高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题三 三角函数与解三角形刺 第2讲 三角恒等变换与解三角形课件 文.ppt

第2讲三角恒等变换与解三角形 考情分析 总纲目录 考点一三角恒等变换及求值1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 sin sin cos cos sin 2 cos cos cos sin sin 3 tan 典型例题 1 2017课标全国 理 15 5分 已知 tan 2 则cos 2 2017江苏 5 5分 若tan 则tan 3 2017安徽合肥第一次教学质量检测 已知sin2 2 2cos2 则sin2 sin2 答案 1 2 3 1或 解析 1 因为 且tan 2 所以sin 2cos 又sin2 cos2 1 所以sin cos 则cos cos cos sin sin 2 因为tan 所以tan tan 3 由sin2 2 2cos2 得sin2 2 2cos2 即2sin cos 4cos2 即cos 0或tan 2 当cos 0时 sin2 sin2 1 当tan 2时 sin2 sin2 综上 sin2 sin2 1或 方法归纳三角恒等变换的 4大策略 1 常值代换 特别是 1 的代换 1 sin2 cos2 tan45 等 2 项的分拆与角的配凑 如sin2 2cos2 sin2 cos2 cos2 等 3 降次与升次 正用二倍角公式升次 逆用二倍角公式降次 4 弦 切互化 一般是切化弦 跟踪集训1 2017河南洛阳第一次统考 若sin 则cos 答案 解析依题意得cos cos cos 2sin2 1 2 1 2 2017云南第一次统一检测 计算 用数字作答 答案 解析 考点二正 余弦定理在解三角形中的应用 高频考点 命题点 1 利用正 余弦定理求三角形的角 2 利用正 余弦定理求三角形的边长或周长 3 利用正 余弦定理求三角形的面积 1 正弦定理及其变形在 abc中 2r r为 abc的外接圆半径 变形 a 2rsina sina a b c sina sinb sinc等 2 余弦定理及其变形在 abc中 a2 b2 c2 2bccosa 变形 cosa 3 三角形面积公式s abc absinc bcsina acsinb 典型例题 1 2017课标全国 16 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若2bcosb acosc ccosa 则b 2 2017课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sina cosa 0 a 2 b 2 求c 设d为bc边上一点 且ad ac 求 abd的面积 解析 1 解法一 由正弦定理得2sinbcosb sinacosc sinccosa 即sin2b sin a c 即sin2b sin 180 b 可得b 60 解法二 由余弦定理得2b a c 即b b 所以a2 c2 b2 ac 所以cosb 又0 b 180 所以b 60 2 由已知可得tana 所以a 在 abc中 由余弦定理得28 4 c2 4ccos 即c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 由题设可得 cad 所以 bad bac cad 答案 1 60 故 abd面积与 acd面积的比值为 1 又 abc的面积为 4 2sin bac 2 所以 abd的面积为 方法归纳解三角形的一般方法 1 已知两角和一边 如已知a b和c 由a b c 求c 由正弦定理求a b 2 已知两边和这两边的夹角 如已知a b和c 应先用余弦定理求c 再应用正弦定理先求较短边所对的角 然后利用a b c 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如已知a b和a 应先用正弦定理求b 由a b c 求c 再由正弦定理或余弦定理求c 要注意解可能有多种情况 4 已知三边a b c 可应用余弦定理求a b c 跟踪集训1 2017浙江 14 6分 已知 abc ab ac 4 bc 2 点d为ab延长线上一点 bd 2 连接cd 则 bdc的面积是 cos bdc 解析 ab ac 4 bc 2 cos abc abc为三角形的内角 sin abc sin cbd 故s cbd 2 2 bd bc 2 abc 2 bdc 又cos abc 2cos2 bdc 1 得cos2 bdc 又 bdc为锐角 cos bdc 答案 2 2017课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sin a c 8sin2 1 求cosb 2 若a c 6 abc的面积为2 求b 解析 1 由题设及a b c 得sinb 8sin2 故sinb 4 1 cosb 上式两边平方 整理得17cos2b 32cosb 15 0 解得cosb 1 舍去 或cosb 2 由cosb 得sinb 故s abc acsinb ac 又s abc 2 则ac 由余弦定理及a c 6得b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac 1 cosb 36 2 4 所以b 2 考点三正 