高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修21.ppt

2 4用向量讨论垂直与平行 一 二 三 思考辨析 一 空间中的垂直关系1 线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线 则该直线与此平面垂直 2 面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面垂直 3 三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影 则这两条直线垂直 4 三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线a垂直于平面外的一条直线b 那么a垂直于直线b在平面上的投影 一 二 三 思考辨析 名师点拨1 三垂线定理及其逆定理中的 平面内 这个条件不能省略 否则不一定成立 需要进一步证明 2 三垂线定理及其逆定理的区别 1 从两个定理的条件和结论上区分 三垂线定理是 线与投影垂直 线与斜线垂直 逆定理相反 2 从两个定理的作用上区分 三垂线定理解决已知 共面直线垂直 异面直线垂直 逆定理相反 一 二 三 思考辨析 做一做1 下列命题中 正确的命题是 a 若a是平面 的斜线 直线b垂直于a在 内的投影 则a bb 若a是平面 的斜线 平面 内的直线b垂直于a在 内的投影 则a bc 若a是平面 的斜线 b是平面 内的一条直线 且b垂直于a在 内的投影 则a bd 若a是平面 的斜线 直线b平行于平面 且b垂直于a在另一平面 内的投影 则a b解析 a错 直线b可能不在平面 内 b错 直线b在平面 内时才成立 c对 d错 射影应为在平面 内的射影 故选c 答案 c 一 二 三 思考辨析 二 空间中的平行关系1 线线平行判定定理若平面内的两条直线没有公共点 则这两条直线平行 2 线面平行判定定理若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行 则这条直线和这个平面平行 3 面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 则这两个平面平行 一 二 三 思考辨析 做一做2 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为a m n分别为a1b和ac上的点 a1m an a 则mn与平面bb1c1c的位置关系是 a 相交b 平行c 垂直d 不能确定 答案 b 一 二 三 思考辨析 三 利用方向向量 法向量判断线面的位置关系设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则有 名师点拨1 用向量法判定 或证明 线面平行与垂直 实质就是转化为证明直线的方向向量与平面的法向量的垂直与共线 2 直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的 在运用时应以运算简便为标准进行选择 一 二 三 思考辨析 做一做3 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为b 若a b 0 则 a l b l c l d l 或l 答案 d 做一做4 若平面 的法向量分别为u 1 2 2 v 3 6 6 则 a b c 相交但不垂直d 以上均错解析 平面 的法向量分别为u 1 2 2 v 3 6 6 v 3u u v 答案 a 一 二 三 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 一个平面的法向量都是同向的 2 平面的法向量与该平面内的所有向量都是垂直的 3 若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行 则这条直线与这个平面平行 4 若两个平面的法向量的坐标分别为n1 0 2 3 n2 1 a b 则这两个平面不可能平行 5 若两个平面垂直 则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直 6 若两平面 的法向量分别为u1 1 0 1 u2 0 2 0 则平面 互相垂直 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求平面的法向量 例1 已知四棱锥s abcd的底面是直角梯形 abc 90 ad bc sa 平面abcd sa ab bc 1 ad 试建立空间直角坐标系 求平面sab 平面sdc的一个法向量 思维点拨 由题意知ad 平面sab 可直接写出坐标 求平面sdc的法向量可用待定系数法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 取a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 sa 平面abcd ad 平面abcd sa ad 又 四边形abcd为直角梯形 abc 90 ad ab 令x 2 则y 1 z 1 n 2 1 1 即平面sdc的一个法向量为n 2 1 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟平面法向量的确定通常有两种方法 1 直接寻找 若能根据已知条件找出该平面的一条垂线 则可直接写出法向量 2 待定系数法 当平面的垂线不易确定时 可以利用待定系数法求解 具体步骤如下 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知平面 经过三点a 1 2 3 b 2 0 1 c 3 2 0 试求平面 的一个法向量 解 a 1 2 3 b 2 0 1 c 3 2 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用向量方法证明空间中的平行关系 例2 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 e f分别为bb1 dd1的中点 求证 1 fc1 平面ade 2 平面ade 平面b1c1f 思维点拨 画出示意图后用常规的方法也能将问题得以解决 但不如用向量法处理直接简单 因此本题可以通过建立空间直角坐标系 借助法向量来处理 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 如图 建立空间直角坐标系d xyz 则有d 0 0 0 a 2 0 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 e 2 2 1 f 0 0 1 设n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 分别是平面ade和平面b1c1f的法向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 取y1 1 则n1 0 1 2 同理可求n2 0 1 2 又fc1 平面ade fc1 平面ade 2 n1 n2 平面ade 平面b1c1f 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟运用空间向量解答立体几何问题应注意处理和把握好以下两大关系 