高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5 曲线与方程课件.ppt

第十章圆锥曲线与方程 10 5曲线与方程 高考数学 浙江专用 考点曲线与方程1 2017课标全国 理 20 12分 设o为坐标原点 动点m在椭圆c y2 1上 过m作x轴的垂线 垂足为n 点p满足 1 求点p的轨迹方程 2 设点q在直线x 3上 且 1 证明 过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f 五年高考 解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题 1 设p x y m x0 y0 则n x0 0 x x0 y 0 y0 由 得x0 x y0 y 因为m x0 y0 在c上 所以 1 因此点p的轨迹方程为x2 y2 2 2 由题意知f 1 0 设q 3 t p m n 则 3 t 1 m n 3 3m tn m n 3 m t n 由 1得 3m m2 tn n2 1 又由 1 知m2 n2 2 故3 3m tn 0 所以 0 即 又过点p存在唯一直线垂直于oq 所以过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f 思路分析 1 设出p m的坐标 利用 得到p m坐标间的关系 由点m在c上求解 2 利用向量的坐标运算得 0 进而证明直线l过曲线c的左焦点f 方法总结求轨迹方程的方法有直接法和间接法 直接法有定义法 待定系数法和直译法 间接法有相关点法 交轨法和参数法 2 2016课标全国 20 12分 设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为a 直线l过点b 1 0 且与x轴不重合 l交圆a于c d两点 过b作ac的平行线交ad于点e 1 证明 ea eb 为定值 并写出点e的轨迹方程 2 设点e的轨迹为曲线c1 直线l交c1于m n两点 过b且与l垂直的直线与圆a交于p q两点 求四边形mpnq面积的取值范围 解析 1 因为 ad ac eb ac 故 ebd acd adc 所以 eb ed 故 ea eb ea ed ad 又圆a的标准方程为 x 1 2 y2 16 从而 ad 4 所以 ea eb 4 2分 由题设得a 1 0 b 1 0 ab 2 由椭圆定义可得点e的轨迹方程为 1 y 0 4分 2 当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 1 k 0 m x1 y1 n x2 y2 由得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 则x1 x2 x1x2 所以 mn x1 x2 6分 过点b 1 0 且与l垂直的直线m y x 1 a到m的距离为 所以 pq 2 4 故四边形mpnq的面积s mn pq 12 10分 可得当l与x轴不垂直时 四边形mpnq面积的取值范围为 12 8 当l与x轴垂直时 其方程为x 1 mn 3 pq 8 四边形mpnq的面积为12 综上 四边形mpnq面积的取值范围为 12 8 12分 评析本题重点考查圆锥曲线的几何性质 以及直线与椭圆 圆的位置关系 尤其对 弦长 问题的考查 更是本题考查的重点 解决此类问题 除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外 对计算能力的要求也非常高 3 2016课标全国 20 12分 已知抛物线c y2 2x的焦点为f 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交c于a b两点 交c的准线于p q两点 1 若f在线段ab上 r是pq的中点 证明ar fq 2 若 pqf的面积是 abf的面积的两倍 求ab中点的轨迹方程 疑难突破第 1 问求解关键是把ar fq的证明转化为kar kfq的证明 第 2 问需找到ab中点所满足的几何条件 从而将其转化为等量关系 在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用 评析本题主要考查抛物线的性质 直线的斜率及其应用 轨迹方程的求法等知识 考查分类讨论思想的应用 考查学生对基础知识和基本技能的应用能力 4 2015广东 20 14分 已知过原点的动直线l与圆c1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点a b 1 求圆c1的圆心坐标 2 求线段ab的中点m的轨迹c的方程 3 是否存在实数k 使得直线l y k x 4 