不变子群的判别条件.doc

不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设是的一个子群，如果对,都有,那么，就说是的一个不变子群. 记为：.设和是群中的两个元素，如果在中至少可找到这样的一个元素，使，则称与在中共轭.3正规化子：N(H)=gGH=H=gGgHg=H 称H在G中的正规化子。4同余关系：设集合A中有二元运算，记作乘法，若A的一个等价关系R满足：aRb, cRd acRbd a,b,cA 则称R为A的一个同余关系。一 判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.与定义等价的判别条件1.HG，即aG, 有aH=Ha2.aG,有aHa=H3.aG,有aHaH4.aG,hH,有ahaH5.aG,有aHHa6.aG,有HaHa7.aHbH=abH, a,bG 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.aG,有aHa=H10.aG,有aHaH11.aG,hH,有ahaH12.aG,有HaaH13.aG,有HaHa14.HaHb=Hab, a,bG 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当abH，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=G19.若nN，则所属的G的共轭元素C(n)H。即H由G的若干整个的共轭类组成。证明上述条件的等价性，在此采用两种证法.证法1：证明思路：29，310，411，512，613，714，815 8 17 18 1 2 3 4 5 6 1 19 7 16证明过程：2 9:aG,有aHa=H, 故a(aHa)a=aHa aHa=H9 2:aG,有aHa=H, 故a(aHa)a=aHa aHa=H3 10:aG,有aHaH ahaH aha=h h,hH h=aha ahaH aHaH10 3:aG,有aHaH aha=h h,hH h=aha ahaH aHaH aG4 11:aG, hH, 有ahaH aha=h hH aha=h ahaH hH11 4:aG,hH, 有ahaH aha=h hH aha=h ahaH hH5 12:aG，有aHHa ah=ha h,hH haaH HaaH12 5:aG，有HaaH ha=ah h,hH ahHa aH Ha6 13:aG,有HaHa haHa h=aha h,hH h=aha haHa HaHa aG13 6:aG，有HaHa aHaa(aHa)a 即aHaH aha=h h,hH haHa HaHa aG7 14:aHbH=abH,a,bG H(aHbH)H=H(abH)H HaHb=Hab,a,bG14 7:HaHb=Hab,a,bG H(aHbH)H=H(abH)H aHbH=abH,a,bG8 15:H在G 中的每个左陪集都是一个右陪集，即aG, 有aH=Ha 故Ha=aH aG 即H在G中的每个右陪集都是一个左陪集1 2:由H是G的不变子群，即aG,有aH=Ha,于是aHa=Haa=He=H2 3:aG,有aHa=H, 显然aHaH3 4:aG,有aHaH 故aG, hH有ahaH4 5:aG, ahaH ahHa hH aHHa 5 6:aG, aHHa a(aH )aHa HaHa aG6 1:aG, 有HaHa haHa h=aha ah=ha h,hH aHHa 且HaaH Ha=aH aG1 7:先证aHbHabH ： aG,有aH=Ha,设a,bG,存在h,h,h,hH,有ha=ah hb=bh 于是ahbh=hahb=abhh=abhabH aHbHabH再证 abHaHbH abh=ahb1aHbH abHaHbH a,bG综上 a,bG, 有 aHbH=abH7 4:设 aG,hH, 有ahaaHaH aHaH=aaH=H ahaH aG, hH17 4:设R是同余关系,aG, hH, 于是有ahRa, aRa (ah)aRaa 即 ahaRe, 亦即 ahaH4 17:gG, hH 有 ghgH, 设aRb, cRd , 则存在h,hH, 使得b=ah d=ch 又 (dhd)hH (bd)acH 即 acRbd , 亦即R为同余关系2 8:aG,aHa=H(aHa)a=HaaH=Ha即每个左陪集同时也是右陪集。8 2:若aH=Hb, 则aHb Ha=Hb 对aG, 有aH=Ha aHa=H1 18:若H不是G的不变子群,必存在xG,使xHHxxHxH, 但也有aG 使aHa=H, 令使aHa=H 在G中一切这样的元素之集合为 N(H) 即N(H)=aGaha=H a,bN(H)bHb=H (b)H(b)=H 故(ab)H(ab)=(b)(aHa)(b)=(b)Hb=H abN(H) N(H)为G的子群,由H是G的不变子群及N(H)的定义,可得N(H)=G18 1:由N(H)=G, 即对 aG, 有aHa=H aH=Ha aG1 19:由HG, 即 aG aH=Ha aHa=H ahaH hH 即H由G的若干整个的共轭类组成.19 1: hH, H都包含在G中的一切共轭元素 aG, 有ahaH 于是 aHaH,另一方面,对于a, 有 (a)HaH aHaH HaHa aHa=H Ha=aH aG 即 HG 1 16:设G=Ha为H之右陪集分解 HG aG aH=Ha HaHa=H(aH)a=Haa 又 Ha=H,aH, HaHa=Haa=Ha 即H=Ha 在陪集之积运算中是左单位元 又HaHa=Haa=h Ha=aH=(Ha) 即在陪集之积运算中任元有左逆元存在 并且(HaHa)Ha=HaaHa=Haaa=Ha(HaHa),即陪集之积运算满足结合律,把不变子群H的每个陪集Ha看成单独一元素，则所有陪集之集关于积运算构成群,即商群存在.16 5:设H是G的子群，商群存在 Ha,Hb,Hc,a,b,cG, 有HaHb=Hc又 abHaHb abHc Hab=Hc HaHb=Hab令 