高考数学二轮复习 专题五 立体几何与空间向量 5.2 空间中的平行与垂直课件 理.ppt

第2讲空间中的平行与垂直 2 热点考题诠释 高考方向解读 1 2017全国3 文10 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为棱cd的中点 则 a a1e dc1b a1e bdc a1e bc1d a1e ac 答案 解析 3 热点考题诠释 高考方向解读 2 2017全国2 理10 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc 120 ab 2 bc cc1 1 则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为 答案 c 4 热点考题诠释 高考方向解读 解析 方法一 如图 取ab bb1 b1c1的中点m n p 连接mn np pm 可知ab1与bc1所成的角等于mn与np所成的角 5 热点考题诠释 高考方向解读 6 热点考题诠释 高考方向解读 7 热点考题诠释 高考方向解读 3 2017浙江 9 如图 已知正四面体d abc 所有棱长均相等的三棱锥 p q r分别为ab bc ca上的点 ap pb 分别记二面角d pr q d pq r d qr p的平面角为 则 a b c d 答案 解析 8 热点考题诠释 高考方向解读 4 2017天津 文17 如图 在四棱锥p abcd中 ad 平面pdc ad bc pd pb ad 1 bc 3 cd 4 pd 2 1 求异面直线ap与bc所成角的余弦值 2 求证 pd 平面pbc 3 求直线ab与平面pbc所成角的正弦值 9 热点考题诠释 高考方向解读 10 热点考题诠释 高考方向解读 2 证明 因为ad 平面pdc 直线pd 平面pdc 所以ad pd 又因为bc ad 所以pd bc 又pd pb 所以pd 平面pbc 11 热点考题诠释 高考方向解读 3 解 过点d作ab的平行线交bc于点f 连接pf 则df与平面pbc所成的角等于ab与平面pbc所成的角 因为pd 平面pbc 故pf为df在平面pbc上的射影 所以 dfp为直线df和平面pbc所成的角 由于ad bc df ab 故bf ad 1 由已知 得cf bc bf 2 又ad dc 故bc dc 12 热点考题诠释 高考方向解读 5 2017浙江 19 如图 已知四棱锥p abcd pad是以ad为斜边的等腰直角三角形 bc ad cd ad pc ad 2dc 2cb e为pd的中点 1 证明 ce 平面pab 2 求直线ce与平面pbc所成角的正弦值 13 热点考题诠释 高考方向解读 解 1 如图 设pa中点为f 连接ef fb 所以ef bc且ef bc 即四边形bcef为平行四边形 所以ce bf 因此ce 平面pab 14 热点考题诠释 高考方向解读 2 分别取bc ad的中点为m n 连接pn交ef于点q 连接mq 因为e f n分别是pd pa ad的中点 所以q为ef中点 在平行四边形bcef中 mq ce 由 pad为等腰直角三角形得pn ad 由dc ad n是ad的中点得bn ad 所以ad 平面pbn 由bc ad得bc 平面pbn 那么平面pbc 平面pbn 过点q作pb的垂线 垂足为h 连接mh mh是mq在平面pbc上的射影 所以 qmh是直线ce与平面pbc所成的角 15 热点考题诠释 高考方向解读 16 热点考题诠释 高考方向解读 从近几年的高考试题来看 在本讲中所涉及的主要内容是 1 有关线面位置关系的组合判断 试题通常以选择题的形式出现 主要是考查空间线线 线面 面面位置关系的判定与性质 2 有关线线 线面和面面的平行与垂直的证明 试题以解答题为主 常以多面体为载体 突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力 3 线线角 线面角和二面角是高考的热点 尤其是线面角和二面角 几乎每年必考 题型多为解答题 一般为中低档题 主要考查空间想象能力 逻辑思维能力和转化与化归的应用能力 对于求线线角 线面角和二面角的问题 常用方法有两种 几何法和空间向量法 几何法要理清求角的三部曲 即 一作 二证 三求 是解答此类问题的关键 17 热点考题诠释 高考方向解读 4 立体几何中的动态问题 由于具有较强的灵活性 而且不易整理出通法 一直都是高考的热点和难点 2013年 2015年选择题最后一题 2016年填空题第14题浙江高考卷都出现了此类问题 2015年 2016年均考查了翻折问题 2013年是立体几何的材料阅读题 将问题进行等价转化是解决这类问题的根本出发点 常见的转化有将立体转化为平面 将立体几何中的最值问题转化为函数最值问题 要注意在动态问题中寻找静态的量 化动为静 考向预测 新高考下浙江卷立体几何的考查主要体现以下两个方面的趋势 1 小题立体几何以考查二面角或动态立体几何问题为主 难度较大 2 大题立体几何考查以平行与垂直关系的证明和线面角为主 难度中等 18 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 例1 1 对于两条不同的直线m n和两个不同的平面 以下结论正确的是 a 若m n m n是异面直线 则 相交b 若m m n 则n c 若m n m n共面于 则m nd 若m n 不平行 则m n为异面直线 19 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 2 如图 在下列四个正方体中 a b为正方体的两个顶点 m n q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线ab与平面mnq不平行的是 20 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案 1 c 2 a解析 1 a 时 m n m n是异面直线可以成立 故a错误 b 若m m 则 因为n 则n 或n 故b错误 c 利用线面平行的性质定理 可得c正确 d 若m n 不平行 则m n为异面直线或相交直线 故d错误 故选c 2 易知选项b中 ab mq 且mq 平面mnq ab 平面mnq 则ab 平面mnq 选项c中 ab mq 且mq 平面mnq ab 平面mnq 则ab 平面mnq 选项d中 ab nq 且nq 平面mnq ab 平面mnq 则ab 平面mnq 故排除选项b c d 故选a 21 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法 1 根据空间线面垂直 平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题 2 必要时可以借助空间几何模型 如从长方体 四面体等模型中观察线面位置关系 并结合有关定理来进行判断 3 应熟练掌握立体几何的三种语言 符号语言 自然语言以及图形语言的相互转换 22 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 迁移训练1a b c表示不同的直线 m表示平面 