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复数域加权最小二乘法在基于相量量测的状态估计中的应用 Application of complex field weighted least square algorithm in state estimation based on phasor measurement ABSTRACT：State estimation based on phasor measurement can improve the accuracy of state. The widely placed phase measurement uints(PMU)in high-voltage network provide a substantial foundation for state estimation only using PMU.Studying state estimation only using PMU is great significance. A measurement equation in complex domain is established, and the complex field weighted least square algorithm(CWLS), which needs no iteration to achieve estimation results, is introduced to solve the model. Research of phasor error characteristics in complex domain and the robustness of CWLS algorithm are conducted,so as an effective method of choosing weight in CWLS as well as bad data identification. The simulation results show the correctness of the model and the CWLS algorithm proposed is effective and strongly adaptive.KEY WORDS：phasor measurement unit；phasor error characteristics; linear state estimation；weight；improved normalized residual摘要：基于相量量测的状态估计能提高状态估计的精度，而相量测量单元在高电压等级网络中的广泛配置为电力系统全相量量测状态估计提供了坚实的硬件基础，研究全相量量测的状态估计意义重大。本文建立了基于全相量量测的状态估计量测方程，在此基础上建立了复数加权最小二乘法(Complex Field Weighted Least Square，CWLS)状态估计模型。本文还对复数域下量测量的误差特性和CWLS算法的抗差性进行了研究，同时详细分析了CWLS算法中权重的选取和不良数据的辨识。仿真结果表明了所建模型的合理性以及CWLS算法的有效性和适应性。关键词：相量测量单元；相量误差特性；线性状态估计；权重；改进标准化残差 0 引言自从上世纪70年代 F.C.Schweppe等人提出电力系统状态估计以来1-3，经过四十多年的发展和应用，状态估计在可观测性分析、估计算法、不良数据及拓扑错误的检测和辨识等方面取得了很大的进展4-8，状态估计的实用化进程也不断得以推进。传统状态估计基于数据采集与监控（Supervisory Control and Data Acquisition，SCADA）系统提供的数据进行估计。近年来， PMU及建立在PMU基础上的广域测量系统（Wide Area Measurement System，WAMS）不断发展，从而为状态估计提供了新的数据源。PMU有较高的采样速率和精度，能够直接测量电压和电流的相角，且采样数据都打上了高精度的时标，因此数据的精度和速度相比SCADA系统有着巨大的提升。