广东省高三数学一轮单元测评训练 第七单元 理.doc

单元能力检测(七)考查范围：第七单元立体几何时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知e，f，g，h是空间四点，命题甲：e，f，g，h四点不共面，命题乙：直线ef和gh不相交，则甲是乙成立的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件2设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是()a若ab，a，则bb若a，则ac若a，则ad若ab，a，b，则3已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中，正确的是()a若m，n，则mnb若，则c若m，m，则d若m，n，则mn4已知某几何体的三视图如图d71所示，则该几何体的表面积是()图d71a. b2c3 d65如图d72，正三棱锥sabc中，bsc40，sb2，一质点自点b出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点b的最短路线的长为()图d72a2 b3 c2 d36一个盛满水的三棱锥容器sabc，不久发现三条侧棱上各有一个小洞d，e，f，且知sddaseebcffs21，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的()a. b. c. d.7在正三棱锥sabc中，相对的棱互相垂直，m、n分别是棱sc、bc的中点，且mnam，若侧棱sa2，则正三棱锥sabc外接球的表面积是()a12 b32 c36 d488图d73是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长bd为2；侧视图是一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且abbc1，则异面直线pb与cd所成角的正切值是_图d73二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡相应位置)9如图d74，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为_图d7410若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该三棱柱的体积等于_11. 若一个球的体积为4，则它的内接正方体的表面积是_12如图d75是一个几何体的三视图若它的表面积为7，则这个空间几何体的体积是_图d75 ks5u13. 如图d76所示，一个水平放置的正方形abcd，它在直角坐标系xoy中，点b的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图abcd中，顶点b到x轴的距离为_图d76图d7714图d77是一几何体的平面展开图，其中四边形abcd为正方形，e、f分别为pa、pd的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线be与直线cf是异面直线；直线be与直线af是异面直线；直线ef平面pbc；平面bce平面pad.其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 如图d78所示，正方形abcd与直角梯形adef所在平面互相垂直，ade90，afde，deda2af2.(1)求证：ac平面bef；(2)求四面体bdef的体积图d7816(13分)已知正方形abcd的边长为1，acbdo.将正方形abcd沿对角线bd折起，使ac1，得到三棱锥abcd，如图d79所示(1)求证：ao平面bcd；(2)求二面角abcd的余弦值图d7917(13分)在如图d710所示的多面体中，ef平面aeb，aeeb，adef，efbc，bc2ad4，ef3，aebe2，g是bc的中点(1)求证：bdeg；(2)求平面deg与平面def所成锐二面角的余弦值图d71018(14分)如图d711，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，fa平面abcd，efbc，fa2，ad3，ade45，点g是fa的中点(1)求证：eg平面cde；(2)求二面角bceg的余弦值图d71119(14分)已知几何体eabcd如图d712所示，其中四边形abcd为矩形，abe为等边三角形，且ad，ae2，de，点f为棱be上的动点(1)若de平面afc，试确定点f的位置；(2)在(1)的条件下，求二面角edcf的余弦值图d71220(14分)如图d713，四棱锥pabcd底面是直角梯形，abcd，abad，pab和pad是两个边长为2的正三角形，dc4，o为bd中点，e为pa中点(1)求证：po平面abcd；(2)求证：oe面pdc；(3)求直线cb与平面pdc所成角的正弦值图d713单元能力检测(七)1a解析 e，f，g，h四点不共面时，ef，gh一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则e，f，g，h四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，ef，gh不相交，含有ef，gh平行和异面两种情况，当ef，gh平行时，e，f，g，h四点共面，故乙不能推出甲即甲是乙的充分不必要条件2d解析 选项a中有b的可能；选项b中各种可能情况都存在；选项c中有a的可能；只有选项d中的命题正确3d解析 线面平行不具有传递性；垂直于同一个平面的两个平面可以相交；根据直线与平面垂直的性质定理，选项d中的结论正确ks5u4c解析 这个空间几何体是侧棱垂直于底面的三棱柱，底面周长为2，故其表面积是211(2)13. ks5u5c解析 由于质点的运动是沿三棱锥的侧面，故把侧面展开后，所求的最小距离就是展开后点b的两个位置之间的线段的长度把该正三棱锥的侧面沿侧棱sb展开成平面图形，则在三角形sbb中，sbsb2，bsb120，所求的最短路线的长度就是bb的长度，bb2bd2.6d解析 当平面efd处于水平位置时，容器盛水最多，最多可盛原来水的1.7c解析 正三棱锥对棱互相垂直，则acsb，又sbmn，且mnam，sbam，从而sb面sac.bsabscasc90，以s为顶点，将三棱锥补成一个正方体，故球的直径2rsa，即r3，s球4r236，故选c.8c解析 该空间几何体是底面为俯视图中的直角梯形，顶点在底面上的射影为俯视图中的点p的四棱锥，其直观图如图连接bo，则bocd，pbo即为异面直线pb与cd所成角由题意，得po1，bo，故tanpbo.9.42解析 因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为a，则长方体体积为a3，三棱柱体积为a3，四分之一圆柱的体积为a3，所以它们的体积之比为42.102解析 如图，在三棱柱abca1b1c1中，由于侧面a1b1ba与侧面a1c1ca都是有一个内角为60的菱形，故三棱锥aa1b1c1是一个所有棱长都等于2的三棱锥，作ao面a1b1c1于点o，则点o是底面正三角形的中心，故a1o2，故ao，三棱锥的底面积等于22，故所求的三棱柱的体积为2.1124解析 根据球的体积公式r34，r33，故r，该球的内接正方体的体对角线为2.