中考数学专题复习 讲座四 探究型问题 浙教版.doc

2013年中考数学复习专题讲座四：探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件例1 （2012自贡）如图所示，在菱形abcd中，ab=4，bad=120，aef为正三角形，点e、f分别在菱形的边bc、cd上滑动，且e、f不与b、c、d重合（1）证明不论e、f在bc、cd上如何滑动，总有be=cf；（2）当点e、f在bc、cd上滑动时，分别探讨四边形aecf和cef的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 分析：（1）先求证ab=ac，进而求证abc、acd为等边三角形，得4=60，ac=ab进而求证abeacf，即可求得be=cf；（2）根据abeacf可得sabe=sacf，故根据s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc即可解题；当正三角形aef的边ae与bc垂直时，边ae最短aef的面积会随着ae的变化而变化，且当ae最短时，正三角形aef的面积会最小，又根据scef=s四边形aecfsaef，则cef的面积就会最大解答：（1）证明：连接ac，如下图所示，四边形abcd为菱形，bad=120，1+eac=60，3+eac=60，1=3，bad=120，abc=60，abc和acd为等边三角形，4=60，ac=ab，在abe和acf中，abeacf（asa）be=cf；（2）解：四边形aecf的面积不变，cef的面积发生变化理由：由（1）得abeacf，则sabe=sacf，故s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc，是定值，作ahbc于h点，则bh=2，s四边形aecf=sabc=bcah=bc=4，由“垂线段最短”可知：当正三角形aef的边ae与bc垂直时，边ae最短故aef的面积会随着ae的变化而变化，且当ae最短时，正三角形aef的面积会最小，又scef=s四边形aecfsaef，则此时cef的面积就会最大scef=s四边形aecfsaef=42=点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证abeacf是解题的关键，有一定难度考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目例3 （2012盐城）如图所示，已知a、b为直线l上两点，点c为直线l上方一动点，连接ac、bc，分别以ac、bc为边向abc外作正方形cadf和正方形cbeg，过点d作dd1l于点d1，过点e作ee1l于点e1（1）如图，当点e恰好在直线l上时（此时e1与e重合），试说明dd1=ab；（2）在图中，当d、e两点都在直线l的上方时，试探求三条线段dd1、ee1、ab之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点e在直线l的下方时，请直接写出三条线段dd1、ee1、ab之间的数量关系（不需要证明）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。分析：（1）由四边形cadf、cbeg是正方形，可得ad=ca，dac=abc=90，又由同角的余角相等，求得add1=cab，然后利用aas证得add1cab，根据全等三角形的对应边相等，即可得dd1=ab；（2）首先过点c作chab于h，由dd1ab，可得dd1a=cha=90，由四边形cadf是正方形，可得ad=ca，又由同角的余角相等，求得add1=cah，然后利用aas证得add1cah，根据全等三角形的对应边相等，即可得dd1=ah，同理ee1=bh，则可得ab=dd1+ee1（3）证明方法同（2），易得ab=dd1ee1解答：（1）证明：四边形cadf、cbeg是正方形，ad=ca，dac=abc=90，dad1+cab=90，dd1ab，dd1a=abc=90，dad1+add1=90，add1=cab，在add1和cab中，add1cab（aas），dd1=ab；（2）解：ab=dd1+ee1证明：过点c作chab于h，dd1ab，dd1a=cha=90，dad1+add1=90，四边形cadf是正方形，ad=ca，dac=90，dad1+cah=90，add1=cah，在add1和cah中，add1cah（aas），dd1=ah；同理：ee1=bh，ab=ah+bh=dd1+ee1；（3）解：ab=dd1ee1证明：过点c作chab于h，dd1ab，dd1a=cha=90，dad1+add1=90，四边形cadf是正方形，ad=ca，dac=90，dad1+cah=90，add1=cah，在add1和cah中，add1cah（aas），dd1=ah；同理：ee1=bh，ab=ahbh=dd1ee1点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法例4 （2012丽水）在直角坐标系中，点a是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接oa，过点o作oboa，交抛物线于点b，以oa、ob为边构造矩形aobc（1）如图1，当点a的横坐标为 时，矩形aobc是正方形；（2）如图2，当点a的横坐标为时，求点b的坐标；将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=x2，试判断抛物线y=x2经过平移交换后，能否经过a，b，c三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。