高二数学第一学期 能力训练（8）.doc

数学能力训练（8）1、（10分）已知函数.（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）当时，求函数的单调区间.2、（12分）已知梯形中，、分别是、上的点，是的中点沿将梯形翻折，使平面平面 （如图）.（i）当时，求证： ；（ii）若以、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（iii）当取得最大值时，求二面角的余弦值3、(12分)已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与a关于直线对称（1）求双曲线的方程；abcdpe（2）设直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过 及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围 4、(12分)在四棱锥中,平面，,是的中点.()证明:平面；()若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥的体积. 5(12分)如图,设椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,上顶点为a,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且 是面积为4的直角三角形.()求该椭圆的离心率和标准方程； ()过做直线交椭圆于p,q两点,使,求直线的方程.6. （12分）已知函数图像上点处的切线方程与直线平行（其中），（i）求函数的解析式； （ii）求函数上的最小值；（iii）对一切恒成立，求实数的取值范围. 答案：12、解（1）方法一：平面平面，xyzaeef，ae平面，aeef，aebe，又beef，故可如图建立空间坐标系e-xyz ，又为bc的中点，bc=4，则a（0，0，2），b（2，0，0），g（2，2，0），d（0，2，2），e（0，0，0），（2，2， 2），（2，2，0），（2，2，2）（2，2，0）0，。方法二：作dhef于h，连bh，gh，由平面平面知：dh平面ebcf，而eg平面ebcf，故egdh h为平行四边形，且，四边形bghe为正方形，egbh，bhdhh，故eg平面dbh， 而bd平面dbh， egbd（2）ad面bfc，所以 =va-bfc，即时有最大值为 （3）设平面dbf的法向量为，ae=2， b（2，0，0），d（0，2，2），f（0，3，0），（2，2，2）， 则 ，即，取，面bcf一个法向量为，则cos=，由于所求二面角d-bf-c的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为3、 解（1）设双曲线c的渐近线方程为，该直线与圆相切，解得双曲线c的两条渐近线方程为y=x故设双曲线c的方程为又双曲线c的一个焦点为，双曲线c的方程为:.（2）由得直线与双曲线左支交于两点，因此，解得又ab中点为，直线l的方程为： 令x=0，得，4、解法1(如图(1),连接ac,由ab=4, e是cd的中点,所以 所以 而内的两条相交直线,所以cd平面pae. ()过点b作 由()cd平面pae知,bg平面pae.于是为直线pb与平面pae 所成的角,且. 由知,为直线与平面所成的角. 由题意,知 因为所以 由所以四边形是平行四边形,故于是 在中,所以 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 abcdpexz345y解法2:如图(2),以a为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为: ()易知因为 所以而是平面内的两条相交直线,所以 ()由题设和()知,分别是,的法向量,而pb与 所成的角和pb与所成的角相等,所以 由()知,由故 解得. 又梯形abcd的面积为,所以四棱锥的体积为 . 5、解:设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因是直角三角形,又,故为直角,因此,得. 结合得,故,所以离心率. 在中,故 由题设条件,得,从而. 因此所求椭圆的标准方程为: (2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得, 设,则是上面方程的两根,因此 , 又,所以 由,得,即,解得, 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:和6、解：（i）由点处的切线方程与直线平行，得该切线斜率为2，即又所以（ii）由（i）知，显然当所以函数上单调递