与曲线c只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 解析 1 圆c1的方程x2 y2 6x 5 0可化为 x 3 2 y2 4 所以圆心坐标为 3 0 2 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 m x0 y0 则x0 y0 由题意可知直线l的斜率必存在 设直线l的方程为y tx 将上述方程代入圆c1的方程 化简得 1 t2 x2 6x 5 0 由题意 可得 36 20 1 t2 0 x1 x2 所以x0 代入直线l的方程 得y0 因为 3x0 所以 由 解得t2 又t2 0 所以 x0 3 所以线段ab的中点m的轨迹c的方程为 y2 3 存在 由 2 知 曲线c是在区间上的一段圆弧 如图 d e f 3 0 直线l过定点g 4 0 联立直线l的方程与曲线c的方程 消去y整理得 1 k2 x2 3 8k2 x 16k2 0 令判别式 0 解得k 由求根公式解得交点的横坐标为xh i 由图可知 要使直线l与曲线c只有一个交点 则k kdg keg kgh kgi 即k 5 2014湖北 21 14分 在平面直角坐标系xoy中 点m到点f 1 0 的距离比它到y轴的距离多1 记点m的轨迹为c 1 求轨迹c的方程 2 设斜率为k的直线l过定点p 2 1 求直线l与轨迹c恰好有一个公共点 两个公共点 三个公共点时k的相应取值范围 解析 1 设点m x y 依题意得 mf x 1 即 x 1 化简整理得y2 2 x x 故点m的轨迹c的方程为y2 2 在点m的轨迹c中 记c1 y2 4x c2 y 0 x 0 依题意 可设直线l的方程为y 1 k x 2 由方程组可得ky2 4y 4 2k 1 0 i 当k 0时 y 1 把y 1代入轨迹c的方程 得x 故此时直线l y 1与轨迹c恰好有一个公共点 ii 当k 0时 方程 的判别式为 16 2k2 k 1 设直线l与x轴的交点为 x0 0 则由y 1 k x 2 令y 0 得x0 若由 解得k 即当k 1 时 直线l与c1没有公共点 与c2有一个公共点 故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点 若或则由 解得k 或 k 0 即当k 时 直线l与c1只有一个公共点 与c2有一个公共点 当k 时 直线l与c1有两个公共点 与c2没有公共点 故当k 时 直线l与轨迹c恰好有两个公共点 若则由 解得 1 k 或0 k 即当k 时 直线l与c1有两个公共点 与c2有一个公共点 故此时直线l与轨迹c恰好有三个公共点 综合i 和ii 可知 当k 1 0 时 直线l与轨迹c恰好有一个公共点 当k 时 直线l与轨迹c恰好有两个公共点 当k 时 直线l与轨迹c恰好有三个公共点 6 2014广东 20 14分 已知椭圆c 1 a b 0 的一个焦点为 0 离心率为 1 求椭圆c的标准方程 2 若动点p x0 y0 为椭圆c外一点 且点p到椭圆c的两条切线相互垂直 求点p的轨迹方程 解析 1 由题意知c e a 3 b2 a2 c2 4 故椭圆c的标准方程为 1 2 设两切线为l1 l2 当l1 x轴或l1 x轴时 l2 x轴或l2 x轴 可知p 3 2 当l1与x轴不垂直且不平行时 x0 3 设l1的斜率为k 且k 0 则l2的斜率为 l1的方程为y y0 k x x0 与 1联立 整理得 9k2 4 x2 18 y0 kx0 kx 9 y0 kx0 2 36 0 直线l1与椭圆相切 0 即9 y0 kx0 2k2 9k2 4 y0 kx0 2 4 0 9 k2 2x0y0k 4 0 k是方程 9 x2 2x0y0 x 4 0的一个根 同理 是方程 9 x2 2x0y0 x 4 0的另一个根 k 整理得 13 其中x0 3 点p的轨迹方程为x2 y2 13 x 3 p 3 2 满足上式 综上 点p的轨迹方程为x2 y2 13 评析本题考查椭圆的标准方程 直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法 考查分类讨论思想以及方程思想的应用 1 2017浙江温州十校期末联考 6 点p为直线y x上任一点 f1 5 0 f2 5 0 则下列结论正确的是 a pf1 pf2 8b pf1 pf2 8c pf1 pf2 8d 以上都有可能 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案c若 pf1 pf2 8 则点p的轨迹是以f1 5 0 f2 5 0 为焦点的双曲线 其方程为 1 因为直线y x是该双曲线的一条渐近线 整条直线在双曲线的外面 因此有 pf1 pf2 8 2 2015浙江名校 绍兴一中 