分析：（1）过点a作adx轴于点d，根据正方形的对角线平分一组对角可得aoc=45，所以aod=45，从而得到aod是等腰直角三角形，设点a坐标为（a，a），然后利用点a在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；（2）过点a作aex轴于点e，过点b作bfx轴于点f，先利用抛物线解析式求出ae的长度，然后证明aeo和ofb相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出of与bf的关系，然后利用点b在抛物线上，设出点b的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；过点c作cgbf于点g，可以证明aeo和bgc全等，根据全等三角形对应边相等可得cg=oe，bg=ae，然后求出点c的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点a、b的抛物线解析式，把点c的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点c，如果经过点c，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可解答：解：（1）如图，过点a作adx轴于点d，矩形aobc是正方形，aoc=45，aod=9045=45，aod是等腰直角三角形，设点a的坐标为（a，a）（a0），则（a）2=a，解得a1=1，a2=0（舍去），点a的坐标a=1，故答案为：1；（2）过点a作aex轴于点e，过点b作bfx轴于点f，当x=时，y=（）2=，即oe=，ae=，aoe+bof=18090=90，aoe+eao=90，eao=bof，又aeo=bfo=90，aeoofb，=，设of=t，则bf=2t，t2=2t，解得：t1=0（舍去），t2=2，点b（2，4）；过点c作cgbf于点g，aoe+eao=90，fbo+cbg=90，aoe=fbo，eao=cbg，在aeo和bgc中，aeobgc（aas），cg=oe=，bg=ae=xc=2=，yc=4+=，点c（，），设过a（，）、b（2，4）两点的抛物线解析式为y=x2+bx+c，由题意得，解得，经过a、b两点的抛物线解析式为y=x2+3x+2，当x=时，y=（）2+3+2=，所以点c也在此抛物线上，故经过a、b、c三点的抛物线解析式为y=x2+3x+2=（x）2+平移方案：先将抛物线y=x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y=（x）2+点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例5 （2012青海）如图（*），四边形abcd是正方形，点e是边bc的中点，aef=90，且ef交正方形外角平分线cf于点f请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现ae=ef，这需要证明ae和ef所在的两个三角形全等，但abe和ecf显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点e是边bc的中点，因此可以选取ab的中点m，连接em后尝试着去证aemefc就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取ab的中点m，连接emaef=90fec+aeb=90又eam+aeb=90eam=fec点e，m分别为正方形的边bc和ab的中点am=ec又可知bme是等腰直角三角形ame=135又cf是正方形外角的平分线ecf=135aemefc（asa）ae=ef（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc上的任意一点”，其余条件不变，发现ae=ef仍然成立，请你证明这一结论（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论ae=ef是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：阅读型。分析：（2）在ab上截取am=ec，然后证明eam=fec，ame=ecf=135，再利用“角边角”证明aem和efc全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；（3）延长ba到m，使am=ce，然后证明bme=45，从而得到bme=ecf，再利用两直线平行，内错角相等证明dae=bea，然后得到mae=cef，再利用“角边角”证明mae和cef全等，根据全等三角形对应边相等即可得证解答：（2）探究2，证明：在ab上截取am=ec，连接me，由（1）知eam=fec，am=ec，ab=bc，bm=be，bme=45，ame=ecf=135，aef=90，fec+aeb=90，又eam+aeb=90，eam=fec，在aem和efc中，aemefc（asa），ae=ef；（3）探究3：成立，证明：延长ba到m，使am=ce，连接me，bm=be，bme=45，bme=ecf，又adbe，dae=bea，又mad=aef=90，dae+mad=bea+aef，即mae=cef，在mae和cef中，maecef（asa），ae=ef点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取am=ec，然后构造出aem与efc全等是解题的关键例6 （2012永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点a（2，0）和b（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，p（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过p作phl，h为垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|po|2和|ph|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使poh为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点a（2，0）和b（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；（2）令y=ax2+bx1=0，解出x的值，进而求出使y0的对应的x的取值范围；（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|po|2和|ph|2的值然后观察其规律，再进行证明；（4）由（3）知op=oh，只要oh=op成立，poh为正三角形，求出|op|、|oh|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值解答：解：（1）二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点a（2，0）和b（4，3），解得a=，b=0，二次函数的解析式为y=x21，（2）令y=x21=0，解得x=2或x=2，由图象可知当2x2时y0，（3）当m=0时，|po|2=1，|ph|2=1；当m=2时，p点的坐标为（2，0），|po|2=4，|ph|2=4，当m=4时，p点的坐标为（4，3），|po|2=25，|ph|2=25，由此发现|po|2=|ph|2，设p点坐标为（m，n），即n=m21|op|=，|ph|2=n2+4n+4=n2+m2，故对于任意实数m，|po|2=|ph|2；（4）由（3）知op=ph，只要oh=op成立，poh为正三角形，设p点坐标为（m，n），|op|=，|oh|=，|op|=|oh|，即n2=4，解得n=2，当n=2时，n=m21不符合条件，故n=2，m=2时可使poh为正三角形点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目例7 （2012黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形oabc的边oc、oa分别与x轴、y轴重合，aboc，aoc=90，bco=45，bc=6，点c的坐标为（9，0）（1）求点b的坐标；（2）若直线de交梯形对角线bo于点d，交y轴于点e，且oe=2，od=2bd，求直线de的解析式；（3）若点p是（2）中直线de上的一个动点，是否存在点p，使以o、e、p为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。 分析：（1）过点b作bfx轴于f，在rtbcf中，已知bco=45，bc=6，解直角三角形求cf，bf，确定b点坐标；（2）过点d作dgy轴于点g，由平行线的性质得出odgoba，利用相似比求dg，og，确定d点坐标，由已知得e点坐标，利用“两点法”求直线de的解析式；（3）存在由已知的oe=2，分别以o、e为圆心，2为半径画弧，与直线de相交，或作线段oe的垂直平分线与直线de相交，交点即为所求解答：解：（1）过点b作bfx轴于f，（1分）在rtbcf中，bco=45，bc=6，cf=bf=6，（1分）c 的坐标为（9，0），ab=of=3，点b的坐标为（3，6）；（1分）（2）过点d作dgy轴于点g，（1分）abdg，odgoba，=，ab=3，oa=6，dg=2，og=4，（1分）d（2，4），e（0，2），设直线de解析式为y=kx+b（k0），（1分）直线de解析式为y=x+2； （1分）（3）存在p1（2，0）、p2（1，1）、p3（，2）、p4（，2+）（3分）（写对一个点得1分，写对两个点或三个点得2分）点评：本题考查了一次函数的综合运用关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类求p点坐标例8 （2012北海）如图，在平面直角坐标系中有rtabc，a=90，ab=ac，a（2，0）、b（0，1）、c（d，2）（1）求d的值；（2）将abc沿x轴的正方向平移，在第一象限内b、c两点的对应点b、c正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线bc的解析式；（3）在（2）的条件下，直线bc交y轴于点g问是否存在x轴上的点m和反比例函数图象上的点p，使得四边形pgmc是平行四边形？如果存在，请求出点m和点p的坐标；如果不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。 专题：计算题。