等价思想在中学数学教学中的应用.pdf

又如 一个正三棱台的上 下底的周长分 别为12cm和30cm 侧面积等于两底面积之差 求斜高 若没有注意空间想象 马上进行解答 设斜高为 h 则 22 30123 104 3 24 hh 其实 仅有以上形式推理是不够的 仔细 进行想象或计算不难发现这样的棱台是不存 在的 求同思维方法 它与求异思维方法完全不同 是以集中 思维为特点的逻辑思维方法 掌握求同思维 方法 具体讲就是要求学生掌握正确严密的 论证方法 演绎推理和证明格式 其中 由特殊 到一般的解题方法占主导地位 例2已知i m n是正整数 且1imn I 证明 iiii mn n pm p 2001 年高考数学试卷第 20 题 由于此题目字母较多 不少考生无从下 手 倘若采取特殊化方法 赋予 i m n 两 三组 具体数值 通过计算 寻找出一般的证明方法 最后再进行严密的论证 就能顺利解决这个 问题 灵感思维方法 灵感是人的一种直觉 指的是人们研究 某个问题时 没有象通常那样运用逻辑推理 一步一步地由已知到未知 而是一眼看穿问 题的本质 一步到位 钱学森教授说过 灵感 是又一种可以控制的大脑活动 一种思维 也 是有规律的 平时教学中 教师应努力创造能 够诱发学生形成灵感思维的环境和条件 如 指导学生查找有关的数学资料 了解科学家 产生灵感思维的例子 师生经常性展开无拘 无束的讨论 对各种现象问题从不同角度进 行观察 剖析 一旦有奇思妙想的思维火花出 现 立即捕捉下来 记录跟踪 3 2 鼓励学生大胆质疑 解放思想 不受陈规旧习束缚 敢向一切 挑战是创新的必备素质之一 例如 对数学课 本中的知识 许多学生往往视之为经典 认为 一成不变 无可挑剔 为了培养学生创新能力 可引导学生对教材一些内容进行质疑 例3 高中 代数 下 第 9 页定理 2 如果 a b cR 那么 333 3abcabc 当 且仅当abc 时取 号 是否一定要有 a b cR 结论才能成 立呢 显然当 a b c有一个为 0 时 结论也会 成立 即 a b cR 0 仍成立 条件是否可以进一步降低 继续观察证 题过程 可以发现 若 a b cR 且0abc 则有 33 ab 3 3cabc 等价思想在中学数学教学中的应用 福建晋江养正中学 许远望 1 问题的提出 例1 考察下列两个方程的解法 1 2 xx 2 sincosxx 解 1 由 2 xx 两边同除以 x 得1x 2 由 sincosxx 两边同除以 cosx 得 sin 1 cos x x 即tan1x 4 xkkz 很明显 1 的结果是错的 2 的结果 是对的 同样是在方程的两边同除以一个含 有未知数的式子 为什么会产生误 正两种不 同的结果呢 老师在解释这个问题时 或许 会对学生说 1 中的解法丢失了0 x 的根 而 2 中的解法并没有失根 这样讲 只是就 事论事 没有真正触及到问题的本质 笔者认 为 此类问题的深层次分析 对中学数学教学 有着重要的指导意义 4 例2 已知函数 5 2 x yf x xm 的图象 关于直线 yx 成对称 求实数 m 的值 苏州 大学 高三数学教学与测试 教师用书 上 册 P4 原书的解答是 f x 的反函数是自身 又点 5 0 在 f x 的图象上 点 0 5 也在 f x 的图象上 即 5 5m 得1m 这种解答貌似技巧性很强 不慎重的老 师 照本宣科 课堂上有的学生也拍手叫好 因 为用其它方法解 答案果真是1m 现在用原书中的解法 解下面这道题 例3 已知函数 5 21 xm f x xm 的图象 关于直线 yx 成对称 求实数 m的值 解 f x 的反函数是自身 又点 5 m 0 在 f x 的图象上 点 0 5 m 也在 f x 的 图 象 上 即 5 5 1 m m m 解 得0m 或 2m 用其他方法一解 会发现 0m 这 个答案是错的 其实 当0m 时 原函数为 21 x f x x 不难求出其反函数为 1 fx 12 x x 它们并不相同 这是怎么回事呢 书上的解法也会有错 吗 作为老师 我们不能迷信书本 数学是一 门推理十分严谨的学科 是非不能含糊 前面 各例存在的问题 在平时教与学的过程中是 经常发生的 有的问题还是比较隐蔽的 不象 例1中的 1 那样容易发现 作为一名中学数学 教师 面对的不仅是书本 更多的是天天见面 的学生 我们要帮助他们理出正确的分析问 题 解决问题的思路 2 产生问题的根源 在中学教学中 涉及到 等价 的问题很 多 定义中的概念与其含义是等价的 解集与原 方程 或原不等式 是等价的 问题的转化过程 经常需要等价 在处理问题时 如果等价性受到 破坏 加上处理不当 经常会得出错误的结论 回到例 1 1 中的 2 xx 与 1x 不等价 2 中的 sincosxx 与 tan1x 是等价的 这是由于两者同样隐含了 cosx 0 的缘故 再回到例 3 由 f x 的表达式 知点 5 0 m 在函数 f x 图象上 虽有这个前提 但 f x 的反函数是它自身 并非等价于 点 0 5 m 在 f x 的图象上 事实上 