高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用课件.ppt

7 4基本不等式及不等式的应用 高考数学 考点一基本不等式1 几个重要不等式 1 a2 b2 2ab a b r 2 a b r 3 2 a b同号 4 ab a b r 5 a b r 6 三角不等式 a b a b a b 知识清单 a1 a2 an a1 a2 an 2 利用算术平均数与几何平均数求函数的最值 1 已知x y r 如果积xy是定值p 那么当x y时 和x y有 最小值 是2 2 已知x y r 如果和x y是定值s 那么当x y时 积xy有 最大值 是s2 考点二不等式的综合应用1 常用的证明方法 1 比较法a 作差比较 如 a b m均为正数 且a 基本步骤 作差 变形 定号 b 作商比较 基本步骤 作商 变形 与1比较大小 2 分析法与综合法令字母a a1 a2 an b分别表示一个不等式 其中b为已知不等式 a为待证不等式 若有a a1 a2 an b 综合法是由b前进式地推导a 分析法则是由a倒退式地分析到b 用分析法时 必须步步充分 3 反证法从否定结论出发 经过逻辑推理 得出矛盾 证实结论的否定是错误的 从而肯定原结论正确 4 放缩法欲证a b 可通过适当放大或缩小 借助一个或多个中间量 即b b1 b1 b2 bi a或a a1 a1 a2 ai b 再利用传递性 达到证明目的 5 三角代换法如 若x2 y2 1 求证 x2 2xy y2 分析 由于x2 y2 1 故可设x cos y sin 则 x2 2xy y2 cos2 2sin cos sin2 6 基本不等式法使用时要注意条件是否满足以及等号何时取得 7 函数增减性法如 若0 u 求证 u 分析 基本不等式的基本条件不具备 即u 时 u 1 而0 u 不能取等号 可设f u u u 可以得到f u 在上为减函数 u f 8 几何法如 已知a b r 且a b 1 0 求证 a 2 2 b 3 2 18 分析 设直线x y 1 0及直线外一点a 2 3 p a b 为直线上任意一点 pa 点a到直线的距离d 3 由于 pa d 所以原命题成立 9 判别式法如 y 求证 y 3 证明略 2 几个重要放缩不等式 1 a b 0 a m 0 则1 利用基本不等式求最值的解题策略1 已知某些变量 正数 的积为定值 求和的最小值 2 已知某些变量 正数 的和为定值 求积的最大值 在运用基本不等式解决上述问题时要注意 一正 二定 三相等 创建一个使用基本不等式的情境 常用技巧 变常数 变系数 拆项等 3 对于函数f x ax a 0 b 0 定义域内不含实数 的类型的最值问题 要会用函数单调性求解 例1 2017浙江高考模拟训练冲刺卷四 16 已知a b 5 a 1 b 2 则 的最大值为 方法技巧 解题导引把 平方后开方 利用基本不等式得最大值 检验等号成立的条件 结论 解析 a 1 0 b 2 0 4 当且仅当a b 1时取等号 又a b 5 故当a 3 b 2时 取最大值 最大值为4 答案4 评析本题考查利用基本不等式求最值 平方消去根号 考查化归转化思想 在解答此类问题时 一定要注意 一正 二定 三相等 的原则 不等式综合应用的解题策略例2 2017浙江宁波二模 5月 17 若6x2 4y2 6xy 1 x y r 则x2 y2的最大值为 解题导引导引一 设x y m x y n 将原问题转化为已知4m2 mn n2 1 求mn的最大值问题 利用基本不等式得最大值 检验等号成立的条件 结论导引二 利用x2 y2 将x2 y2化为齐次式 设t 转化为求关于t的分式函数的最大值 利用判别式求最大值 结论导引三 凑配系数 利用基本不等式求最大值 检验等号成立的条件 结论 解析解法一 设m x y n x y 则问题转化为 已知4m2 mn n2 1 求mn的最大值 由基本不等式 知1 mn 4m2 n2 mn 4 mn 所以 mn 当且仅当n 2m 即x 3y时 取到最大值 解法二 齐次化处理 显然要使得目标函数取到最大值 x 0 令z x2 y2 设t 则z 则 4z 1 t2 6zt 6z 1 0对t r有解 当z 时 t 当z 时 36z2 4 4z 1 6z 1 0 解得 z 当t 时取到最大值 解法三 1 6x2 4y2 6 y 6x2 4y2 6 5x2 5y2 所以x2 y2