自PMU装备电力系统以来，如何将PMU量测数据应用到状态估计中是一个比较热点的研究方向，国内外一大批科研工作者对此进行了大量的研究，取得了丰富的成果9-13。这些研究大多是将PMU数据和SCADA数据进行混合，从而建立基于混合量测的估计模型，但PMU和SCADA量测的采样周期不同，且SCADA采样没有时标，难以保证两个系统采样数据的同步性，从而大大影响了估计结果的精度。目前基于全PMU数据进行状态估计的研究还不太多。文献14首次建立了全部节点电压相量和部分支路电流相量可量测情况下的状态估计模型，并利用加权最小二乘法（Weighted Least Square，WLS）求解该模型，但没有讨论WLS法应用于复数域的特殊性，也没有考虑权重的选取问题。文献15提出只要网络中PMU的配置满足可观性，即可建立线性状态估计模型。文献16将电压相量和电流相量分别用实部和虚部来表示，从而建立了基于直角坐标系的实数形式的线性状态估计模型，但这使得模型中系数矩阵的维数相比相量模型扩大了一倍，增加了计算规模，同时对实部和虚部间不相关的假设也不成立。目前，PMU在国内电网中的配置已经超过1100台，500kV及以上电压等级已基本完成配置，正在向220kV电压等级推进，海南电网已率先实现了220kV厂站的全PMU覆盖。PMU的大量配置为进行全PMU状态估计奠定了的基础。在这种情况下，研究基于全PMU数据的状态估计建模方法以及相应的不良数据检测和辨识方法，具有十分重要的意义。本文建立了PMU配置满足可观性条件下的电力系统状态估计模型，包括直角坐标形式、极坐标形式和相量形式。从数值稳定性和效率方面考虑，推荐使用相量形式的量测方程，并建立复数域加权最小二乘法（Complex Field Weighted Least Square，CWLS）对该模型进行求解，得到了状态量的无需迭代的、线性的估计公式。文章还对PMU相量的误差特性、CWLS法中权重的选取以及CWLS法的抗差性进行了研究，并用改进标准化残差法（Improved Normlized Residual，INR）对不良数据进行辨识。仿真验证了本文方法的正确性和有效性。1 基于全PMU数据的线性量测方程对于一个由个节点、条支路构成的电力网络，当PMU量测使网络可观测时，即可建立全PMU估计模型，并可利用PMU量测的冗余度，提高状态变量的估计精度。若PMU的量测精度很高，则可直接将节点电压相量量测作为该节点的状态，从而实现在线状态测量。然而PMU量测的误差不可避免，且可能存在不良数据，因而将PMU电压相量量测直接作为系统的状态并不合适。充分利用PMU节点电压以及支路电流相量量测数据，建立相应的状态估计模型，并采用合适的算法求解模型，是构建全PMU状态估计模型的基础。设网络中共配置了个PMU，这些PMU可给出个节点电压相量量测以及条支路的电流相量量测。PMU的量测量分别为电压幅值、相角以及电流幅值、相角。将电压幅值和电压相角组合构成电压复相量，将电流幅值和电流相角组合构成电流复相量。则可得到如下形式的量测方程： 式中，、是节点电压相量量测和支路电流相量量测构成的矢量，其中，；、是电压相量真值和电流相量真值构成的矢量； 、是相应的误差矢量，上述矢量中的元素均为复数。将支路电流相量用节点电压相量来表示，其中，表示未配置PMU节点的电压相量真值。考虑的一个分量，对应于从节点p流向节点q的电流相量。对于支路pq，不管其是否含有变压器、移相器，均可用如图1所示的型等值电路表示。不妨假设其包含变压器和移相器，变压器的变比为1:K，移相器的移相角度为，线路的电阻、电抗和充电电纳分别为r、x、b，由基本电路定律可得：图1 支路的型等值电路 其中，。 由式可知，可以通过支路导纳矩阵将支路电流相量用节点电压相量表出。设支路导纳矩阵为，则的维数为，且是一个稀疏矩阵，其中的非零元素定义如下： 当有电流量测 因此有 将等式代入到等式得量测方程： 式中，表示阶单位矩阵，表示阶零矩阵，表示阶矩阵，表示阶矩阵。式建立了量测量和状态量间的关系，其中和均是复矢量。在网络结构和量测配置不变的情况下，系数矩阵为常稀疏复矩阵，维数为。