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万有引力定律及其应用专题知识梳理1. 开普勒行星运动定律1万有引力定律3万有引力定律应用解决天体、卫星运动问题3万有引力定律与牛顿运动定律相结合一、开普勒行星运动定律1开普勒第一定律所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。2开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。3开普勒第三定律所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则（k是一个与行星无关的常量）。疑难导析1开普勒第一定律告诉我们行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在它的一个焦点上由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道，而k值只与太阳有关，与行星无关。2开普勒定律的应用（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为 （2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为 ，这时由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时，中的值是不同的。（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。二、万有引力定律：（1687年） 适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）疑难导析重力和万有引力重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示，产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；但一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即常用来计算星球表面的重力加速度。在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即。 说明：和不仅适用于地球也适用于其他星球。在赤道处，物体的分解的两个分力和mg刚好在一条直线上，则有。三、万有引力定律的应用1解题的相关知识：（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即；二、地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即Gmg从而得出GMRg（黄金变换）（2）圆周运动的有关公式：，v=r。讨论：由可得： r越大，v越小。由可得： r越大，越小。由可得： r越大，T越大。由可得： r越大，a向越小。点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。2常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由 得又 得（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：轨道重力加速度：（gh应理解成向心加速度）（3）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）（4）双星问题：（5）有关航天问题的分析：（6）天体问题为背景的信息给予题开普勒定律例1关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（ ）A所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处C离太阳越近的行星的运动周期越长D所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等1海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳平均距离的30倍，地球公转周期是3.16107 s，那么海王星绕太阳运行的周期约为 s2宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）A3年 B9年 C27年 D81年万有引力定律例对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力表达式为FG，下列说法正确的是( )A公式中的G是引力常量，它是由实验得出的而不是人为规定的B当两物体的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C相互作用的两个物体，质量大的物体受到的引力较大，质量小的物体受到的引力较小D两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距离地心的距离与距离月心的距离之比为( )A19B91C127D2712下列说法中正确的是( )（双选）A质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等B把质量为m的物体从地面移到高空上，其重力变小了C同一物体在赤道处的重力比在两极处的重力大D同一物体在任何地方其质量都是相同的3下列说法符合事实的是( )A 牛顿发现了行星的运动规律 B 开普勒发现了万有引力定律卡文迪许第一次在实验室测出了万有引力常量 人造地球同步卫星的周期与地球自转周期在轨道上运行的人造卫星，如天线突然脱落，则天线将（ ）A 做自由落体运动 做平抛运动和卫星一起在同一轨道上绕地球运动 由于惯性沿轨道切线方向做直线运动根据观测，某行星外围有一个模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是（ ）（双选）A若V与R成正比，则环是连续物 B若V与R成反比，则环是连续物C若V2与R成正比，则环是卫星群 D若V2与R成反比，则环是卫星群 万有引力定律应用例把太阳系各行星运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越近的行星( )A周期越小B线速度越小C角速度越小D加速度越小设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的( )A线速度越大B角速度越大C向心加速度越大D周期越长两颗小行星都绕太阳做圆周运动，它们的周期分别是T和3T，则：（ ）A它们绕太阳运动的轨道半径之比为13 B它们绕太阳运动的轨道半径之比为1C它们绕太阳运动的速度之比为1 D它们受太阳的引力之比为9下列说法正确的是：（ ）A因F=m2r，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力增大到2倍B因F=mv2/r，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力减小为原来的1/2C因F=GMm/ r2，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力减小为原来的1/4D仅知道卫星的轨道半径的变化，无法确定向心力的变化根据观测，某行星外围有一个模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是（ ）（双选）A若V与R成正比，则环是连续物 B若V与R成反比，则环是连续物C若V2与R成正比，则环是卫星群 D若V2与R成反比，则环是卫星群 我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。两颗卫星相比 号离地面较高； 号观察范围较大； 号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 。例若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出( )A某行星的质量B太阳的质量C某行星的密度D太阳的密度已知月球的半径为r，月球表面的重力加速度为g月，万有引力恒量为G，若忽略月球的自转，试求出月球的平均密度表达式 2已知某行星的半径和绕该行星表面运行的卫星的周期，可以求得下面哪些是（ ）A该行星的质量 B该行星的表面的重力加速度C该行星同步卫星高其表面的高度 D该行星的第一宇宙速度例设地球表面重力加速度为go，物体距离地心4R（R是地球半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/go为：（ ）A1 B1/9 C1/4 D1/16绕地球作圆周运动的某人造地球卫星，距地球表面的高度恰好等于地球半径R，线速度为V，地球表面附近的重力加速度为g，则以上各量的关系是：（ ）AV= BV=CV= DV= 21一宇宙飞船在离地为h高的圆轨道上作匀速圆周运动，质量为m 的物块用弹簧称挂起相对于飞船静止，则此物块所受的合外力的大小为_（已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g）例目前地球上空的同步卫星有很多种类，用于科学实验、资源勘测、通讯、气象等它们虽然质量、功能各不相同，但一定具有相同的( )（双选）A线速度B角速度 C向心加速度D距地球表面的高度1某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h，设地球半径为R，自转周期为T，地面处的重力加速度为g，则该同步卫星的线速度的大小应为( ) （双选）ACD2用m表示地球同步通信卫星的质量，h表示卫星离地面的高度，M表示地球的质量，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，T0表示地球自转的周期，w0表示地球自转的角速度，地球同步通信卫星的环绕速度大小v为( ) （双选）Aw 0(R0h)B C D亚洲一号是我国发射的通讯卫星，设地球自转角速度一定，则亚洲一号（ ）（双选）A绕地球运转的角速度等于地球自转的角速度 B沿着与赤道成一定角度的轨道运动C运行的轨道半径为一确定值 D如果需要可以固定在北京上空4同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R。