分析：（1）过c作cn垂直于x轴，交x轴于点n，由a、b及c的坐标得出oa，ob，cn的长，由cab=90，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形acn中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且ac=bc，利用aas得到三角形acn与三角形aob全等，根据全等三角形的对应边相等可得出cn=0a，an=0b，由an+oa求出on的长，再由c在第二象限，可得出d的值；（2）由第一问求出的c与b的横坐标之差为3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出c（m，2），则b（m+3，1），再设出反比例函数解析式，将c与b的坐标代入得到关于k与m的两方程，消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式，设直线bc的解析式为y=ax+b，将c与b的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出直线bc的解析式；（3）存在x轴上的点m和反比例函数图象上的点p，使得四边形pgmc是平行四边形，理由为：设q为gc的中点，令第二问求出的直线bc的解析式中x=0求出y的值，确定出g的坐标，再由c的坐标，利用线段中点坐标公式求出q的坐标，过点q作直线l与x轴交于m点，与y=的图象交于p点，若四边形pg mc是平行四边形，则有pq=q m，易知点m的横坐标大于，点p的横坐标小于，作phx轴于点h，qky轴于点k，ph与qk交于点e，作qfx轴于点f，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等及pq=qm，利用aas可得出peq与qfm全等，根据全等三角形的对应边相等，设eq=fm=t，由q的横坐标t表示出p的横坐标，代入反比例函数解析式确定出p的纵坐标，进而确定出m的坐标，根据pheh=phqf表示出pe的长，又pq=qm，分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，进而确定出p与m的坐标，此时点p为所求的点p，点m为所求的点m解答：解：（1）作cnx轴于点n，a（2，0）、b（0，1）、c（d，2），oa=2，ob=1，cn=2，cab=90，即can+bao=90，又can+acn=90，bao=acn，在rtcna和rtaob中，rtcnartaob（aas），nc=oa=2，an=bo=1，no=na+ao=3，又点c在第二象限，d=3；（2）设反比例函数为y=（k0），点c和b在该比例函数图象上，设c（m，2），则b（m+3，1），把点c和b的坐标分别代入y=，得k=2m；k=m+3，2m=m+3，解得：m=3，则k=6，反比例函数解析式为y=，点c（3，2），b（6，1），设直线cb的解析式为y=ax+b（a0），把c、b两点坐标代入得：，解得：；直线cb的解析式为y=x+3；（3）存在x轴上的点m和反比例函数图象上的点p，使得四边形pgmc是平行四边形，理由为：设q是g c的中点，令y=x+3中x=0，得到y=3，g（0，3），又c（3，2），q（，），过点q作直线l与x轴交于m点，与y=的图象交于p点，若四边形pg mc是平行四边形，则有pq=q m，易知点m的横坐标大于，点p的横坐标小于，作phx轴于点h，qky轴于点k，ph与qk交于点e，作qfx轴于点f，qfpe，mqf=qpe，在peq和qfm中，peqqfm（aas），eq=fm，pq=qm，设eq=fm=t，点p的横坐标x=t，点p的纵坐标y=，点m的坐标是（+t，0），pe=pheh=phqf=，又pq=qm，根据勾股定理得：pe2+eq2=qf2+fm2，（）2+t2=（）2+t2，整理得：=5，解得：t=（经检验，它是分式方程的解），t=；=5；+t=+=，p（，5），m（，0），则点p为所求的点p，点m为所求的点m点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面四、中考真题演练1（2012广东）如图，直线y=2x6与反比例函数y=的图象交于点a（4，2），与x轴交于点b（1）求k的值及点b的坐标；（2）在x轴上是否存在点c，使得ac=ab？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。 专题：数形结合。分析：（1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求b点坐标；（2）假设存在，然后设c点坐标是（a，0），然后利用两点之间的公式可得=，借此无理方程，易得a=3或a=5，其中a=3和b点重合，舍去，故c点坐标可求解答：解：（1）把（4，2）代入反比例函数y=，得k=8，把y=0代入y=2x6中，可得x=3，故k=8；b点坐标是（3，0）；（2）假设存在，设c点坐标是（a，0），则ab=ac，=，即（4a）2+4=5，解得a=5或a=3（此点与b重合，舍去）故点c的坐标是（5，0）点评：本题考查了反比函数的知识，解题的关键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两点之间的距离公式2（2012乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于a点，与反比例函数（x0）的图象交于点m，过m作mhx轴于点h，且tanaho=2（1）求k的值；（2）点n（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在x轴上是否存在点p，使得pm+pn最小？