jc_96_08_03.doc

327 8 3 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性描述系统受到外界干扰 平衡工作状态被破坏后 系统偏差调节过程的收敛性 它是系统的重要特性 是系统正常工作的必要条件 经典控制理论用代数判据 奈氏判据 对数频率判据 特征根判据来判断线性定常系统的稳定性 用相平面法来判断二阶非线性 系统的稳定性 这些稳定判据无法满足以多变量 非线性 时变为特征的现代控制系统对 稳定性分析的要求 1892 年 俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念 提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法 称为间接法 和利用经验 和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法 称为直接法 李雅普诺夫提出 的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论 不仅适用于单变量 线性 定常系统 还适用于多变量 非线性 时变系统 它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性 微分方程的稳定性问题 在现代控制系统的分析与设计中 得到了广泛的应用与发展 8 3 1 李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后 非线性时变系统的状态方程如下 8 70 txfx 式中 x 为 n 维状态向量 t 为时间变量 为 n 维函数 其展开式为 txf 12 iin xf x xx t ni 1 假定方程的解为 x0和 t0 分别为初始状态向量和初始时刻 00 txtx 0000 xtxtx 平衡状态平衡状态 如果对于所有 t 满足 8 71 0 txfx ee 的状态 xe称为平衡状态 又称为平衡点 平衡状态的各分量不再随时间变化 若已知状 态方程 令 所求得的解 x 便是平衡状态 0 x 对于线性定常系统 其平衡状态满足 如果 A 非奇异 系统只有Axx 0 e Ax 惟一的零解 即存在一个位于状态空间原点的平衡状态 至于非线性系统 的0 txf e 解可能有多个 由系统状态方程决定 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性 反映了系统在平衡状 态附近的动态行为 鉴于实际线性系统只有一个平衡状态 平衡状态的稳定性能够表征整 328 个系统的稳定性 对于具有多个平衡状态的非线性系统来说 由于各平衡状态的稳定性一 般并不相同 故需逐个加以考虑 还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑 本节主要研究平衡状态位于状态空间原点 即零状态 的稳定性问题 因为任何非零 状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点 而坐标变换又不会改变系统的稳定性 a 李雅普诺夫意义下的稳定性 b 渐近稳定性 c 不稳定性 图 8 18 稳定性的平面几何表示 2 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 1 李雅普诺夫稳定性 如果对于任意小的 0 均存在一个 当初始0 0 t 状态满足时 系统运动轨迹满足 则称该平衡状态 e xx0lim t e xtxtx 00 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的 简称是稳定的 该定义的平面几何表示见图 8 18 a 表示状态空间中 x0点至 xe点之间的距离 其数学表达式为 e xx 0 8 72 2 0 2 1100 nenee xxxxxx 设系统初始状态 x0位于平衡状态 xe为球心 半径为 的闭球域内 如果系统稳 S 定 则状态方程的解在的过程中 都位于以 xe为球心 半径为 的闭 00 txtx t 球域内 S 2 一致稳定性 通常 与 t0 都有关 如果 与 t0 无关 则称平衡状态是一 致稳定的 定常系统的 与 t0 无关 因此定常系统如果稳定 则一定是一致稳定的 3 渐近稳定性 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性 且有 329 8 73 00 lim 0 e t x t x tx 称此平衡状态是渐近稳定的 这时 从 出发的轨迹不仅不会超出 且当 S S 时收敛于 xe或其附近 其平面几何表示见图 8 18 b t 4 大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间 且具有稳定性时 称此平衡状 态是大范围稳定的 