高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题二 集合、常用逻辑用语 第3讲 导数及其应用第2课时 利用导数研究函数的综合问题课件 理.ppt

第2课时利用导数研究函数的综合问题 总纲目录 考点一利用导数证明不等式问题 典型例题 2016课标全国 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 2 证明当x 1 时 11 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 解析 1 由题设知 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 2 证明 由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 故当x 1 时 lnx1 设g x 1 c 1 x cx 则g x c 1 cxlnc 令g x 0 解得x0 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 方法归纳用导数证明不等式的方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 有f a f x f b x1 x2 a b 且x1 x2 有f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围d内有最大值m 或最小值m 则 x d 有f x m 或f x m 3 证明f x g x 可构造函数f x f x g x 证明f x 0 跟踪集训 2017福建普通高中质量检测 已知函数f x e x ax a r 1 讨论f x 的最值 2 若a 0 求证 f x x2 解析 1 依题意 得f x e x a 当a 0时 f x 0时 由f x 0得x lna 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 由上表可知f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 故当x lna时 f x 取得极小值 也是最小值 最小值为f lna a alna 不存在最大值 综上 当a 0时 f x 不存在最大值和最小值 当a 0时 f x 的最小值为a alna 不存在最大值 2 解法一 当a 0时 f x e x 设g x e x x2 则g x e x x 设p x e x x 由p x e x 1 0 可知g x 在r上单调递增 因为g 0 所以存在唯一的x0 使得g x0 0 当x变化时 g x 与g x 的变化情况如下表 由上表可知 g x 在 x0 上单调递减 在 x0 上单调递增 故当x x0时 g x 取得极小值 也是最小值 即g x min g x0 由g x0 0可得 x0 所以g x0 x0 又x0 所以g x0 x0 0 所以g x g x0 0 即e x x2 所以不等式f x x2 成立 当5 4x2 0 即 0 h x 在上单调递增 当 x2 成立 解法二 当a 0时 f x e x 要证f x x2 即证e x x2 即证 5 4x2 ex 8 设h x 5 4x2 ex 当5 4x2 0 即x 或x 时 h x 0 8 考点二利用导数解决不等式恒成立 存在性问题 典型例题 2017东北四市高考模拟 已知函数f x ax lnx 1 过原点o作曲线y f x 的切线 求切点的横坐标 2 x 1 关于x的不等式f x a 2x x2 恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 设切点为m x0 f x0 f x a 切线的斜率k f x0 a 曲线f x 的切线方程为y f x0 k x x0 即曲线的切线方程为y ax0 lnx0 x x0 又切线过原点o 所以 ax0 lnx0 x0 解得x0 e 所以切点的横坐标为e 2 因为不等式ax lnx a 2x x2 在 1 上恒成立 所以ax2 ax lnx 0在 1 上恒成立 设g x ax2 ax lnx x 1 则g x 2ax a 当a 0时 g x a 2x 1 0时 g x 设h x 2ax2 ax 1 2a 1 易知h x 在 1 上单调递增 h x h 1 a 1 当a 1时 由h x 0得g x 0 g x 在 1 上单调递增 g x g 1 0 a 1符合题意 当00 且h x 在 1 上单调递增 x0 1 使得h x0 0 则g x 在 1 x0 上单调递减 在 x0 上单调递增 g x0 g 1 0 则0 a 1不符合题意 综上所述 a的取值范围为 1 方法归纳破解此类以函数为背景的不等式恒成立问题需要 一构造 一分类 一构造 是指通过不等式的同解变形 构造一个与背景函数相关的函数 一分类 是指在不等式恒成立问题中 常需对参数进行分类讨论 求出参数的范围 有时也可以利用分离参数法 即将不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的最值 一般地 a f x 对x d恒成立 只需a f x max a f x 对x d恒成立 只需a f x min 跟踪集训 2017广西三市第一次联考 已知函数f x x alnx g x 其中a r 1 设函数h x f x g x 求函数h x 的单调区间 2 若存在x0 1 e 使得f x0 0 即a 1时 在 0 1 a 上h x 0 所以h x 在 0 1 a 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当1 a 0 即a 1时 在 0 上h x 0 所以函数h x 在 0 上单调递增 考点三利用导数研究函数的零点或方程的根 典型例题 2017课标全国 21 12分 已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 i 若a 0 则f x 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 2 i 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 ii 若a 0 由 1 知 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna 1 lna 当a 1时 由于f lna 0 故f x 只有一个零点 当a 1 时 由于1 lna 0 即f lna 0 故f x 没有零点 当a 0 1 时 1 lna 2e 2 2 0 故f x 在 lna 有一个零点 设正整数n0满足n0 ln 则f n0 a a 2 n0 n0 n0 0 由于ln lna 因此f x 在 lna 有一个零点 综上 a的取值范围为 0 1 方法归纳三步解决方程解 或曲线公共点 的个数问题第一步 将问题转化为函数的零点个数问题 进而转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上的交点个数问题 第二步 利用导数研究该函数在该区间上的单调性 极值 端点值等性质 进而画出其图象 第三步 结合图象求解 跟踪集训已知函数f x ex 1 g x x 其中e是自然对数的底数 e 2 71828 1 证明 函数h x f x g x 在区间 1 2 上有零点 2 求方程f x g x 的根的个数 并说明理由 解析 1 证明 由题意可得h x f x g x ex 1 x 所以h 1 e 30 所以h 1 h 2 0 所以函数h x 在区间 1 2 上有零点 2 由 1 可知h x f x g x ex 1 x 由g x x知x 0 而h 0 0 则x 0为h x 的一个零点 又h x 在 1 2 内有零点 因此h x 在 0 上至少有两个零点 h x ex 1 记 x ex 1 则 x ex 当x 0 时 x 0 因此 x 在 0 上单调递增 易知 x 在 0 内只有一个零点 则h x 在 0 上有且只有两个零点 所以方程f x g x 的根的个数为2 1 2017合肥第二次教学质量检测 已知函数f x xlnx aex e为自然对数的底数 有两个极值点 则实数a的取值范围是 a b 0 e c d e 随堂检测 答案a由题易知 f x 1 lnx aex 令f x 0 得a 函数f x 有两个极值点 则需f x 0有两个实数根 则a 有两个实数根 则直线y a与y 的图象有两个交点 令g x 则g x 令h x 1 lnx 得h x 在 0 上为减函数 且h 1 0 所以当x 0 1 时 h x 0 故g x 0 g x 为增函数 当x 1 时 h x 0 故g x 0 g x 为减函数 所以g x max g 1 又当x 时 g x 0 所以g x 的图象如图所示 故0 a 2 2017合肥第一次教学质量检测 已知直线y b与函数f x 2x 3和g x ax lnx分别交于a b两点 若 ab 的最小值为2 则a b 答案2 解析设点b x0 b 欲使 ab 最小 曲线g x ax lnx在点b x0 b 处的切线与f x 2x 3平行 则有a 2 解得x0 进而可得a ln b 又点a的坐标为 所以 ab x0 2 联立方程 可解得a 1 b 1 所以a b 2 3 2017课标全国 21 12分 已知函数f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 2 设m为整数 且对于任意正整数n m 求m的最小