因此和间是线性关系，即为基于PMU数据的量测方程。的直角坐标形式和极坐标形式分别如式和所示： 其中、分别表示的实部和虚部，、分别表示的实部和虚部，、分别表示的实部和虚部，、分别表示的实部和虚部。、表示的幅值和相角，、表示的幅值和相角，、表示的幅值和相角，、表示电流幅值、相角对电压幅值、相角的雅克比矩阵，是非常数矩阵。2 复相量的误差特性2.1 误差定义一般来说PMU量测数据的幅值和相角是相互独立的，且一般假设误差均值为0。若PMU电压幅值量测的标准差为uv，相角量测的标准差为uV，电流幅值量测的标准差为uI，相角量测的标准差为uI。则误差复相量如图2所示图2 电压量测复相量和真值复相量间的关系对量测方程中的任一电压分量有 其中，表示电压幅值的真值，表示电压相角的真值。化简得： 即是量测方程中任一电压量测量的量测误差。在复数领域，一般用距离来表征两个相量间的差别，对图2所示的量测量和真值，两者间的距离为：因此可以用式来用来表征复相量间的绝对误差。2.2 正常量测情况下的期望和方差假设幅值和相角服从相互独立的零均值高斯分布，则对某个量测绝对误差，可求其期望和方差。令，则上式可简化为，从而可以得到的期望和方差： 由和可知，量测误差的期望和相角的误差有关，与幅值误差无关；而方差同幅值和相角的量测误差均有关。由于和的值无法用解析方法求得，在实际应用中可用统计分析方法来估计和的值。假设PMU电压相角量测的标准差uV分别为0.02o、0.1o、0.5o、1o、3o，对每种标准差uV分别对进行10000000次蒙特卡洛采样，对得到的值分别计算和，然后求其平均值，得到的结果如表1所示。PMU相角量测的误差标准差一般可以达到0.02o，最差的情况下误差也不会超过1o。从表1中对和进行的仿真统计分析可以得出在PMU量测的误差范围内，误差随机变量的平均值约为0，方差基本为。因此在实际应用中，可以认为，。表1 和的数值计算值测量误差0.02o 1.4021*10-71.2188*10-71.2185*10-70.1o1.7326*10-63.0458*10-63.0462*10-60.5o3.8675*10-57.6128*10-57.6154*10-51o1.5230*10-43.0444*10-43.0462*10-43o1.3703*10-32.7385*10-32.7416*10-3对电流相量量测误差可做类似的分析，可得，。2.3 有不良数据时的特性研究表明，PMU量测数据中，幅值的精度一般较高，而相角的精度相对差一点。在准稳态情况下，电压幅值的波动远低于1%，一般不超过0.4%，而相角的波动相对较大，出现错误数据的概率也相对大些。不妨设某次采样的数据中幅值是准确的，而此时的相角数据是错误的，错误幅度为1o，即。此时可得绝对误差为： 可见即使只有1o的相角误差，就使得绝对误差高达幅值的1.75 %，大大超过幅值的正常量测误差，因此绝对误差对相角误差的灵敏度非常高。 3 复数域加权最小二乘法WLS是电力系统状态估计的实用方法之一，但WLS没有抗差性，在实际应用时，在WLS估计之后需要加上一个不良数据辨识环节。WLS是应用在量测方程中的各量为实数的基础上的。而建立的方程是基于向量的复数线性方程；基于直角坐标的方程虽是实数线性方程，但其关系矩阵的维数为，比矩阵大一倍，由于计算中涉及关系矩阵的求逆，将增加计算量，另外将PMU量测转换为实部和虚部时，还将引入转换误差，同时实部和虚部之间是相关的，不再相互独立；基于极坐标的方程是实数非线性方程，需要进行迭代计算，存在收敛性问题。因此本文选择方程作为全PMU状态估计的量测方程，并将WLS引入复数域建立复数域加权最小二乘法CWLS求解之。当量测方程中的各量是复数时，由于量测误差矢量是一个复矢量，基于极大似然估计原则，CWLS的目标函数是使得的模的加权平方和最小，即： 式中是权重矩阵，为阶实对角方阵。推导后可以得到状态量的估计结果如下： 模型是一个二次规划问题，可保证得到全局最优解，而式不需要迭代，通过一次运算就可以得到状态量的估计值。因此不存在迭代计算中常见的收敛性和快速性等问题。实际上，在网络结构和量测配置不变的情况下，式中的为常量，因此状态量的估计结果可以通过直接计算得到。