余弦定理的实际应用解三角形应用题的常考类型 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 典型例题 2017福建福州综合质量检测 如图 小明在山顶a处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶 小明在a处测得公路上b c两点的俯角分别为30 45 且 bac 135 若山高ad 100m 汽车从b点到c点历时14s 则这辆汽车的速度约为m s 精确到0 1 参考数据 1 414 2 236 解析因为小明在a处测得公路上b c两点的俯角分别为30 45 所以 bad 60 cad 45 设这辆汽车的速度为vm s 则bc 14v 在rt adb中 ab 200 在rt adc中 ac 100 在 abc中 由余弦定理 得bc2 ac2 ab2 2ac ab cos bac 所以 14v 2 100 2 2002 2 100 200 cos135 所以v 22 6 所以这辆汽车的速度约为22 6m s 答案22 6 方法归纳解三角形中的实际问题的四个步骤 1 分析题意 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解题中的有关名词 术语 如坡度 仰角 俯角 方位角等 2 根据题意画出示意图 并将已知条件在图形中标出 3 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正弦定理 余弦定理等有关知识正确求解 4 检验解出的结果是否具有实际意义 对结果进行取舍 得出正确答案 跟踪集训 2017广东惠州第三次调研 如图所示 在一个坡度一定的山坡ac的顶上有一高度为25m的建筑物cd 为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 在山坡的a处测得 dac 15 沿山坡前进50m到达b处 又测得 dbc 45 根据以上数据可得cos 答案 1 解析由 dac 15 dbc 45 可得 bda 30 dba 135 bdc 90 15 30 45 由三角形内角和定理可得 dcb 180 45 45 90 根据正弦定理可得 即db 100sin15 100 sin 45 30 25 1 又 即 得cos 1 考点四与解三角形有关的创新交汇问题正 余弦定理作为解题工具 常与三角函数 向量 不等式等知识交汇命题 题型有选择题 填空题 也有解答题 典型例题 2017山东 17 12分 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知b 3 6 s abc 3 求a和a 解析因为 6 所以bccosa 6 又s abc 3 所以bcsina 6 因此tana 1 又0 a 所以a 又b 3 所以c 2 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa 得a2 9 8 2 3 2 29 所以a 方法归纳与解三角形有关的交汇问题的关注点 1 根据条件恰当选择正弦 余弦定理完成边角互化 2 结合三角形内角和定理 面积公式等 灵活运用三角恒等变换公式 跟踪集训1 2017湖南五市十校联考 已知 abc的面积为s 且 s 1 求tana的值 2 若b c 6 求 abc的面积s 解析 1 由 s得 s 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 则bccosa bcsina cosa sina 故tana 2 2 由 1 中tana 2 0知0 a 则sina cosa 所以sinc sin a b sinacosb cosasinb 由 可得b sinb 2 故s bcsina 2 6 12 2 2017河南洛阳第一次统考 如图 平面四边形abdc中 cad bad 30 1 若 abc 75 ab 10 且ac bd 求cd的长 2 若bc 10 求ac ab的取值范围 解析 1 由已知 易得 acb 45 在 abc中 bc 5 因为ac bd 所以 adb cad 30 cbd acb 45 在 abd中 adb 30 bad 所以db ab 10 在 bcd中 cd 5 2 ac ab bc 10 cos60 ab ac 2 100 3ab ac 而ab ac 所以 解得ab ac 20 故ab ac的取值范围为 10 20 1 2017广东惠州第三次调研 在 abc中 角a b c的对边分别是a b c 已知b 2 c 2 且c 则 abc的面积为 随堂检测 答案 1 解析由 sinb 又c b 且b 0 所以b 所以a 所以s bcsina 2 2sin 2 2 1 2 2017贵州贵阳检测 已知 abc中 角a b c的对边分别为a b c c 120 a 2b 则tana 答案 解析由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc 4b2 b2 2 2b b 7b2 c b cosa sina tana 3 2017河北石家庄质量检测 二 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若a b 2 b 45 tana tanc 1 则角c的大小为 答案75 解析由正弦定理 知 即 解得sina 又tana tanc 1 故a为锐角 所以a 60