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。 分析：（1）根据直线解析式求a点坐标，得oa的长度；根据三角函数定义可求oh的长度，得点m的横坐标；根据点m在直线上可求点m的坐标从而可求k的值；（2）根据反比例函数解析式可求n点坐标；作点n关于x轴的对称点n1，连接mn1与x轴的交点就是满足条件的p点位置解答：解：（1）由y=2x+2可知a（0，2），即oa=2（1分）tanaho=2，oh=1（2分）mhx轴，点m的横坐标为1点m在直线y=2x+2上，点m的纵坐标为4即m（1，4）（3分）点m在y=上，k=14=4（4分）（2）存在点n（a，1）在反比例函数（x0）上，a=4即点n的坐标为（4，1）（5分）过点n作n关于x轴的对称点n1，连接mn1，交x轴于p（如图所示）此时pm+pn最小（6分）n与n1关于x轴的对称，n点坐标为（4，1），n1的坐标为（4，1）（7分）设直线mn1的解析式为y=kx+b由解得k=，b=（9分）直线mn1的解析式为令y=0，得x=p点坐标为（，0）（10分）点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等3（2012莆田）如图，一次函数y=k1x+b的图象过点a（0，3），且与反比例函数（xo）的图象相交于b、c两点（1）若b（1，2），求k1k2的值；（2）若ab=bc，则k1k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。分析：（1）分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k1k2进行计算即可得解；（2）设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x的一元二次方程，根据ab=bc可知点c的横坐标是点b的纵坐标的2倍，再利用根与系数的关系整理得到关于k1、k2的关系式，整理即可得解解答：解：（1）a（0，3），b（1，2）在一次函数y=k1x+b的图象图象上，解得；b（1，2）在反比例函数图象上，=2，解得k2=2，所以，k1k2=（1）2=2；（2）k1k2=2，是定值理由如下：一次函数的图象过点a（0，3），设一次函数解析式为y=k1x+3，反比例函数解析式为y=，k1x+3=，整理得k1x2+3xk2=0，x1+x2=，x1x2=ab=bc，点c的横坐标是点b的横坐标的2倍，不防设x2=2x1，x1+x2=3x1=，x1x2=2x12=，=（）2，整理得，k1k2=2，是定值点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，（2）中根据ab=bc，得到点b、c的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键4（2012长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形oabc的顶点a、c的坐标分别为a（2，0）、c（1，2），反比例函数y=（k0）的图象经过点b（1）求k的值（2）将平行四边形oabc沿x轴翻折，点c落在点c处，判断点c是否在反比例函数y=（k0）的图象上，请通过计算说明理由考点：反比例函数综合题。 分析：（1）根据平行四边形的性质可得ao=bc，再根据a、c点坐标可以算出b点坐标，再把b点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k的值；（2）根据翻折方法可知c与c点关于x轴对称，故c点坐标是（1，2），把c点坐标（1，2）代入解析式发现能使解析式左右相等，故点c是否在反比例函数y=的图象上解答：解：（1）四边形oabc是平行四边形，bc=ao，a（2，0），oa=2，bc=2，c（1，2），cd=1，bd=bccd=21=1，b（1，2），反比例函数y=（k0）的图象经过点b，k=12=2；（2）oabc沿x轴翻折，点c落在点c处，c点坐标是（1，2），k=2，反比例函数解析式为y=，把c点坐标（1，2）代入函数解析式能使解析式左右相等，故点c在反比例函数y=的图象上点评：此题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形的性质，关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式7（2012宜宾）如图，抛物线y=x22x+c的顶点a在直线l：y=x5上（1）求抛物线顶点a的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点b，与x轴交于点c、d（c点在d点的左侧），试判断abd的形状；（3）在直线l上是否存在一点p，使以点p、a、b、d为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 专题：压轴题；分类讨论。