南京航空航天大学《高等数学》16极限运算法则.pdf

极限运算法则极限运算法则 求极限方法举例求极限方法举例 定理定理 0 lim 3 lim 2 lim 1 lim lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中 则设 其中 则设 证证 lim limBxgAxf 0 0 其中其中BxgAxf 由无穷小运算法则由无穷小运算法则 得得 一 极限运算法则一 极限运算法则 BAxgxf 0 1 成立成立 BAxgxf ABBA BA 0 2 成立成立 B A xg xf B A B A BB AB 0 AB 0 0 B 又又 0 0 0 时当时当 xx 2 B B 2 1 2 1 2 BBB 2 1 2 BBB 故 故有界 有界 3 成立成立 推论1推论1 lim lim lim xfcxcf cxf 则为常数而存在如果 则为常数而存在如果 常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面 lim lim lim nn xfxf nxf 则是正整数而存在如果 则是正整数而存在如果推论2推论2 例1例1 53 1 lim 2 3 2 xx x x 求求 解解 53 lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3 lim 22 2 2 xxx xx 5232 2 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x 53 lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx 3 7 3 12 3 二 求极限方法举例二 求极限方法举例 小结 小结 则有设则有设 1 1 10n nn axaxaxf n n xx n xxxx axaxaxf 1 10 lim lim lim 000 n nn axaxa 1 0100 0 xf 则有且设则有且设 0 2 0 xQ xQ xP xf lim lim lim 0 0 0 xQ xP xf xx xx xx 0 0 xQ xP 0 xf 0 0 则商的法则不能应用若 则商的法则不能应用若 xQ 解解 32 lim 2 1 xx x 0 商的法则不能用商的法则不能用 14 lim 1 x x 又又 03 14 32 lim 2 1 x xx x 0 3 0 由无穷小与无穷大的关系得由无穷小与无穷大的关系得 例2例2 32 14 lim 2 1 xx x x 求求 32 14 lim 2 1 xx x x 解解 例3例3 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求求 1分母的极限都是零分子时 分母的极限都是零分子时 x 1后再求极限因子先约去不为零的无穷小后再求极限因子先约去不为零的无穷小 x 1 3 1 1 lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x 2 1 0 0 型型 消去零因子法消去零因子法 22 37 lim 1 1 lim 20 x x Nn x x x n x 类似的问题还有类似的问题还有 22 37 lim 2 x x x 3 2 37 22 2 2 lim 37 22 22 22 37 37 lim 2 2 x x x x x x xx xx x x 1 1 1 3 lim 3 1 x x x 1 1 2 lim 1 1 1 lim 1 1 3 lim 2 1 3 1 3 2 1 xx x x xx x xx xxx 例4例4 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求 解解 分母的极限都是无穷大分子时分母的极限都是无穷大分子时 x 型型 3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 3 3 23 23 14 7 53 2 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx 7 2 无穷小因子分出法无穷小因子分出法 0 2 0 2 lim lim 2 lim 92 5 lim 2 2 2 2 9 51 9 51 2 x x x x x x x x xx x x 例例 5 92 lim0 92 5 lim 2 lim 5 92 lim 2 2 51 9 2 2 2 x x x x x x xx x x x xx 由上例知 又例 由上例知 又例 小结 小结 为非负整数时有和当为非负整数时有和当nmba 0 0 00 0 lim 0 0 1 10 1 10 mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 当 当 当 当 当 当 无穷小分出法 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分 子 以分母中自变量的最高次幂除分 子 分母分母 以分出无穷小以分出无穷小 然后再求极限然后再求极限 例5例5 21 lim 222 n n nn n 求求 解解是无穷小之和 时 是无穷小之和 时 n 2222 21 lim 21 lim n n n n nn nn 2 1 2 1 lim n nn n 1 1 2 1 lim n n 2 1 先变形再求极限先变形再求极限 例6例6 sin lim x x x 求求 解解 1 为无穷小时当为无穷小时当 x x sin 是有界函数而是有界函数而x 0 sin lim x x x x x y sin 0 log 1 lim 1 1 sin 0 log 1 sin lim 00 xxx x xx 又又 例7例7 lim 0 1 0 1 0 2 xf xx xx xf x 求设 求设 y ox 1 xy 1 1 2 xy 解解两个单侧极限为是函数的分段点 两个单侧极限为是函数的分段点 0 x 1 lim lim 00 xxf xx 1 1 lim lim 2 00 xxf xx 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等 1 lim 0 xf x 故故 三 复合函数极限运算法则三 复合函数极限运算法则 定理定理 设函数设函数u x 在在x0的某个的某个 去心领域去心领域U x0 内内 x a 但是但是 则复合函数则复合函数f x 当当x x0时的极限也存在时的极限也存在 且且 Aufax auxx lim lim 0 Aufxf auxx lim lim 0 0 0 0 min 0 2 120 auax axaxxx axxUx 即 有 取设 即 有 取设 Aufau Auf au 0 0 0 lim 恒有 已知证 恒有 已知证 ax xx lim 0 又又 0 0 1 对上面的对上面的 axxx 0 10 恒有恒有 lim 0 证毕由极限定义得 有 证毕由极限定义得 有 Axf AufAxf xx 1 极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论 2 极限求法极限求法 a 多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限 三 小结三 小结 思考题思考题 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为