或全局稳定的 此时 对于线性系 S x 统 如果它是渐近稳定的 必具有大范围稳定性 因为线性系统稳定性与初始条件无关 非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关 通常只能在小范围内稳定 5 不稳定性 不论 取得得多么小 只要在内有一条从 x0 出发的轨迹跨出 S 则称此平衡状态是不稳定的 其平面几何表示见图 8 18 c S 注意 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义 当系统作不衰减的振荡运动时 将在平面 描绘出一条封闭曲线 只要不超过 则认为是稳定的 如线性系统的无阻尼自由振 S 荡和非线性系统的稳定极限环 这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的 经典控制 理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定 8 3 2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法 间接法 是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法 它适用于线性定常 线性时变及可线性化的非线性系统 线性定常系统的特征值判据线性定常系统的特征值判据 系统渐近稳定的充要条件是 系统矩阵 A 的全Axx 部特征值位于复平面左半部 即 8 0 Re ini 1 74 证明 假定 A 有相异特征值 根据线性代数理论 存在非奇异线性变换 n 1 P 由特征值对应的特征向量构成 为一常数矩阵 可使对角化 有xPx i A 1 1 n diagAPPA 变换后状态方程的解为 0 0 1xeediagxetx t n t At 由于 xPx 1 0 0 1x Px 故原状态方程的解为 0 0 1 xexPPetx Att A 有 11 diag 1 PeePPPee ttAtAt n 330 将上式展开 的每一元素都是的线性组合 因而可写成矩阵多项式 At e tt n ee 1 t n tt n i i At ni eReReRe 1 1 1 故可以显式表出与 i的关系 tx 0 0 1 1 xeReRxetx t n tAt n 当式 8 74 成立时 对于任意 x 0 均有 系统渐近稳定 只要有一个0 t tx 特征值的实部大于零 对于 便无限增长 系统不稳定 如果只有一个 或0 0 x tx 一对 且均不能是重根 特征值的实部等于零 其余特征值实部均小于零 便含有常 tx 数项或三角函数项 则系统是李雅普诺夫意义下稳定的 8 3 3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 李雅普诺夫第二法 直接法 是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断 无需求出系统状态方程的解 它对各种控制系统均适用 根据物理学原理 若系统贮存的能量 含动能与位能 随时间推移而衰减 系统迟早 会到达平衡状态 实际系统的能量函数表达式相当难找 因此李雅普诺夫引入了广义能量 函数 称之为李雅普诺夫函数 它与及t 有关 是一个标量函数 记以 n xx 1 V x t 若不显含t 则记以 考虑到能量总大于零 故为正定函数 能量衰减特性用 V x 表示 遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法 需要凭经验与技巧 V x t 实践表明 对于大多数系统 可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数 PxxT 1 标量函数定号性 1 1 正定性 正定性 标量函数在域 S 中对所有非零状态有且 V x 0 x0 xV 称在域 S 内正定 如是正定的 0 0 V V x 2 2 2 1 xxxV 2 2 负定性 负定性 标量函数在域 S 中对所有非零 x 有且 称 V x0 xV0 0 V 在域 S 内负定 如是负定的 如果是负定的 则一定 V x 2 2 2 1 xxxV V x V x 是正定的 3 3 负 正 半定性 负 正 半定性 且在域 S 内某些状态处有 而其它0 0 V V x0 xV 状态处均有 则称在域 S 内负 正 半定 设为负半定 0 xV0 xV V x V x 则为正半定 如为正半定 V x 2 21 2 xxxV 4 4 不定性 不定性 在域 S 内可正可负 则称不定 如是不定的 V x V x 21 xxxV 关于正定性的提法是 标量函数在域 S 中 对于及所有非零状态 V x t V x t 0 tt 331 有 且 则称在域 S 内正定 的其它定号性提法类同 0 txV0 0 tV txV txV 二次型函数是一类重要的标量函数 记 