分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点a的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点a的坐标（2）由a点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点b的坐标则ab、ad、bd三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状（3）若以点p、a、b、d为顶点的四边形是平行四边形，应分ab为对角线、ad为对角线两种情况讨论，即adpb、abpd，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出p点的坐标解答：解：（1）顶点a的横坐标为x=1，且顶点a在y=x5上，当x=1时，y=15=4，a（1，4）（2）abd是直角三角形将a（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，b（0，3）当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3c（1，0），d（3，0），bd2=ob2+od2=18，ab2=（43）2+12=2，ad2=（31）2+42=20，bd2+ab2=ad2，abd=90，即abd是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5交y轴于点a（0，5），交x轴于点f（5，0）oe=of=5，又ob=od=3oef与obd都是等腰直角三角形bdl，即pabd则构成平行四边形只能是padb或pabd，如图，过点p作y轴的垂线，过点a作x轴的垂线并交于点c设p（x1，x15），则g（1，x15）则pc=|1x1|，ag=|5x14|=|1x1|pa=bd=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2或4p（2，7），p（4，1）存在点p（2，7）或p（4，1）使以点a、b、d、p为顶点的四边形是平行四边形点评：题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（3）题应注意分类讨论，以免漏解8（2012温州）如图，经过原点的抛物线y=x2+2mx（m0）与x轴的另一个交点为a过点p（1，m）作直线pmx轴于点m，交抛物线于点b记点b关于抛物线对称轴的对称点为c（b、c不重合）连接cb，cp（1）当m=3时，求点a的坐标及bc的长；（2）当m1时，连接ca，问m为何值时cacp？（3）过点p作pepc且pe=pc，问是否存在m，使得点e落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点e坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 分析：（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出bc的长；（2）过点c作chx轴于点h（如图1）由已知得acp=bch=90，利用已知条件证明achpcb，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出bc，ch，bp，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本题要分当m1时，bc=2（m1），pm=m，bp=m1和当0m1时，bc=2（1m），pm=m，bp=1m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点e坐标解答：解：（1）当m=3时，y=x2+6x令y=0得x2+6x=0x1=0，x2=6，a（6，0）当x=1时，y=5b（1，5）抛物线y=x2+6x的对称轴为直线x=3又b，c关于对称轴对称bc=4（2）过点c作chx轴于点h（如图1）由已知得acp=bch=90ach=pcb又ahc=pbc=90achpcb，抛物线y=x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m1，又b，c关于对称轴对称，bc=2（m1），b（1，2m1），p（1，m），bp=m1，又a（2m，0），c（2m1，2m1），h（2m1，0），ah=1，ch=2m1，m=（3）b，c不重合，m1，（i）当m1时，bc=2（m1），pm=m，bp=m1，（i）若点e在x轴上（如图1），cpe=90，mpe+bpc=mpe+mep=90，pc=ep，bpcmep，bc=pm，2（m1）=m，m=2，此时点e的坐标是（2，0）；（ii）若点e在y轴上（如图2），过点p作pny轴于点n，易证bpcnpe，bp=np=om=1，m1=1，m=2，此时点e的坐标是（0，4）；（ii）当0m1时，bc=2（1m），pm=m，bp=1m，（i）若点e在x轴上（如图3），易证bpcmep，bc=pm，2（1m）=m，m=，此时点e的坐标是（，0）；（ii）若点e在y轴上（如图4），过点p作pny轴于点n，易证bpcnpe，bp=np=om=1，1m=1，m=0（舍去），综上所述，当m=2时，点e的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点e的坐标是（，0）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质以及全等三角形的性质和全等三角形的判定、需注意的是（3）题在不确e点的情况下需要分类讨论，以免漏解题目的综合性强，难度也很大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目9（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为b（2，1），且过点a（0，2），直线y=x与抛物线交于点d，e（点e在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点c，交x轴于点g，efx轴，垂足为点f，点p在抛物线上，且位于对称轴的右侧，pmx轴，垂足为点m，pcm为等边三角形（1）求该抛物线的表达式；（2）求点p的坐标；（3）试判断ce与ef是否相等，并说明理由；（4）连接pe，在x轴上点m的右侧是否存在一点n，使cmn与cpe全等？