设正方体的棱长为a，则a2，即a2，故球的内接正方体的表面积是62224.12.解析 这个空间几何体上面是底面半径为1，高为的圆锥，下面是底面半径为1，高为a的圆柱，根据表面积求出a，即可根据体积公式进行计算上面圆锥的母线长为2，表面积为21a127，解得a2，故这个空间几何体的体积是12212. ks5u13.解析 bc1，bcx45，则顶点b到x轴的距离为bccos451.14解析 如图，该几何体是一个正四棱锥，由于efad，adbc，所以cf，be共面，结论不正确；根据异面直线的判断方法，be，af是异面直线，结论正确；由于efbc，所以ef平面pbc，结论正确；由于四棱锥的侧棱长和底面边长不确定，平面bce不一定垂直平面pad.15解答 (1)设acbdo，取be中点g，连接fg，og，所以og綊de.因为afde，de2af，所以af綊og，从而四边形afgo是平行四边形，fgao.因为fg平面bef，ao平面bef，所以ao平面bef，即ac平面bef.(2)因为平面abcd平面adef，abad，所以ab平面adef.因为afde，ade90，deda2af2，所以def的面积为edad2，所以四面体bdef的体积sdefab.16解答 (1)证明：在aoc中，ac1，aoco，ac2ao2co2，aoco.又ac、bd是正方形abcd的对角线，aobd.又bdcoo，ao平面bcd.(2)由(1)知ao平面bcd，则oc，oa，od两两互相垂直，如图，以o为原点，建立空间直角坐标系oxyz.则o(0,0,0)，a，c，b，d，是平面bcd的一个法向量，设平面abc的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，即所以yx，且zx，令x1，则y1，z1，可取n(1，1,1)从而cosn，即二面角abcd的余弦值为.17解答 解法1：(1)证明：ef平面aeb，ae平面aeb，efae.又aeeb，ebefe，eb，ef平面bcfe，ae平面bcfe.过d作dhae交ef于h，则dh平面bcfe.eg平面bcfe，dheg.adef，dhae，四边形aehd是平行四边形，ehad2，ehbg2.又ehbg，ehbe，四边形bghe为正方形，bheg.又bhdhh，bh平面bhd，dh平面bhd，eg平面bhd.bd平面bhd，bdeg.(2)ae平面bcfe，ae平面aefd，平面aefd平面bcfe.由(1)可知ghef，gh平面aefd.de平面aefd，ghde.取de的中点m，连接mh，mg，四边形aehd是正方形，mhde.mhghh，mh平面ghm，gh平面ghm，de平面ghm，demg，gmh是二面角gdef的平面角由计算得gh2，mh，mg，cosgmh.平面deg与平面def所成锐二面角的余弦值为.解法2：(1)ef平面aeb，ae平面aeb，be平面aeb，efae，efbe.又aeeb，eb，ef，ea两两垂直以点e为坐标原点，eb，ef，ea分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，a(0,0,2)，b(2,0,0)，f(0,3,0)，d(0,2,2)，g(2,2,0)(2,2,0)，(2,2,2)，22220，bdeg.(2)由已知得(2,0,0)是平面def的法向量设平面deg的法向量为n(x，y，z)，(0,2,2)，(2,2,0)，即令x1，得n(1，1,1)设平面deg与平面def所成锐二面角的大小为，则cos|cosn，|.平面deg与平面def所成锐二面角的余弦值为.18解答 (1)efbc，adbc，efad.在四边形adef中，由fa2，ad3，ade45，可得ge，ed2，gd，故ge2ed2gd2，所以egde.又由fa平面abcd，得afcd，正方形abcd中，cdad，adafa，cd平面adef.eg平面adef，cdeg.cdded，eg平面cde.(2)以ab、ad、af为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则b(3,0,0)，c(3,3,0)，e(0,1,2)，g(0,0,1)(0,3,0)，(3,2，2)，(0,1,1)分别求得平面bce与平面ceg的一个法向量为m(2,0,3)，n(4，3,3)，向量m与n的夹角的余弦值为，二面角bceg的余弦值为.19解答 (1)连接bd交ac于点m，若de平面afc，则defm，点m为bd中点，则f为棱be的中点(2)ad，ae2，de，daae.又四边形abcd为矩形，da面abe.方法1：以ab中点o为坐标原点，以oe为x轴，以ob为y轴，以om为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则(，1，)，(，1，)，设平面dce的法向量n(x，y，z)，令x1，则n(1,0,1)，.设平面dcf的法向量m(x，y，z)令x2，则m(2,0,1)设二面角edcf的平面角为，cos.方法2：设二面角edca的平面角为，取ab中点o，cd中点n，eo平面acd，oncd，one，tan1.同理设二面角fdca的平面角为，tan.设二面角edcf为，tan，则cos.20解答 (1)证明：设f为dc的中点，连接bf，则dfab.abad，abad，abdc，四边形abfd为正方形o为bd的中点，o为af与bd的交点，pdpb2，pobd.bd2，po，aobd.在pao中，po2ao2pa24，poao.aobdo，po平面abcd.(2)方法1：连接pf，o为af的中点，e为pa中点，oepf，oe平面pdc，pf平面pdc，oe平面pdc.方法2：由(1)知po平面abcd，又aba