前者可以 推出后者 可是后者却推不出前者 后者仅是 前者的必要非充分条件 尽管例 2 的答案 1m 是对的 但其解 答过程与例 3 犯有同样的错误 大家知道 判别式法即 法 是处理直 线与圆锥曲线位置关系的重要方法 但为什 么把它运用两个圆锥曲线的位置关系时会出 现差错呢 先看下面两例的解法 例4 b 为何实数时 直线 yxb 与椭 圆 22 44xy 有两个交点 解 由 代入 得 22 4 4xxb 即 22 584 1 0 xbxb 方程 有两个不同实根 22 6480 1 0bb 解得 2 5b 所求的取值范 围为55b 得5m 故当 5m 时 两曲线有两个公共点 只有作一下草图 很容易发现 5m 势必得出错误的结论 有的学生用下列方法解例 5 依题意 知抛物线的顶点 2 0 m 必在 椭圆内部 所以 2 1 1 42 m 解得 44m 表面看来 方法很简单 答案也是对的 可是 只 要 把 题 设 中 的 2 2yxm 改 为 2 2yxm 照此方去解 得出的答案却是 错的 错误的原因 在于以充分性代替了等价性 3 解决问题的办法 3 1 把握住等价性 例6 求函数 2 3 32 x y xx 的值域 解 去分母 得 2 32 3xxyx 整理 得 2 31 23 0yxyxy 1 若3x 则0y 2 若3x 则0y 关于 x 的方程 有实根 2 31 4 23 0yyy 解得32 2 0 yy 或32 2y 由1 2 知 所求值域为 32 2 32 2 在上述例题的解答过程中 学生们会提 出两个问题 其一 去分母会不会出问题 其二 对方程 用 法 万一方程出 现1x 或2x 的根 不就使得原函数式没意 义了吗 这两个问题可以一并回答 去分母后的 方程 与原函数式是等价的 理由是 它们同 样约制了 1x 且2x 又 是 的等价 变形 所以 0 所确保的方程 的实根必 不可能是 1 或 2 用同样的道理可以证明 对于既约分式 二次函数 2 2 axbxc y dxexf a d 至少一个不为 零 的值域问题 用 法 来解 不必对分母 是否为 0 进行讨论 3 2 简化与优化 解题的过程就是条件到结果转化的一个 过程 同样是等价转化 有繁有简 有优有劣 在 教学过程中 要善于激发学生的思维 培养学 生的创新精神 以简易繁 以优汰劣 例7 已知当01x 时 2 2f xxmx 210m 恒成立 求 m 的取值范围 解法1 分离参数 最值法 由 0f x 得 2 2 1 1m xx I 1 当1x 时 I 式恒成立 则此时 m 可 取任意实数 2 当01x 而当0 x 时 上式右 边取得最大值 1 2 故1 2m 由1 2 知 1 2 m 解法2 分离参数 数形结合法 当 01x 时 I 式 左 边 对 应 于 以 1 0 A 0 2 Bm 为端点的线段 右边对应于 0 1 C 1 2 D为端点的抛物线弧 如图所示 x y O D C B A 6 参考文献 福建南安第一中学 林少安 I 式在区间 0 1 上恒成立 线段 AB 恒位于抛物线 CD 弧的下方 因此 BC yy 即 21m 2 3 让必要条件发挥作用 在实际解题过程中 并非每个问题都要步步 寻找其等价条件 即充要条件 先求出其必要条 件 再验证其充分性 也是一种重要的途径 例8 解复数方程2 0zzi 解 2 zzi II 两边取模 得 2 2 1zz 解得 3 3z 注意 3 3z 是z为原 方程的解的必要条件 代入 II 得 33 6zi 经检验 知 33 6 i z 是原方程的解 前面例 2 例 3 的解法 错就是错在缺少 了检验其充分性这一步骤 把所求的参数 m 的值代入函数式 满足 1 fxf x 的才是所 求的值 补充了这一步 解法就不失为一种好 方法了 结束语 等价思想及充要条件在中学数 学教学中有着重要的应用 驾驭它们 将使教 师在分析问题时洞察秋毫 解决问题时居高 临下 在全面推进素质教育的今天 有意识地 把这种思想方法传授给学生 对提高学生严 密的逻辑思维能力 培养他们勇于探索 创新 求异的精神有着深远的意义 1 高三数学教学与测试 编委会 高三数学教学 与测试 上册 教师用书 苏州 中学数学月刊 2 0 0 1 版 2 许远望 用分离参数法确定参数取值范围 中学 生数理化 1 9 9 2 8 3 许远望 一类含参问题的处理途径 中学数学研 究 1 9 9 2 4 4 许远望 三角函数图象在解题中的应用 数学教 学通讯 1 9 9 0 6 谈中学数学建模思想方法 数学建模是解决各种实际问题的一种思 考方法 它从量和形的侧面去考查实际问题 尽可能通过抽象 或简化 确定出主要的参量 参数 应用与各学科有关的定律 原理建立起 它们的某种关系 这样一个明确的数学问题 就是某种简化了的一个数学模型 建立数学模型的大致过程是 1 分析研究实际问题的对象和特点 确 定数学模型的类别 2 选择具有关键性作用的基本数量关 系并确定其间的相互关系 3 用数学概念 符号表达事物的对象及 其相互关系 数学建模的基本思想方法可用下图表 示 下面谈谈中学数学