8 75 nnnn n n T x x pp pp xxPxxxV 1 1 111 1 其中 为对称矩阵 有 显然满足 其定号性由赛尔维斯特准则判P jiij pp 0 xV 定 当的各顺序主子行列式均大于零时 即P 8 76 111 1112 11 2122 1 0 0 0 n nnn pp pp p pp pp 为正定矩阵 则正定 当的各顺序主子行列式负 正相间时 即P V xP 8 77 111 1112 11 2122 1 0 0 1 0 n n nnn pp pp p pp pp 为负定矩阵 则负定 若主子行列式含有等于零的情况 则为正半定或负半P V x V x 定 不属以上所有情况的不定 V x 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明 而只着重于物 理概念的阐述和应用 2 李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为 其平衡状态满足 不失一般性 把状态空 txfx 0 0 tf 间原点作为平衡状态 并设系统在原点邻域存在对的连续的一阶偏导数 V x tx 定理定理 1 1 若 正定 负定 则原点是渐近稳定的 V x t V x t 负定表示能量随时间连续单调地衰减 故与渐近稳定性定义叙述一致 V x t 定理定理 2 2 若 正定 负半定 且在非零状态不恒为零 则原点是渐近 V x t V x t 稳定的 负半定表示在非零状态存在 但在从初态出发的轨迹上 V x t 0V x t 00 txtx 不存在的情况 于是系统将继续运行至原点 状态轨迹仅是经历能量不变的状0 txV 态 而不会维持在该状态 定理定理 3 3 若 正定 负半定 且在非零状态恒为零 则原点是李雅普 V x t V x t 332 诺夫意义下稳定的 沿状态轨迹能维持 表示系统能维持等能量水平运行 使系统维持在非零0 txV 状态而不运行至原点 定理定理 4 4 若 正定 正定 则原点是不稳定的 V x t V x t 正定表示能量函数随时间增大 故状态轨迹在原点邻域发散 V x t 参考定理 2 可推论 正定 当正半定 且在非零状态不恒为零时 则原 V x t V x t 点不稳定 应注意到 李雅普诺夫函数 正定的 的选取是不惟一的 但只要找到一个 V x t 满足定理所述条件 便可对原点的稳定性作出判断 并不因选取的不同而有 V x t V x t 所影响 不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法 这是应用李雅普诺夫稳定性理论 的主要障碍 如果选取不当 会导致不定的结果 这时便作不出确定的判断 V x t V x t 需要重新选取 V x t 以上定理按照连续单调衰减的要求来确定系统稳定性 并未考虑实际稳定系统 V x t 可能存在衰减振荡的情况 因此其条件是偏于保守的 故借稳定性定理判稳定者必稳定 李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件 具体分析时 先构造一个李雅普诺夫函数 通常选二次型函数 求其导数 V x t 再将状态方程代入 最后根据的定号性判别稳定性 V x t V x t 至于如何判断在非零状态下是否有恒为零的情况 可按如下方法进行 00 ttxtxV 令 将状态方程代入 若能导出非零解 表示对 的条件是0 txV 0 x0 txV 成立的 若导出的是全零解 表示只有原点满足的条件 0 txV 例 8 13 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性 2 2 2 1121 xxxxx 2 2 2 1212 xxxxx 解解 令及 可以解得原点 是系统的惟一平衡状态 0 1 x 0 2 x 0 2 x0 1 x 取李雅普诺夫函数为 则 2 2 2 1 xxxV 2211 22 xxxxxV 将状态方程代入有 222 12 2 V xxx 显然负定 根据定理 1 原点是渐近稳定的 因为只有一个平衡状态 该非线性系 V x t 统是大范围渐近稳定的 又因为与t 无关 系统大范围一致渐近稳定 V x t 例例 8 148 14 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 21 xx 212 xxx 333 解解 令 得知原点是惟一的平衡状态 选 则0 21 xx 2 2 2 1 2 xxxV 当时 当时 故 2 212 xxxxV 0 21 xx0 xV 0 12 xx0 xV 不定 不能对稳定性作出判断 应重选 xV V x t 选 则考虑状态方程后得 对于非零状态 如 2 2 2 1 xxxV 2 2 2 xxV 0 2 x 存在 对于其余非零状态 故负半定 根据定理 2 0 1 x0 xV 0 xV xV 原点是渐近稳定的 且是大范围一致渐近稳定 