一是向量法和纯几何法在解题中相互融合渗透的关系 大多数立体几何解答题 既可以用向量法求解 也可以用几何法求解 二是用向量法解题时 是选用基底向量 不建立空间直角坐标系 还是通过建立空间直角坐标系 选用坐标向量的关系 根据题目含义而定 对于出现垂直关系的特殊几何体 如正方体 长方体 直棱柱 有一条侧棱垂直于底面的棱锥等 往往通过建立空间直角坐标系解答较为方便 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g h m n分别是正方体六个面的中心 求证 平面efg 平面hmn 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法一以点d为坐标原点 分别以da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系d xyz 如图 不妨设正方体的棱长为2 则e 1 1 0 f 1 0 1 g 2 1 1 h 1 2 1 m 1 1 2 n 0 1 1 hm 平面hmn nh 平面hmn ef 平面hmn fg 平面hmn ef 平面efg fg 平面efg ef fg f 平面efg 平面hmn 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法二建立空间直角坐标系如证法一 设平面efg的法向量为m x1 y1 z1 从而得x1 y1 z1 设x1 1 则m 1 1 1 设平面hmn的法向量为n x2 y2 z2 从而得x2 y2 z2 设x2 1 则n 1 1 1 m n 平面efg 平面hmn 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用向量方法证明空间中的垂直关系 例3 在正棱锥p abc中 三条侧棱两两互相垂直 g是 pab的重心 e f分别为bc pb上的点 且be ec pf fb 1 2 求证 1 平面gef 平面pbc 2 eg是pg与bc的公垂线段 思维点拨 证明面面垂直通常有两种方法 一是利用面面垂直的判定定理 转化为线面垂直 线线垂直证明 二是证明两个平面的法向量互相垂直 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 1 方法一 如图 以三棱锥的顶点p为原点 以pa pb pc所在直线分别作为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 令pa pb pc 3 则a 3 0 0 b 0 3 0 c 0 0 3 e 0 2 1 f 0 1 0 g 1 1 0 p 0 0 0 pa fg 而pa 平面pbc fg 平面pbc 又fg 平面efg 平面efg 平面pbc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 方法二 同方法一 建立空间直角坐标系 则e 0 2 1 f 0 1 0 g 1 1 0 平面efg 平面pbc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 eg pg eg bc eg是pg与bc的公垂线段 反思感悟用空间向量法证明立体几何中的垂直问题 主要运用了直线的方向向量和平面的法向量 同时也要借助空间中已有的一些关于垂直的定理 此种类型的题主要考查数形结合的思想 以及转化与化归的思想 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 d1b1的中点 求证 ef 平面b1ac 证法一如图 取a1b1的中点g 连接eg fg a1b 则fg a1d1 eg a1b a1d1 平面a1abb1 fg 平面a1abb1 a1b ab1 eg ab1 由三垂线定理 得ef ab1 同理ef b1c 又 ab1 b1c b1 ef 平面b1ac 探究一 探究二 探究三 思维辨析 同理 ef b1c 又 ab1 b1c b1 ef 平面b1ac 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法三设正方体的棱长为2 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 2 0 0 c 0 2 0 b1 2 2 2 e 2 2 1 f 1 1 2 1 0 1 2 1 2 0 ef ab1 ef ac 又 ab1 ac a ef 平面b1ac 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽视直线与平面平行的条件致误 典例 已知a 1 0 0 b 0 1 1 c 1 1 0 d 1 2 0 e 0 0 1 则直线de与平面abc a 直线de与平面abc平行b de 平面abcc 直线de与平面abc相交d 直线de与平面abc平行或de 平面abc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 所以a b c d四点共面 即点d在平面abc内 所以de 平面abc 选b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得当直线的方向向量与平面的法向量垂直时 直线与平面的位置关系有两种 一是直线与平面平行 二是直线在平面内 具体是哪一种 应进一步考查 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若直线l的方向向量为a 3 1 4 平面 的法向量为n 则直线l与平面 的位置关系是 所以a n 所以l 或l 即直线与平面平行 或直线在平面内 答案 l 或l 12345 1 下列说法不正确的是 a 平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量b 一个平面的所有法向量互相平行c 如果两个平面的法向量垂直 那么这两个平面也垂直d 如果a b与平面 共面 且n a n b 那么n就是平面 的一个法向量解析 对于选项d 若a与b共线 则n就不一定是平面 的法向量 答案 d 12345 2 在三棱锥p abc中 cp ca cb两两垂直 ac cb 1 pc 2 在如图所示的空间直角坐标系下 下列向量是平面pab的法向量的是 面pab的一个法向量为n x y 1 则x 2 0 x y 0 即y x 2 答案 a 12345 则 a l b l c l d l与 斜交解析 b 2a a b l 答案 b 12345 4 正方体abcd a1b1c1d1的边长为4 m n e f分别是棱a1d1 a1b1 d1c1 b1c1的中点 求证 平面amn 平面efbd 证明 如图 建立空间直角坐标系d xyz 则a 4 0 0 m 2 0 4 n 4 2 4 d 0 0 0 b 4 4 0 e 0 2 4 f 2 4 4 取mn的中点g及ef的中点k bd的中点q 连接ag qk 则g 3 1 4 k 1 3 4 q 2 2 0 12345 所以mn ef ag qk 又mn ag 平面efbd ef qk 平面efbd 所以mn 平面efbd ag 平面efbd 又mn ag g