高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.1 直线方程和两直线的位置关系课件.ppt

第九章直线和圆的方程 9 1直线方程和两直线的位置关系 高考数学 考点一直线的倾斜角 斜率和方程1 如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点 且这条直线上点的坐标都是这个方程的解 这时 这个方程就叫做这条直线的方程 这条直线叫做这个方程的直线 2 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角 它的取值范围为 0 3 倾斜角不是90 的直线 它的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用k表示 即k tan 由正切函数的单调性可知 倾斜角不同的直线 其斜率也不同 4 经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 的直线的斜率公式为 k x1 x2 知识清单 直线上的向量及与它同向的向量都称为直线的方向向量 直线p1p2的方向向量的坐标是 x2 x1 y2 y1 5 直线方程的几种基本形式 1 点斜式 y y1 k x x1 注意 斜率k是存在的 2 斜截式 y kx b k存在 其中b是直线l在y轴上的截距 3 两点式 x1 x2且y1 y2 当方程变形为 y2 y1 x x1 x2 x1 y y1 0时 对于一切情况都成立 4 截距式 1 其中ab 0 a是直线l在x轴上的截距 b是直线l在y轴上的截距 5 一般式 ax by c 0 其中a与b不同时为0 6 直线系方程符合特定条件的某些直线构成一个直线系 常见的直线系方程有如下几种 1 过定点m x0 y0 的直线系方程为y y0 k x x0 这个直线系方程中不包括直线x x0 2 和直线ax by c 0 a2 b2 0 平行的直线系方程为ax by c 0 c c 3 和直线ax by c 0 a2 b2 0 垂直的直线系方程为bx ay c 0 4 经过两相交直线a1x b1y c1 0 0 和a2x b2y c2 0 0 的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 这个直线系方程中不包括直线a2x b2y c2 0 考点二两直线间的位置关系1 平行与垂直 1 当直线l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2时 直线l1 l2的充要条件是 k1 k2且b1 b2 2 如果两条直线的斜率分别为k1和k2 那么这两条直线垂直的充要条件是 k1k2 1 3 设直线l1和l2的方程分别是l1 a1x b1y c1 0 0 l2 a2x b2y c2 0 0 则l1的一个方向向量为n1 b1 a1 l2的一个方向向量为n2 b2 a2 l1的法向量为n 1 a1 b1 l2的法向量为n 2 a2 b2 如果l1 l2 则n1 n2 即有 a1b2 a2b1 0 如果l1 l2 则n 1 n 2 即有 a1a2 b1b2 0 反之也成立 故a1b2 a2b1 0是直线l1 l2的必要非充分条件 a1a2 b1b2 0是直线l1 l2的充要条件 2 点到直线的距离 1 已知点p的坐标为 x0 y0 直线l的方程是ax by c 0 a2 b2 0 则点p到l的距离d 2 已知两条平行直线l1 ax by c 0 l2 ax by d 0 a2 b2 0 d c 则l1与l2的距离d 求直线的倾斜角和斜率的解题策略倾斜角 斜率 方向向量都是刻画直线倾斜程度的量 要掌握它们之间的关系 并能够根据斜率范围确定倾斜角范围 例1 2016浙江镇海中学模拟 2 直线l经过a 2 1 b 1 m2 m r 两点 那么直线l的倾斜角的取值范围是 a 0 b c d 方法技巧 d 解题导引把直线l的斜率表示成关于m的代数式 求斜率的范围 得倾斜角的范围 解析因为kab 1 m2 1 即0 kab 1或kab 0 所以直线l的倾斜角的取值范围是 求直线方程的解题策略直线方程有多种形式 一般情况下 可利用不同的形式求出直线方程 如果选择恰当 解答会更加迅速 因此 我们要清楚直线方程每种形式的特点 应用范围 熟练掌握待定系数法 要充分利用图形的几何性质和方程的消元技巧 以减少运算量 例2直线l被两直线l1 4x y 6 0 l2 3x 5y 6 0截得的线段的中点恰好是坐标原点 求直线l的方程 解题导引导引一 分斜率存在与不存在两种情况进行讨论斜率存在时 设直线的点斜式方程 求出交点坐标求斜率得直线方程导引二 设交点a的坐标由中点为原点得另一个交点b的坐标把交点b的坐标代入直线l2的方程 求出交点a的坐标由点斜式得直线方程导引三 设交点a的坐标由中点为原点得另一个交点b的坐标把两交点坐标分别代入两直线方程两式相加得关系式判断交点和原点是否满足关系式 得直线方程 解析解法一 依题意知直线l过原点 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 0 此时两交点为 0 6 此时线段的中点不是原点 故直线l的斜率存在 设直线l的方程为y kx 分别代入两直线方程 解得交点分别为a b 则有 0 解得k 故直线l的方程为y x 解法二 设直线l与直线l1的交点为a x1 4x1 6 与直线l2的交点为b 由线段ab的中点为原点得点b的坐标为 x1 4x1 6 把点b的坐标代入直线l2的方程中 得x1 故点a的坐标为 依题意知直线l过原点 由点斜式得直线l的方程为y x 解法三 设直线l与直线l1的交点为a x1 y1 与直线l2的交点为b 由线段ab的中点为原点得点b的坐标为 x1 y1 把点a b的坐标分别代入两直线方程中 得两式相加得x1 6y1 0 此时直线x 6y 0过点a 且过原点 故直线l的方程为x 6y 0 两直线间的位置关系的解题策略1 判定两直线平行的方法 1 判断两直线的斜率是否存在 若存在 可先化成斜截式 若k1 k2 且b1 b2 则两直线平行 若斜率都不存在 还要判断是否重合 2 直接用以下方法可避免对斜率是否存在进行讨论 设直线l1 a1x b1y c1 0 0 l2 a2x b2y c2 0 0 l1 l2 a1b2 a2b1 0且b1c2 b2c1 0 2 判定两直线垂直的方法 1 判断两直线的斜率是否存在 若存在 可先化成斜截式 若k1 k2 1 则两直线垂直 若一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为0 则两直线也垂直 2 直接用以下方法可避免对斜率是否存在进行讨论 设直线l1 a1x b1y c1 0 0 l2 a2x b2y c2 0 0 l1 l2 a1a2 b1b2 0 例3 2017浙江模拟训练冲刺卷五 12 设直线l1 mx m 1 y 1 直线l2 m 2 x my 3 若l1 l2 则m 若l1 l2 则m 解析当l1 l