交流卷五 4 如图 定点a 定点b 定点p pb c是 内异于a和b的动点 且pc ac 那么 动点c在平面 内的轨迹是 a 一条线段 但要去掉两个点b 一个圆 但要去掉两个点c 一个椭圆 但要去掉两个点d 半圆 但要去掉两个点 答案b连接bc 易知bc ac c点的轨迹是以ab为直径的圆 但c与a b不重合 c在平面 内的轨迹是一个圆 但要去掉两个点 3 2017浙江名校 绍兴一中 交流卷一 14 若抛物线c y2 2px的焦点f在直线l x ay 1 0 a r 上 则此抛物线的方程是 若直线l与c交于a b两点 则 o为坐标原点 二 填空题 答案y2 4x 3 解析抛物线c y2 2px的焦点为f 代入x ay 1 0得p 2 所以抛物线的方程是y2 4x 设a ay1 1 y1 b ay2 1 y2 将x ay 1 0代入y2 4x 消去x得到y2 4ay 4 0 所以y1 y2 4a y1 y2 4 因此 ay1 1 ay2 1 y1y2 a2 1 y1y2 a y1 y2 1 4 a2 1 4a2 1 3 4 2016浙江镇海中学测试卷四 13 在直角坐标系xoy上取两个定点a1 2 0 a2 2 0 再取两个动点n1 0 m n2 0 n 且mn 3 则直线a1n1与a2n2的交点m的轨迹方程为 答案 1 x 2 解析依题意知直线a1n1的方程为y x 2 直线a2n2的方程为y x 2 设m x y 两式相乘得y2 x2 4 由mn 3 得 1 点a1 2 0 a2 2 0 不在所求轨迹上 m的轨迹方程为 1 x 2 5 2017浙江稽阳联谊学校联考 4月 21 已知两个不同的动点a b在椭圆 1上 且线段ab的垂直平分线恒过点p 0 1 求 1 线段ab的中点m的轨迹方程 2 线段ab的长度的最大值 三 解答题 6 2015浙江杭州一模 18 在直角坐标系xoy中 设点a 1 0 b 1 0 q为 abc的外心 已知 2 0 qg ab 1 求点c的轨迹 的方程 2 设经过f 0 的直线交轨迹 于e h两点 直线eh与直线l y 交于点m 点p是直线y 上异于点f的任意一点 若直线pe ph pm的斜率分别为k1 k2 k3 问是否存在实数t 使得 若存在 求t的值 若不存在 说明理由 解析 1 设c x y y 0 由 2 0 得g 因为qg ab 且q为 abc的外心 所以q 根据 qa qc 可得x2 1 y 0 故点c的轨迹 的方程为x2 1 y 0 2 存在 假设存在实数t满足题意 当直线eh的斜率不存在时 不妨设e在h的上方 易知e 0 h 0 m 设p x0 x0 0 则 x0 由 得t 2 当直线eh的斜率存在时 设斜率为k 则直线eh的方程为y kx 显然k 0 此时点m的坐标为 把直线方程代入椭圆方程可得 k2 3 x2 2kx 1 0 x 1 设e x1 y1 h x2 y2 p a a 0 则x1 x2 x1x2 a 则 2a 又 t 2 综上 存在实数t 2满足条件 评析本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质 直线与椭圆的位置关系 斜率的计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于难题 1 2017浙江镇海中学一轮阶段检测 7 已知二次函数y ax2 bx c ac 0 图象的顶点坐标为 与x轴的交点p q位于y轴的两侧 以线段pq为直径的圆与y轴交于f1 0 4 和f2 0 4 则点 b c 所在的曲线为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案b由题可知 所以即消去a并化简 得b2 1 因此点 b c 所在的曲线为椭圆 故选b 2 2017浙江镇海中学第一学期期中 6 如图 在四边形abcd中 将 adc沿ac所在的直线进行翻折 则翻折过程中线段db的中点m的轨迹是 a 椭圆的一段b 抛物线的一段c 一段圆弧d 双曲线的一段 答案c设线段ab的中点为n 则mn ad mn ad 且为定值 故点m在以n为球心 ad 为半径的球面上 同理 设线段bc的中点为p 则有 pm cd 且为定值 故点m在以p为球心 cd 为半径的球面上 故点m在两球面的交线 即一段圆弧上运动 故选c 3 2016浙江高考冲刺卷 四 8 点p到图形c上所有点的距离的最小值称为点p到图形c的距离 那么平面内到定圆c的距离等于到定点a的距离的点的轨迹不可能是 a 圆b 椭圆c 双曲线的一支d 直线 答案d设动点为q 圆c的半径为r 当点a在圆内且不与圆心c重合时 qc qa r 轨迹是椭圆 当点a在圆外时 qc qa r 轨迹是双曲线的一支 当点a与圆心c重合时 轨迹是圆 当点a在圆c上时 轨迹是射线 综