若存在，试求出点n的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 分析：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x2）2+1，把a的坐标代入即可求得函数的解析式；（2）根据pcm为等边三角形，则cgm中，cmd=30，cg的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得cm，即等边cmp的边长，则p的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得p的坐标；（3）解方程组即可求得e的坐标，则ef的长等于e的纵坐标，oe的长度，利用勾股定理可以求得，同理，oc的长度可以求得，则ce的长度即可求解；（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使cmncpe，可以证得en=ef，即n与f重合，与点e为直线y=x上的点，cef=45即点n与点f不重合相矛盾，故n不存在解答：解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x2）2+1，将点a（0，2）代入，得a（02）2+1=21分解这个方程，得a=抛物线的表达式为y=（x2）2+1。（2）将x=2代入y=x，得y=2点c的坐标为（2，2）即cg=2，pcm为等边三角形cmp=60，cm=pmpmx轴，cmg=30cm=4，gm=2om=2+2，pm=4，将y=4代入y=（x2）2+1，得4=（x2）2+1解这个方程，得x1=2=om，x2=220（不合题意，舍去）点p的坐标为（2+2，4）。（3）相等。把y=x代入y=x2x=2，得x=x2x+2解这个方程，得x1=4+2，x2=422（不合题意，舍去）y=4+2=ef点e的坐标为（4+2，4+2）oe=4+4又oc=，ce=oeoc=4ce=ef。（4）不存在假设x轴上存在一点，使cmncpe，则cn=ce，mnc=pcemcp=60，nce=60又ce=ef，en=ef。又点e为直线y=x上的点，cef=45，点n与点f不重合efx轴，这与“垂线段最短”矛盾，原假设错误，满足条件的点n不存在。点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得e的坐标是关键10（2012泰安）如图，半径为2的c与x轴的正半轴交于点a，与y轴的正半轴交于点b，点c的坐标为（1，0）若抛物线y=x2+bx+c过a、b两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点p，使得pbo=pob？若存在，求出点p的坐标；若不存在说明理由；（3）若点m是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，mab的面积为s，求s的最大（小）值考点：二次函数综合题。 分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式因为已知a（3，0），所以需要求得b点坐标如答图1，连接ob，利用勾股定理求解；（2）由pbo=pob，可知符合条件的点在线段ob的垂直平分线上如答图2，ob的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的p点有两个，注意不要漏解；（3）如答图3，作mhx轴于点h，构造梯形mboh与三角形mha，求得mab面积的表达式，这个表达式是关于m点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得mab面积的最大值解答：解：（1）如答图1，连接obbc=2，oc=1ob=b（0，）将a（3，0），b（0，）代入二次函数的表达式得，解得，y=x2+x+（2）存在如答图2，作线段ob的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点pb（0，），o（0，0），直线l的表达式为y=代入抛物线的表达式，得x2+x+=；解得x=1，p（1，）（3）如答图3，作mhx轴于点h设m（xm，ym），则smab=s梯形mboh+smhasoab=（mh+ob）oh+hamhoaob=（ym+）xm+（3xm）ym3=xm+ymym=xm2+xm+，smab=xm+（xm2+xm+）=xm2+xm=（xm）2+当xm=时，smab取得最大值，最大值为点评：本题是二次函数综合题，重点考查二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线/勾股定理、面积求法等知识点第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极