则（ ）Aa1：a2=r：R Ba1：a2=R2：r2 Cv1：v2=R2：r2 D在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）A它们的质量可能不同B它们的速度可能不同C它们的向心加速度可能不同D它们离地心的距离可能不同地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（）（双选） Aa是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；Ba是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；Ca是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度Da是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。例发射地球同步卫星时，先将卫星发射至圆轨道1上，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3轨道1、轨道2相切于Q点，轨道2、轨道3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( ) （双选）A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C卫星在轨道1上的经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D卫星在轨道2上的经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度人造卫星沿圆形轨道绕地球运行，由于大气阻力作用使其高度逐渐降低，则它的（ ）A向心加速度减小 B线速度减小 C角速度不变 D周期减小例如图所示，圆a、b、c其圆心均在地球的自转轴线上，对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言，则( ) （双选）A卫星的轨道可能为a B卫星的轨道不可能为bC卫星的轨道可能为cD同步卫星的轨道只可能为b如图，卫星A、B、C在相隔不远的不同轨道上，以地球为中心做匀速圆周运动，且运动方向的相同，若某时刻恰好在同一直线上，则当卫星B经过一个周期时，下列关于三个卫星的位置说法中正确的是：（ ） 地球ABCA三个卫星的位置仍在一条直线上 B卫星A位置超前于B，卫星C位置滞后于B C卫星A位置滞后于B，卫星C位置超前于B D由于缺少条件，无法比较它们的位置可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ）A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的PQ例如图，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则（ ）AP、Q受地球引力大小相等 BP、Q作圆周运动的向心力大小相等CP、Q作圆周运动的角速度大小相等DP、Q作圆周运动的周期相等例关于宇宙速度，下述说法中正确的是（ ）（双选）A在地球周围做匀速圆周运动的人造卫星，其速度都必然大于第一宇宙速度7.9 km/sB在地球周围做匀速圆周运动的人造卫星，其速度不能大于第一宇宙速度7.9 km/sC在地球周围做匀速圆周运动的人造卫星，如其空间存在稀薄的空气，受空气阻力作用，其速度一定越来越小D在地球上物体发射速度大于第二宇宙速度时，物体将成为人造行星月球表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的1/6，地球半径为月球半径的4倍，则登月舱靠近月球表面的环绕速度与人造地球卫星的第一宇宙速度之比（ ）A1/24 B/24 C/12 D 1/12在地球上，第一宇宙速度大小为 m/s人造地球卫星以此速度绕地球做匀速圆周运动，其内物体可在飞行器悬浮，处于完全失重状态，其原因是 某人在一星球上以速度V0竖直上抛一物体，经t秒后落回手中，已知星球的半径为R，那么至少要用多大的速度沿星球表面抛出，才能使物体不再落回星球表面_ 例宇航员在一行星上以速度为v0竖直上抛一个物体经t s后落回手中，已知该行星半径为R，要使物体不再落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少应是 例在1781年，人们发现了第七个行星天王星但观测出的天王星轨道总是同根据万有引力定律计算出来的轨道有一定的偏离，这是由于_星引力作用计算大题例.中子星是恒星演化过程的一种可能的结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=1/30 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=6.6710-11m3/kgs2）例天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、M2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。RRm例.如图所示，在距离一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R远处有一质量为m的质点。此时M对m的万有引力为F1，当从M中挖去一半径为R/2的球体时，剩余部分对m的万有引力为F2，则F1与F2的比值为多少？例.一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R060。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。在火箭发射卫星的开始阶段，火箭与卫星一起竖直上升的运动可看作匀加速直线运动，加速度大小为a5 m/s2，卫星封闭舱内用弹簧秤挂着一个质量为m9 kg的物体，当卫星竖直上升到某高度时，弹簧秤的示数为85 N，求此时卫星距地面的高度为多少?(地球半径R6400 km，g10 m/s2)例5侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t7天后又顺利返回地面。飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示)。若h600 km，R6400 km，则圈数为多少?无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H3. 4105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37106m，重力加速度g9.8m/s2）北京时间2002年12月30日零时40分，“神舟”四号无人飞船在酒泉卫星发射中心由长征二号运载火箭发射升空，飞船按计划进入预定轨道，用时t s绕地球运行了n圈后，安全返回地面，这标志着我国航天技术达到新的水平已知地球半径为R，地面重力加速度为g，试求飞船绕地球飞行时离地面的高度例2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。据报道，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.671011牛米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留1位有效数学）针对训练1利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：（ ）A已知地球半径和地面重力加速度B已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期C已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量D已知同步卫星离地面高度和地球自转周期2“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是A天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比B两颗卫星的线速度一定相等C天体A、B的质量可能相等D天体A、B的密度一定相等3已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为A2km/s B4 km/sC4