普通高考数学一轮复习 第37讲 空间夹角和距离精品学案.doc

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第37讲 空间夹角和距离一课标要求：1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题走向空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。预测2013年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。三要点精讲1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。（2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。dbac具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的距离。在直角三角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。3空间向量的应用abef（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点ea，fb，则异面直线 a与b之间的距离是 ；abc（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知ab是平面的 一条斜线，为平面的法向量，则 a到平面的距离为；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量与，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线a的夹角的余弦，易知=或者。四典例解析题型1：异面直线所成的角例1（1）直三棱住a1b1c1abc，bca=，点d1、f1 分别是a1b1、a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是（ ） （a ） （b） （c） （d）（2）已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（ ）（a） （b） （c） （d）解析：（1）连结d1f1，则d1f1，bc d1f1设点e为bc中点，d1f1be，bd1ef1，ef1a或其补角即为bd1与af1所成的角。由余弦定理可求得。故选a。（2）二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为两条直线所成的角， =，选b。点评：通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角。a1b1c1d1abcdexyz例2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，点e为棱ab的中点。求：d1e与平面bc1d所成角的大小（用余弦值表示）解析：建立坐标系如图，则、，。不难证明为平面bc1d的法向量， 。 d1e与平面bc1d所成的角的余弦值为。点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。题型2：直线与平面所成的角例3pa、pb、pc是从p点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线pc与平面pab所成角的余弦值是（ ）a. b. c. d. d解：构造正方体如图所示，过点c作co平面pab，垂足为o，则o为正abp的中心，于是cpo为pc与平面pab所成的角。设pc=a，则po=，故，即选c。思维点拨：第（2）题也可利用公式直接求得。例2（03年高考试题）如图，直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb90，侧棱aa12，d、e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是abd的重心g。求a1b与平面abd所成角的大小（结果用余弦值表示）；gdda1c1b1cbkxyzae解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为c，设ca2a，则a(2a，0，0)，b(0，2a，0)，d(0，0，1)，a1(2a，0，2)，e(a，a，1)， g() ， ， a1， 为平面abd的法向量，且。efo a1b与平面abd所成角的余弦值是。点评：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。题型3：二面角例5在四棱锥pabcd中，abcd为正方形，pa平面abcd，paaba，e为bc中点。（1）求平面pde与平面pab所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面pba与平面pdc所成二面角的大小。解析：（1）延长ab、de交于点f，则pf为平面pde与平面pad所成二面角的棱，pa平面abcd，adpa、ab, paab=ada平面bpa于a，过a作aopf于o，连结od，则aod即为平面pde与平面pad所成二面角的平面角。易得，故平面pde与平pad所成二面角的正切值为；（2）解法1（面积法）如图adpa、ab, paab=a，da平面bpa于a, 同时，bc平面bpa于b，pba是pcd在平面pba上的射影, 设平面pba与平面pdc所成二面角大小为,cos=spab/spcd=/2 =450。即平面bap与平面pdc所成的二面角的大小为45。解法2（补形化为定义法）如图：将四棱锥p-abcd补形得正方体abcdpqmn，则pqpa、pd，于是apd是两面所成二面角的平面角。在rtpad中，pa=ad，则apd=45。即平面bap与平面pdc所成二面角的大小为45。例6（1）如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，d是cb延长线上一点，且。求二面角的大小。（略去了该题的，问）（2）已知球的半径是1，、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（ ）（a） （b） （c） （d）解析：（1）取bc的中点o，连ao。由题意：平面平面，平面，以o为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，由题意 平面abd， 为平面abd的法向量。设 平面的法向量为 ，则， ， ，即 。 不妨设 ，由，得。 故所求二面角的大小为。评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。（2）解析：球的半径是r=，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，则aob，aoc都等于，ab=ac，两点的球面距离是，boc=，bc=1，过b做bdao，垂足为d，连接cd，则cdad，则bdc是二面角的平面角，bd=cd=，bdc=，二面角的大小是，选c。题型4：异面直线间的距离例7如图，已知正方体棱长为，求异面直线与的距离解法一：连结交的中点，取的中点，连结交于，连，则，过作交于，则。又斜线的射影为，。同理，为与的公垂线，由于为的中点，。，故，解法二（转化为线面距）因为平面，平面，故与的距离就是到平面的距离。由，即，得解法三（转化为面面距）易证平面平面，用等体积法易得到平面的距离为。同理可知：到平面的距离为，而，故两平面间距离为mneo解法四（垂面法）如图，平面，平面，平面平面，故o到平面的距离为斜边上的高。解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点m，作mebc于e，过e作enbd交bd于n，易知mn为bd与的公垂线时，mn最小。设be=，ce=me=，en=，mn=。当时，时，。abcdos图2例8如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则， ，。，。令向量，且，则，。异面直线和之间的距离为：。题型5：点面距离例9如图，已知为边长是的正方形，分别是，的中点，垂直于所在的平面，且，求点到平面的距离。解法一：连结，又，分别是，的中点， 。，解法二，分别是，的中点，到平面的距离为上任一点到平面的距离，于，又平面，平面，平面，平面平面，过点作，则平面，为到平面的距离，即到平面的距离。由解法一知：，由得 。思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。例10（1）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点a在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点a相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，p是正方体的其余四个顶点中的一个，则p到平面的距离可能是：_（写出所有正确结论的编号） 3； 4； 5； 6； 7（2）平行四边形的一个顶点a在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）abcda1解析：（1）如图，b、d、a1到平面的距离分别为1、2、4，则d、a1的中点到平面的距离为3，所以d1到平面的距离为6；b、a1的中点到平面的距离为，所以b1到平面的距离为5；则d、b的中点到平面的距离为，所以c到平面的距离为3；c、a1的中点到平面的距离为，所以c1到平面的距离为7；而p为c、c1、b1、d1中的一点，所以选。（2）如图，b、d到平面的距离为1、2，则d、b的中点到平面的距离为，所以c到平面的距离为3；b、c到平面的距离为1、2，d到平面的距离为，则，即，所以d到平面的距离为1；c、d到平面的距离为1、2，同理可得b到平面的距离为1；所以选。题型6：线面距离bacd例11已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，d是ac的中点。（1）求点到直线ac的距离。（2）求直线到平面的距离。解析：（1）连结bd，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线ac的距离。在中。（2）因为ac与平面bd交于的中点，设，则/de，所以/平面，所以到平面bd的距离等于点到平面bd的距离，等于点到平面bd的距离，也就等于三棱锥的高。，所以，直线到平面bd的距离是。思维点拔：求空间距离多用转化的思想。例12acbpef图7如图7，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。 求与平面间的距离？分析：设、的单位向量分别为、，选取，作为空间向量的一组基底。易知，=，设是平面的一个法向量，则，即，直线与平面间的距离=五思维总结1这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。