给出四个命题 若a m b m 则a b或a b相交或a b异面 若b m a b 则a m 若a c b c 则a b 若a m b m 则a b 其中正确的为 a b c d 答案 解析 23 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 例2由四棱柱abcd a1b1c1d1截去三棱锥c1 b1cd1后得到的几何体如图所示 四边形abcd为正方形 o为ac与bd的交点 e为ad的中点 a1e 平面abcd 1 证明 a1o 平面b1cd1 2 设m是od的中点 证明 平面a1em 平面b1cd1 24 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 证明 1 取b1d1的中点o1 连接co1 a1o1 由于abcd a1b1c1d1是四棱柱 所以a1o1 oc a1o1 oc 因此四边形a1oco1为平行四边形 所以a1o o1c 又o1c 平面b1cd1 a1o 平面b1cd1 所以a1o 平面b1cd1 25 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 2 因为ac bd e m分别为ad和od的中点 所以em bd 又a1e 平面abcd bd 平面abcd 所以a1e bd 因为b1d1 bd 所以em b1d1 a1e b1d1 又a1e em 平面a1em a1e em e 所以b1d1 平面a1em 又b1d1 平面b1cd1 所以平面a1em 平面b1cd1 26 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法1 证明线线平行的常用方法 1 利用平行公理 即证明两直线同时和第三条直线平行 2 利用平行四边形进行转换 3 利用三角形中位线定理证明 4 利用线面平行 面面平行的性质定理证明 2 证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的判定定理 把证明线面平行转化为证线线平行 2 利用面面平行的性质定理 把证明线面平行转化为证面面平行 3 证明面面平行的方法证明面面平行 依据判定定理 只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可 从而将证面面平行转化为证线面平行 再转化为证线线平行 27 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 4 证明线线垂直的常用方法 1 利用特殊平面图形的性质 如利用直角三角形 矩形 菱形 等腰三角形等得到线线垂直 2 利用勾股定理的逆定理 3 利用线面垂直的性质 即要证线线垂直 只需证明一条直线垂直于另一条直线所在平面即可 5 证明线面垂直的常用方法 1 利用线面垂直的判定定理 把线面垂直的判定转化为证线线垂直 2 利用面面垂直的性质定理 把证明线面垂直转化为证面面垂直 3 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 28 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 6 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 29 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 迁移训练2如图 在三棱锥a bcd中 ab ad bc bd 平面abd 平面bcd 点e f e与a d不重合 分别在棱ad bd上 且ef ad 求证 1 ef 平面abc 2 ad ac 30 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 证明 1 在平面abd内 因为ab ad ef ad 所以ef ab 又因为ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 2 因为平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd bc 平面bcd bc bd 所以bc 平面abd 因为ad 平面abd 所以bc ad 又ab ad bc ab b ab 平面abc bc 平面abc 所以ad 平面abc 又因为ac 平面abc 所以ad ac 31 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 2 如图 已知三棱锥d abc 记二面角c ab d的平面角是 直线da与平面abc所成的角是 1 直线da与bc所成的角是 2 则 a 1b 1c 2d 2 32 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 3 如图 在三棱柱abc def中 点p g分别是ad ef的中点 已知ad 平面abc ad ef 3 de df 2 求证 dg 平面bcef 求pe与平面bcef所成角的正弦值 33 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案 1 d 2 a 34 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 35 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 3 证明 因为ad 平面abc 所以ad dg 所以bf dg 因为de df g是ef的中点 所以ef dg 又bf ef f 所以dg 平面bcef 解 取bc的中点h 连接hg 取hg的中点o 连接op oe 因为po dg 所以po 平面bcef 所以 oep是pe与平面bcef所成的角 36 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法1 线线角 用平移法求两条异面直线所成的角时 需注意 1 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 最终将空间角转化为平面角 利用解三角形的知识求解 2 因为异面直线所成角 的取值范围是0 90 所以所作的角为钝角时 应取它的补角作为异面直线所成的角 2 线面角 用综合法求直线与平面所成角的方法 1 定义法利用定义法求线面角 常常利用面面垂直的性质定理 得到线面垂直 进而确定线面角中的垂足 确定好垂足 明确斜线在平面内的射线 即可确定线面角 然后通过解直角三角形求角 37 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 2 间接法如果线面角不好确定 可考虑间接法 不用找角 其基本理论为 在构成线面角的直角三角形中 如果垂足位置不好确定 可以利用求点面距的常用方法 等体积法求解垂线段的长度 然后利用3 二面角 求二面角的大小关键是作出二面角的平面角 作二面角的平面角的方法如下 1 定义法 