例例 8 158 15 下列线性系统平衡状态的稳定性 0 21 kkx x 12 xx 解解 由 可知原点是惟一平衡状态 选 考虑状态方0 21 xx 2 2 2 1 kxxxV 程则有 1221 220V xkx xkx x 对所有状态 故系统是李雅普诺夫意义下稳定的 0 xV 例例 8 168 16 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 21 xx 212 xxx 解 原点是惟一平衡状态 选 则 与无关 故 22 12 V xxx 2 2 2 xxV xV 1 x 存在非零状态 如 使 而对其余任意状态有 故 0 0 21 xx0 xV 0 xV 正半定 根据定理 4 的推论 系统不稳定 xV 例例 8 178 17 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 12 1zz 212 2zzz 解解 是系统的惟一平衡状态 方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用 11 1zz 的结果 作坐标变换 得到 原状态方 11 1xz 22 1xz 21 xx 212 xxx 程在状态空间 1 1 处的稳定性判别问题就变成变换后状态方程在 X 状态空间原点处Z 的稳定性判别问题 选 对其求导 考虑状态方程 得到 系统 22 12 V xxx 2 2 2 2 2 1 22 xxxxV 原点是大范围一致渐近稳定的 因而原系统在平衡状态 1 1 处是大范围一致渐近稳定 的 注意 一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性 例例 8 188 18 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性 2 xaxx 解解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子 令 得知系统有两个0 x 平衡状态 和 0 x xa 334 对位于原点的平衡状态 选 有 2 V xx 232 222 V xaxxxax 于是 当时 系统在原点处的平衡状态是局部一致渐近稳定的 根据0a xa 定理 4 当时 原点显然是不稳定的 时原点也是不稳定的 0a 0a 0 0 xVx 上述结论也可以从状态方程直接看出 对于平衡状态 作坐标变换 得到新的状态方程 xa zxa 2 zazz 因此 通过与原状态方程对比可以断定 对于原系统在状态空间处的平衡状态 xa 当时是局部一致渐近稳定的 当时是不稳定的 0a 0a 8 3 4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 1 连续系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为 为非奇异矩阵 故原点是惟一平衡状态 可以取下列Axx A 正定二次型函数作为李雅普诺夫函数 即 V x 8 78 PxxxV T 求导并考虑状态方程 8 79 xAPPAxxPxPxxxV TTTT 令 8 QAPPAT 80 得到 8 QxxxV T 81 根据定理 1 只要正定 即负定 则系统是大范围一致渐近稳定的 于是线Q xV 性定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为 给定一正定矩阵 存在满足式 8 81 P 的正定矩阵 Q 可以先给定一个正定的矩阵 然后验证矩阵是否正定的步骤去分析稳定性 但若PQ 选取不当 往往会导致矩阵不定 使得判别过程多次重复进行 因此 也可以先指定PQ 正定的矩阵 然后验证矩阵是否正定 QP 定理定理 5 5 证明从略 系统渐近稳定的充要条件为 给定正定实对称矩阵 xAx Q 存在正定实对称矩阵使式 8 80 成立 P 是系统的一个李雅普诺夫函数 该定理为系统的渐近稳定性判断带来实用上的PxxT 335 极大方便 这时是先给定矩阵 采用单位矩阵最为简单 再按式 8 80 计算并校验QP 其定号性 当矩阵正定时 则系统渐近稳定 当矩阵负定时 则系统不稳定 当矩PPP 阵不定时 可断定为非渐近稳定 至于具体的稳定性质 尚须结合其它方法去判断 既有 可能不稳定 也有可能是李雅普诺夫意义下稳定 总之 对于系统是否渐近稳定 只需进 行一次计算 由定理 2 可以推知 若系统状态轨迹在非零状态不存在恒为零时 矩阵可给 xV Q 定为正半定的 即允许单位矩阵中主对角线上部分元素为零 取法不是唯一的 只要既简 单又能导出确定的平衡状态的解即可 而解得的矩阵仍应是正定的 P 例例 8 198 19 试用李雅普诺夫方程确定使图 8 19 所示系统渐近稳定的值范围 k 图 8 19 例 8 29 的系统框图 解解 由图示状态变量列写状态方程为 0100 0210 01 xxu