a=b, 有 HaHa=H aHaH aHHa证法2：证明思路：8 15 16 14 7 1 2 3 4 5 6 13 12 11 10 9 1 17 19 18 证明过程：1 23456, 4 17, 8 2, 714, 8 15证略6 13:aG,有HaHa, 故有 H(a)H(a)=aHa13 12:aG,有HaHa h=aha ha=ah haaH HaaH12 11:aG,HaaH 存在h,hH,有ha=ah aha=h ahaH11 10:hH,有ahaH ahaH10 9:要证aG, 有aha=H, 只要证 HaHa, 由10 ,有(a)H(a)H ahaH aHHa HaHa aHa=H9 1:aG, aha=H Ha=aH 即aH=Ha aG, 亦即HG1 7:由HG,即aG, aH=Ha aHbH=a(bH)H=a(bH)=abH14 11:设aG,hH, 有ahaHaHa=Haa=He=H 即aG,有ahaH16 14:设H是G的子群，且以H为模的G的剩余类成群 Ha ,Hb,Hc,a,b,cH 有HaHb=Hc,又abHaHb abHc Hab=Hc HaHb=Hab a,bG14 16:设G=Ha为H之右陪集分解,Ha,aHG,有HaHa=Haa 存在Ha=H aH, 使得 HaHa=Haa=Ha 即H=Ha 在陪集之积运算中是左单位元 又HaHa=Haa=H Ha=aH=(Ha) 即在陪集之积运算中任元有左逆元存在 并且(HaHa)Ha=HaaHa=Haaa=Ha(HaHa), 即陪集之积运算满足结合律,把不变子群H的每个陪集Ha看成单独一元素，则所有陪集之集关于积运算构成群.19 10:hH, H都包含h在G中的一切共轭元素，aG, 有ahaH 于是 aHaH aG10 19:aG,有aHaH ahaH 即H由G的若干整个的共轭类组成.18 9:由N(H)=aGaHa=H=G 即aG,有aHa=H9 18:令使aHa=H的G中一切这样的元素之集合为N(H) 即N(H)=aGaHa=Ha,bN(H) bHb=H (b)H(b)=H 故(ab)H(ab)=(b)(aHa)(b)=(b)Hb=HabN(H) N(H)为G的子群,由H是G的不变子群及N(H)的定义,可得N(H)=G(二).直接判断一个子群为不变子群的条件1 指数为2的子群为不变子群.证明:设群G，H是G的子群，由题设G:H=2 G=eHaH=HeHaaH=Ha aG, 即HG2 设G为群，H是G的子群,aG, ahaH, 则H是G的不变子群.证明:ahaH a(aHa)aaHa HaHa 又(a)HaH 即aHaH aG,aHa=H aH=Ha aG 即HG3.群G的中心C是G的一个不变子群.证明:C与G中的每个元素都可交换 对aG,有aC=Ca CG4.交换群的子群都是不变子群.证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH=ahhH=hahH =Ha aG HG 5.设A,B都是G的不变子群，则AB 是G的不变子群.证明:显然 AB 是G的子群,aG,xAB, axaA, axaBaxaAB 即ABG 推论1:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是G的不变子群.6.设A,B都是G的不变子群，则AB是G的不变子群.证明:显然 AB是G的子群, gG, xAB, 设x=ab gxg=g(ab)g=gaggbgAB 故ABG推论2:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是G的不变子群.7.设H是G的真子群，H=n ,且G的阶数为n的子群仅有一个，则H是G的不变子群.证明:xG 显然xHx是H的子群, 又知 f：hxhx hH, f是H到xHx的双射, 故 xHx=H=n, 由唯一性, xHx=H xG 因而H的G不变子群. 8. 设A,B,H都是G的不变子群,且AB，则AH是BH的不变子群. 证明：AH,BH显然都是G的不变子群，AB，AHBH 而AH是G的不变子群，故AH是BH的不变子群.二 举例应用判别条件 判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，应用等价条件，有时可使证明容易，过程简洁.例1：设 G=r,sQ r0 , G对于方阵乘法作成一个群,H=tQ , 则H是G的不变子群.证明：法1（利用定义）：G, H= , H= r0r,s是取定的有理数,故对s+t, 方程 rx+s=s+t在Q中有解, 即x=t/r故对 AH A= A= AH即 HH , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s在Q中有解 x=rt故 HH 从而有 H=H r0 r,sQ即H是G的不变子群.法2：（利用等价条件4）：G, =G, 对H有 =显然 H , 故H是G的不变子群.例2：设G是一个群，a,bG 符号 a b表示G中元素abab，称之为G的换位元 ,证明G的一切有限换位元的乘积所成的集合G是G的一个不变子群.证明：（利用等价条件4）：显然，G是G的子群，对任意a b和 gG ga bg=gababg=(ag)bagbbgbg=ag bb gG一般地，对G中任一元 a b a b a b 有ga ba ba bg=(ga bg)(ga bg)(ga bg)G,故 gGgG 即G是G的不变子群.注释：1.A G BG 又eA eB eAB, 设a,bAB则 a,bA 且 a,bB 故 abA且 abB abAB设 aAB, 则 aA且aB aA且aB aAB ABG即AB是G的子群2.AB=abaA, bB AG bA=Ab 又babA ba=ab,aA(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)AB又babA=Ab=ba=abAB ABG即AB是G的子群主要参考书目： 吴三品，近世代数M，北京：人民教育出版社，1982，80-87