在二面角的棱上找一特殊点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图 1 aob为二面角 l 的平面角 38 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 2 垂直法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 如图 2 aob为二面角 l 的平面角 3 垂线法 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图 3 abo为二面角 l 的平面角 39 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 迁移训练3a b为空间中两条互相垂直的直线 等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a b都垂直 斜边ab以直线ac为旋转轴旋转 有下列结论 当直线ab与a成60 角时 ab与b成30 角 当直线ab与a成60 角时 ab与b成60 角 直线ab与a所成角的最小值为45 直线ab与a所成角的最大值为60 其中正确的是 填写所有正确结论的编号 答案 解析 40 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案 a 41 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 42 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 43 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 迁移训练5如图 已知四棱柱abcd a1b1c1d1的底面是菱形 侧棱aa1 底面abcd m是ac的中点 bad 120 aa1 ab 1 求证 md1 平面a1bc1 2 求直线ma1与平面a1bc1所成的角的正弦值 44 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 1 证明 连接b1d1交a1c1于点e 连接be bd 四边形abcd为菱形 点m在bd上 且ed1 bm 又 ed1 bm 故四边形ed1mb是平行四边形 则md1 be md1 平面a1bc1 45 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 2 解 由于a1b1c1d1为菱形 a1c1 b1d1 又 abcd a1b1c1d1是直四棱柱 a1c1 bb1 a1c1 平面bb1d1d 平面bb1d1d 平面bc1a1 过点m作平面bb1d1d和平面bc1a1的交线be的垂线 垂足为h 得mh 平面bc1a1 连接ha1 则 ma1h是直线ma1与平面bc1a1所成的角 46 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 例4 1 如图 在直二面角a bd c中 abd cbd均是以bd为斜边的等腰直角三角形 取ad中点e 将 abe沿be翻折到 a1be 在 abe的翻折过程中 下列不可能成立的是 a bc与平面a1be内某直线平行b cd 平面a1bec bc与平面a1be内某直线垂直d bc a1b 47 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 48 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解析 1 连接ce 当平面a1be与平面bce重合时 bc 平面a1be 平面a1be内必存在与bc平行和垂直的直线 故a c可能成立 在平面bcd内过b作cd的平行线bf 使得bf cd 连接ef 则当平面a1be与平面bef重合时 bf 平面a1be 故平面a1be内存在与bf平行的直线 即平面a1be内存在与cd平行的直线 cd 平面a1be 故c可能成立 49 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 50 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 规律方法立体几何中的动态问题常通过以下三个途径体现 1 立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的一类典型问题 是实践能力与创新能力考查的好素材 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形 并弄清折叠前后哪些发生了变化 哪些没有发生变化 这些未变化的已知条件都是分析问题和解决问题的依据 2 立体几何中的最值问题与空间图形有关的线段 角 距离 面积 体积等最值问题常常在高考试题中出现 在解决此类问题时 首先在充分理解题意的基础上 分析是否能用公理与定义直接解决题中问题 如果不能 再看是否可将问题条件转化为函数 若能写出确定的函数 则可用建立函数法求解 若不能 则要考虑其中是否存在不等关系 看是否能运用解不等式法求解 51 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 3 立体几何中的探究性问题探究性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立 内容涉及异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 平行与垂直等方面 对于这类问题一般可用综合推理的方法 分析法 特殊化法和向量法来解决 4 立体几何中的轨迹问题 动点和动线可形成空间轨迹 常见的轨迹有 到定点的距离为定常数的点的轨迹为球 与定直线等距的点的轨迹为圆柱面 与定直线相交并成等角的直线形成的轨迹为圆锥面 一条直线绕与其平行的直线旋转所成的轨迹是圆柱面等 52 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 迁移训练6如图 在三棱柱abc a1b1c1中 已知e f分别是线段ab1与ca1上的动点 异面直线ab1与ca1所成角为 记线段ef中点m的轨迹为l 则 l 等于 答案 解析 53 数学本质提分1 最小角定理 过平面的斜线和它在平面内的射影所成的角 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角 即线面角是线线角中的最小角 2 最大角定理 过锐二面角棱上一点在其中一个半平面内作射线 这条射线与另一个平面所成的线面角在射线垂直于棱时达到最大值 此最大线面角即为锐二面角的平面角 54 典例在四面体abcd中 二面角a bc d为60 p为直线bc上一动点 记直线pa与平面bcd所成的角为 则 a 的最大值为60 b 的最小值为60 c 的最大值为30 d 的最小值为30 答案 a 55 解析 方法一 过点a作am bc ao 平面bcd 垂足为o 连接om 则 amo为二面角a bc d的平面角 amo 60 在直