实际计算中只需先形成支路导纳矩阵，然后形成矩阵，之后得到权重矩阵，即可完成估计计算。由于CWLS法是以绝对误差的加权平方和最小为目标的，因此CWLS法对相角错误数据有较大的抗差性，仿真算例的结果也证明了这一点。4 权重矩阵W的选取权重矩阵一般是对角矩阵，其对角线元素同量测误差的方差有关，在用CWLS进行估计的过程中，可以通过2种方法获取权重矩阵：定权重法和自适应调整权重法。定权重一般是通过对量测误差的先验知识以及一定的误差分布假设（通常假设为高斯分布），给相应的量测一个固定的权重，一般取量测误差方差的倒数作为相应量测的权重。根据第2节中关于误差特性的介绍，可以得到定权重情况下，权重矩阵的各元素如下： 实际应用时，可以用测量值代替式中的真值。自适应调整权重主要是依据量测残差和量测误差间的关系来完成的。利用CWLS完成估计计算后，可得量测残差为： 其中为残差灵敏度矩阵，是实数矩阵。在网络结构和量测配置不变的情况下，矩阵为定常矩阵。残差的协方差为：为误差协方差矩阵，是实对角矩阵。式通过灵敏度矩阵建立起了残差协方差和误差协方差之间的关系，因此通过和，经式可以求得中的元素： 对中的元素求倒数，即可得到相应的权重，从而可以对权重矩阵中的元素进行自适应的调整，使权重同实际的量测误差相匹配。5 不良数据的检测和辨识最大标准残差（Largest Normlized Residual，LNR）法是应用WLS方法进行状态估计后，一种实用的不良数据检测、辨识方法。针对CWLS方法的特性，对LNR法进行改进，可以将其用于CWLS法估计后的不良数据检测和辨识中。据式，可以将复误差矢量写作： 两边取模值，可得绝对误差矢量所在的向量空间为，定义上的内积为。据此定义，CWLS的目标函数即为矢量在上的内积。由式可知绝对误差矢量可以分解为两个分量，即残差的模矢量和矢量，可以证明这两个矢量的内积为零，这两个矢量在空间上是相互正交的。因此残差的模矢量只是绝对误差矢量的一部分。假设第个量测数据是不良数据，即，其余分量为零。此时有，其中、表示矩阵的第列构成的列矢量，对第个量测，定义指标：定义改进残差（Improved Residual，IR）来更好的表征误差矢量： 其中表示残差模矢量的第个分量，表示改进残差的第个分量，并用进行不良数据的检测和辨识。6 仿真研究这一节将在IEEE节点系统上，对前面提出的全PMU状态估计的CWLS方法进行仿真研究和验证。 6.1 估计结果评价在电力系统状态估计的仿真研究中，可用状态估计值与真值之差的绝对值均值来表征状态估计结果的优劣，其表征式如下所示： 其中，average表示M次蒙特卡洛分析中，估计误差绝对值的平均值，N表示系统状态变量的个数，xij,estimate表示第i次蒙特卡洛分析中第j个状态量的估计值，xj表示第j个状态量的真值。对每一次蒙特卡洛分析，量测值是通过在真值基础上加随机白噪声得到的，白噪声的分布由量测量的误差分布来确定。6.2 测量误差PMU测量的误差来源主要有：PT、CT测量误差、光缆通道传输误差、A/D转换误差和算法误差。PT、CT测量误差在工频下一般是固定的，通道传输误差与通道的长度有关，这两种误差一般可以通过外部校准设备进行补偿。本文主要考虑由A/D转换误差和算法误差造成的量测不确定度。本文的量测误差是根据国标对PMU量测的最低标准来设定的，如表2所示。表2 最大量测误差PMU量测电压幅值电压相角电流幅值电流相角0.4%0.5o0.4%1o6.3 无不良数据时估计结果对IEEE300节点系统，选节点257为相角参考节点，在全部300个节点上均装设PMU，可以测量300个电压相量和822个电流相量。对该标准系统，进行1000次蒙特卡洛试验，对每一次蒙特卡洛试验得到的量测数据，分别进行估计计算，得到状态量的估计值。其中电压幅值单位是标幺值，相角单位是度。表3列出了IEEE300节点系统在给定误差下的average及完成状态估计的计算时间，仿真的硬件条件是Intel Core i5 2.27GHz CPU，内存为2GB。表4列出了用该方法对IEEE14节点系统、IEEE118节点系统、IEEE300节点系统和波兰3012节点系统进行1000次仿真所用的平均时间。