高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1.1 综合法课件 新人教A版选修22.pptVIP

2 2直接证明与间接证明2 2 1综合法和分析法第1课时综合法 主题综合法1 观察下面不等式的证明过程 思考此证明过程是从什么方面入手证明结论成立的 在锐角三角形abc中 求证 sina sinb sinc cosa cosb cosc 证明 因为 abc为锐角三角形 所以a b 所以a b 因为y sinx在上是增函数 所以sina sin cosb 同理可得sinb cosc sinc cosa 所以sina sinb sinc cosa cosb cosc 提示 是从函数y sinx在上是增函数这一性质入手证明结论成立的 2 问题1中的证明过程是否为 顺推法 提示 证明过程是从已知入手 借助不等式的性质和三角函数的单调性得出结论的 所以是 顺推法 结论 1 综合法的定义一般地 利用 和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的 成立 这种证明方法叫做综合法 已知条件 推理论证 结论 2 综合法的流程其中p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的 q1 q2 qn表示中间结论 结论 微思考 1 综合法又叫由因导果法 其推理过程是合情推理还是演绎推理 提示 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理 因此所得到的每一个结论都是正确的 不同于合情推理中的 猜想 所以综合法是演绎推理 2 综合法逻辑推理的依据是什么 提示 综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论 预习自测 1 设a 0 b 0 a b 则a b的大小关系为 a a bb a bc a bd a b 解析 选c 因为a2 a 2 b a 0 b 0 b2 a b 所以a2 b2 即a b 2 设x 0 y 0 且x y 6 则lgx lgy的取值范围是 a lg6 b 2lg3 c lg6 d 2lg3 解析 选b 因为x 0 y 0 x y 6 所以2 6 即0 xy 9 所以lg xy lg9 即lgx lgy 2lg3 3 若实数a b满足0 a b 且a b 1 则下列四个数中最大的是 a b 2abc a2 b2d a 解析 选c 因为a b 1 a b 所以2ab又因为0 a b 且a b 1 所以a 所以a2 b2最大 4 在 abc中 若a b 则比较大小 sina sinb 填 b 所以sina sinb 答案 5 设x 0 y 0 则a与b的大小关系为a b 填 或 a 答案 类型一综合法证明不等式 典例1 已知a b c为互不相等的实数 求证 a4 b4 c4 abc a b c 解题指南 从已知不等式a2 b2 2ab出发 一步步由因到果直至推出要证的结论 证明 因为a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2a2c2 又a b c互不相等 所以上面三式中至少有一个式子不能取 所以a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 因为a2 b2 2ab 所以a2c2 b2c2 2abc2 同理a2b2 a2c2 2a2bc b2c2 b2a2 2ab2c 所以a2b2 b2c2 c2a2 abc2 a2bc ab2c 由 得a4 b4 c4 abc a b c 方法总结 综合法证明不等式的主要依据 1 a2 0 a r 2 a b 2 0 a b r 其变形有a2 b2 2ab ab a2 b2 3 若a b 0 则特别地 4 a2 b2 c2 ab bc ca a b c r 由基本不等式a2 b2 2ab 易得a2 b2 c2 ab bc ca 而此结论是一个很重要的不等式 许多不等式的证明都可以用该结论 5 a b c a2 b2 c2 ab bc ca这三个式子之间的关系由 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 给出 三个式子中知道两个式子 第三个式子可以由该等式用另外两个式子表示出来 拓展延伸 证明不等式的注意点在用综合法证明不等式时 常利用不等式的基本性质 如同向不等式相加 同向不等式相乘等 但在运用这些性质时 一定要注意这些性质成立的前提条件 巩固训练 已知x 0 y 0 x y 1 求证 证明 方法一 因为1 x y 所以又因为x 0 y 0 所以所以 5 2 2 9 方法二 因为x 0 y 0 x y 1 所以令x cos2 y sin2 则 5 2 5 2 2 9 补偿训练 已知a 0 b 0 且a b 1 求证 9 证明 因为a 0 b 0 a b 1 所以当且仅当即a 2b时 成立 类型二综合法证明数列问题 典例2 1 2017 温州高二检测 已知方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0的四个根组成一个首项为的等比数列 则 m n 2 设数列 an 的前n项和为sn 满足 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 且m 3 m 0 求证 an 是等比数列 若数列 an 