向量中的定值与最值.doc

向量中的定值与最值向量中的定值与最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求向量中多种形式的最值问题的求解策略一， 模的最值 例1若，则的取值范围是 。分析;利用向量模不等式求解。解：，当同向时，；当反向时，；当不共线时，即，综上可知：。评注：运用向量模不等式求范围时要注意等号成立的条件。例2(湖北高考题)已知向量b=，c=.求向量b+c的长度的最大值；解析:b+c=则|b+c|2=.，|b+c|，即| b+c|2所以向量b+c的长度的最大值为2.评注：运用三角函数的有界性求最值是最常见的方法之一。例3 （全国卷)已知|a|=|b|=1，ab，满足(a-c)(b-c)=0，求|c|的最大值。解析:由(a-c)(b-c)=0得c2=(a+b)c，(其中a+b与c的夹角为)|c|=| a+b| cos=cos。|c|的最大值为变式(2011辽宁卷)若向量a、b、c均为单位向量，且ab0，(a-c)(b-c)0，则|a+b-c|的最大值为( )A-1 B.1 C .D。2解析:由ab0，(a-c)(b-c)0，得ac+bcc2=1，( a+b-c)2=1+1+1-2(ac+bc)1.|a+b-c|1.变式(2013湖南文)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A B C D例4 已知a=(cos550,sin550),b=(cos250,sin250)求|a-b|的最小值。分析:转化为二次函数求解解析: ab=cos550cos250+sin550sin250=cos300=,|a-b|2=a2-2ab+2b2=2-+1=,故|a-b|的最小值为。评注：平方是向量模求解的基本方法，本题利用二次函数求最值。例5，(浙江高考题)已知平面向量满足，且与的夹角为1200，求的最大值分析: 利用正弦定理构造函数进行求解解析:记，由正弦定理得，又，即，故的最大值为评注：本题考查向量模，及向量减法的几何意义，考查了数形结合的数学思想，关键是利用正弦定理构造函数进行求解。例6（全国卷）设向量a、b、c满足ab，ab，ac，bc，则c的最大值等于( )A.2 B. C. D。1 分析: 转化为几何图形求解解析:如图，设=a，= b，=c，则= ac，= bc。ab，OA=OB=1.又 ab，abcos, cos,1200. 又ac，bc，而1200+=1800. O、A、C、B四点共圆。当OC为圆的直径时，c最大，此时，Rt全等于Rt，。故选A评注: 本题主要考查了向量的运算，把题中所给条件转化为图形语言是本题的难点所在。变式(2011天津卷)已知直角梯形ABCD中，AD|BC，=9，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|的最小值为_。分析: 建立平面直角坐标系转化为坐标运算。解析:以D为原点，分别以DA、DC所在直线为xy轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a,DP=x. D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(2,-x), (1,a-x), =(5,3a-4x), |2=25+(3a-4x)225, |的最小值为5.评注: 本题主要考查向量加减法及数乘运算，考查运算能力及观察、分析问题的能力二， 数量积的最值例7 在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，求的最大值解析:以AB,AD所在直线为x,y轴，建立直角坐标系，则B（2，0）,D（0，2）,C（2，2）,M（2，1）,设N(x,y)，则，且知在点(2,2)处取最大值6.例8 四边形ABCD中，G为的重心，AG=2，点O在AG上，求(+)的最小值解析:G为的重心0，又+=+，点O在AG上(+)=-3，故(+)的最小值是-3.评注：本题主要考查共线向量，向量数量积等基本知识，注意重心的向量表示及运用二次函数求最值的思想。例9 已知，且Q是直线OP上的一点(O为原点)，求的最小值。解析: O,P,Q三点共线，故设=，所以当=2时，取最小值-8.评注：本题主要考查共线向量，向量数量积等基本知识，利用共线向量设出点Q的坐标是关键，运用二次函数最后求得最值。例10 (全国高考题)已知a,b,c为单位向量，ab=0，求(a-c)(b-c) 的最小值。解析: (a-c)(b-c)= ab- ac- bc+c2=1-(a+b)c=1-| a+b|c|cos=1-cos(其中a+b与c的夹角为)，当cos=1时，(a-c)(b-c)取最小值1-。三 相关参数的最值例11 已知点G为的重心，点P是内一点(含边界)，若，则的最大值，最小值分别是_ 解析:若P，B,C三点共线由三点共线充要条件知=1，若点P是内一点，则1故的最大值为1；又点P与点G重合时，设BC中点为D则此时=。故的最值为。例12 (安徽高考题)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为1200，如示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若则x+y的最大值是_.解析:设，即所以x+y=2cos+cos(1200-)= cos+sin=2sin(+)2,当=时取等号。故x+y的最大值是2 . 评注：本题可归结为在平面向量与三角函数的交汇处设计的试题，可先设出与点C相关的角，然后利用向量与三角知识进行转化.四 与三角形相关的最值例13 已知中，若求BC边上的中线长的最小值 。解析:由得，设BC的中点为D，由向量平行四边形法则得，则=即BC边上的中线长的最小值为2例14 设a, b,若|a|=|b|=| a+b|，设点C在以O为圆心过点A,B的圆上移动且c，求证:当a+b+ c=0时，的面积最大。解析:由向量的平行四边形法则得a与b的夹角为1200，当点C为AB的中垂线与圆的AB优弧的交点时，的面积最大，因为为等边三角形，点O与的重心重合+0即a+b+ c=0。点评:找出的面积最大时点C的位置是关键。解题时对三角形“四心”概念及外延，性质及运用要“成竹在胸”。五，角的最值例15 已知中，求角A的最大值解析:设AB=c,AC=b,BC=a,由得。由余弦定理得得到，由得。，故角A的最大值是。点评: 本题考查向量数量积，余弦定理，三角函数，不等式等基础知识及综合运用能力。六 定值问题例16 如图已知是边长为1的正三角形，点D,E分别是边AB,AC上的点，线段DE经过的中