分析表3和表4的仿真结果可以得出以下几点结论：（1）本文提出的模型和方法能快速有效的提高测量值的准确度，较好的完成状态估计计算，尤其是大幅度的提高了相角的精度。（2）完成状态估计所需时间同系统规模大致为线性关系；这是因为全PMU状态估计模型为线性模型，估计算法不需要经过迭代即可完成。表3 给定误差下估计的average和时间average幅值误差/10-3角度误差/度时间/ms量测1.770.300.18估计1.580.06表4 不同规模系统估计所需时间系统时间/msIEEE14节点0.22IEEE118节点1.09IEEE300节点2.38波兰3012节点29.10表5 假设及实际的误差水平PMU量测电压幅值电压相角电流幅值电流相角假设误差0.2%0.4o0.3%0.6o低于假设误差0.2%0.2o0.3%0.2o高于假设误差0.4%0.5o0.4%1o为了比较当测量系统实际的误差水平同假设水平不一致时，本文提出的状态估计方法的适应性。以上述300节点系统为对象，以表5中列出的假设及实际误差水平为条件，进行仿真计算，得到表6所示的结果。 从表5和6中可以看出，当量测量的实际误差水平同假设的误差水平不同时，不管是实际误差水平高于或者低于假设，本文提出的方法都能够有效的提高测量值的准确度，表现出较强的适应性。表6 算法的适应性结果状态估计结果误差水平低于假设误差时高于假设误差时幅值/10-3角度/度幅值/10-3角度/度估计前0.880.121.760.30估计后0.530.021.470.056.4 有不良数据时估计结果对IEEE9节点系统，选节点1为相角参考节点，在全部节点上均装设PMU，可以测量9个电压相量和18个电流相量。在电压量测、和处分别设置1%幅值坏数据、1o相角坏数据、5o相角坏数据，15o相角坏数据，利用CWLS算法进行估计计算后，可以得到表7所示的结果，其中坏数据及其估计结果在图中用粗体显示。表7 多个坏数据时状态估计结果真值量测估计序号幅值角度幅值角度幅值角度11.00001.00101.022021.0009.6692.0129.6531.0389.62531.0004.7710.9994.9871.0274.81940.987-2.4070.988-2.5891.007-2.30350.975-4.0170.975-6.9670.994-3.85461.0031.9261.0058.9421.0292.05970.9860.6220.9840.5321.0100.85680.9963.7990.99622.5861.0243.97090.958-4.3500.958-4.5930.976-4.115从表7中可以看出，即使不经过任何坏数据的处理，CWLS对相角的估计结果仍然是可接受的，处15o的相角坏数据都能够被很好的抑制，体现了CWLS法对相角误差极强的抗差性。各电压相量量测的改进标准化残差如表8所示。表8 各相量量测的改进标准化残差序号123456789INR6.916610.67.520418.21096.3从中可以看出，含有坏数据的量测的改进标准残差INR远大于正常量测的INR，从而可以有效的对坏数据进行辨识。7 结论本文建立了基于复数形式的全相量量测状态估计量测方程，在此基础上建立了复数域加权最小二乘法对该模型进行求解，通过直接计算得到状态估计值，而无需进行迭代。本文将估计误差绝对值的平均值以及估计计算的时间作为评价标准，通过蒙特卡洛仿真方法，对IEEE300节点系统及其他节点系统进行了仿真分析，结果表明了建立的全相量量测状态估计模型及算法的正确性和有效性。该方法可以有效提高量测量的准确性，尤其是角度的准确性，同时极大的缩短了估计运算的时间，对300节点的系统只需2.4ms即可完成估计计算。同时对实际量测误差水平同假设不一致的情况进行了仿真，结果表明了该方法在这种情况下依然有效，体现了较强的适应性和抗差性。下一步将重点研究CWLS算法在网络拓扑和参数存在错误情况下的特性。参考文献1. 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