc0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线axbyc0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当c0时，常把原点作为测试点；当c0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值两个防范(1)画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化(2)求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值双基自测1(人教a版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为()a2xy30b2xy30c2xy30d2xy30解析将原点(0,0)代入2xy3得200330，所以不等式为2xy30.答案b2下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的点是()a(0,0) b(1,1) c(1,3) d(2，3)解析逐一代入得点(1,3)不在xy10表示的平面区域内答案c3如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是()a. b.c. d.解析两条直线方程为：xy10，x2y20.将原点(0,0)代入xy1得10，代入x2y2得20，即点(0,0)在x2y20的内部，在xy10的外部，故所求二元一次不等式组为答案a4(2011安徽)设变量x，y满足|x|y|1，则x2y的最大值和最小值分别为()a1，1 b2，2c1，2 d2，1解析法一特殊值验证：当y1，x0时，x2y2，排除a，c；当y1，x0时，x2y2，排除d，故选b.法二直接求解：如图，先画出不等式|x|y|1表示的平面区域，易知当直线x2yu经过点b，d时分别对应u的最大值和最小值，所以umax2，umin2.答案b5完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是_答案 考向一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(2011湖北)直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()a0个 b1个 c2个 d无数个审题视点 准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线2xy100与4x3y200的斜率即可判断解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点a(5,0)，且斜率k2kab，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点a(5,0)答案b 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分【训练1】 已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()a1 b3 c1或3 d0解析其中平面区域kxy20是含有坐标原点的半平面直线kxy20又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解平面区域如图所示，根据区域面积为4，得a(2,4)，代入直线方程，得k1.答案a考向二求线性目标函数的最值【例2】(2011广东)已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定若m(x，y)为d上的动点，点a的坐标为(，1)则zoo的最大值为()a3 b4 c3 d4审题视点 作出平行域d，然后解出目标函数z的表达式，用截距法求z的最大值解析画出区域d，如图中阴影部分所示，而zooxy，yxz，令l0：yx，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax24.答案b 求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解【训练2】 已知变量x，y满足条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是()a. b.c. d.解析画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a，a.答案d考向三求非线性目标函数的最值【例3】变量x、y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围审题视点 利用目标函数所表示的几何意义求解解由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得a.由解得c(1,1)由解得b(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的点与原点o连线的斜率观察图形可知zminkob.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点o的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|oc|，dmax|ob|.2z29. 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值【训练3】 如果点p在平面区域上，点q在曲线x2(y2)21上，那么|pq|的最小值为()a. b.1c21 d.1解析如图，当p取点，q取点(0，1)时，|pq|有最小值为.答案a考向四线性规划的实际应用【例4】某企业生产a，b两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)a产品394b产品1045已知生产每吨a产品的利润是7万元，生产每吨b产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？审题视点 题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此a，b两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出a，b两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数解设生产a，b两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得目标函数为z7x12y.作出可行域，如图阴影所示当直线7x12y0向右上方平行移动时，经过m(20,24)时z取最大值该企业生产a，b两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题【训练4】 (2011四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往a地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z()a4 650元 b4 700元c4 900元 d5 000元解析设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z450x350y，由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域，z450x350y50(9x7y)，在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元答案c难点突破16高考中线性规划问题近几年新课标高考对线性规划问题的考查主要是以选择题或填空题的形式出现，线性约束条件下的线