的公比q f m 数列 bn 满足b1 a1 bn f bn 1 n n n 2 求证 为等差数列 解题指南 1 利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求m n 2 中关键是利用an 1与sn和sn 1之间的关系结合等比数列的定义 中利用定义说明 即 常数 n 2 解析 1 方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0 等价于x2 mx 2 0 或x2 nx 2 0 设方程 两根分别为x1 x4 方程 两根分别为x2 x3 则x1 x4 2 x1 x4 m x2 x3 2 x2 x3 n 因为方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0的四个根组成一个首项为的等比数列 所以x1 x2 x3 x4分别 为此数列的前四项且x1 x4 4 公比为2 所以x2 1 x3 2 所以m x1 x4 4 n x2 x3 1 2 3 故 m n 答案 2 由 3 m sn 2man m 3 得 3 m sn 1 2man 1 m 3 两式相减得 3 m an 1 2man 因为m为常数 m 0且m 3 所以所以 an 是等比数列 因为b1 a1 1 q f m 所以当n n 且n 2时 bn f bn 1 bnbn 1 3bn 3bn 1 又所以数列是以1为首项 为公差的等差数列 延伸探究 本例 2 中若m 1 试求数列 an 的前n项和 解析 若m 1 则由已知得 3 1 s1 2a1 4 所以a1 1 即数列 an 是以1为首项 为公比的等比数列 所以sn 2 21 n 方法总结 综合法证明数列问题的依据 巩固训练 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 解析 1 因为an 1 2an 2n 所以因为bn 所以bn 1 bn 1 所以数列 bn 是等差数列 其中b1 1 公差为1 2 由 1 知bn n an n 2n 1 因为sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 1 所以2sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n 两式相减得sn n 2n 1 20 1 21 1 2n 1 n 2n 2n 1 2n n 1 1 补偿训练 在等比数列 an 中 首项a1 1 公比q 0 n n 且n 1 求证lgan 1lgan 1 lgan 2 证明 因为 an 为等比数列 所以 an 1 an 1 n 1 又因为a1 1 公比q 0 n n 且n 1 所以lgan 1lgan 1 lgan 2 所以lgan 1lgan 1 lgan 2 类型三综合法证明其他问题 典例3 已知sin 是sin cos 的等差中项 sin 是sin cos 的等比中项 求证 cos4 4cos4 3 证明 由已知sin cos 2sin sin cos sin2 2 2 得4sin2 2sin2 1 又sin2 sin2 代入 得 2cos2 cos2 所以4cos22 cos22 所以所以cos4 4cos4 3 方法总结 综合法证明的关键 1 明确条件 充分寻找题目的条件 可在图形上标注 如立体几何的证明 并尽力对知识点进行拓展 联想 挖掘题目的隐含条件 2 关注目标 综合法证明问题一定要结合题目结论 明确证明方向 这样可少走弯路 3 注意转化思想的应用 巩固训练 1 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 1 求证 a为60 2 若sinb sinc 证明 abc为等边三角形 证明 1 由2asina 2b c sinb 2c b sinc 得2a2 2b c b 2c b c 即bc b2 c2 a2 所以cosa 所以a 60 2 由a b c 180 得b c 120 由sinb sinc 得sinb sin 120 b sinb sin120 cosb cos120 sinb sinb cosb 即sin b 30 1 因为0 b 120 所以30 b 30 150 所以b 30 90 即b 60 所以a b c 60 即 abc为等边三角形 2 2017 肇庆高二检测 如图 ab是圆o的直径 点c是弧ab的中点 点v是圆o所在平面外一点 d是ac的中点 已知ab 2 va vb vc 2 1 求证 od 平面vbc 2 求证 ac 平面vod 证明 1 因为o d分别是ab和ac的中点 所以od bc 又od 平面vbc bc 平面vbc 所以od 平面vbc 2 因为va vb o为ab的中点 所以vo ab 连接oc 在 voa和 voc中 oa oc vo vo va vc 所以 voa voc 所以 voc voa 90 所以vo oc 因为ab oc o 所以vo 平面abc 因为ac 平面abc 所以ac vo 又因为va vc d是ac的中点 所以ac vd 因为vo vd v 所以ac 平面vod 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 对综合法的四点说明 思维特点 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程 优点 条理清晰 易于表述 缺点 探