高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.1 导数的概念及几何意义、导数的运算课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第九章导数及其应用 9 1导数的概念及几何意义 导数的运算 2014江苏 11 5分 0 77 在平面直角坐标系xoy中 若曲线y ax2 a b为常数 过点p 2 5 且该曲线在点p处的切线与直线7x 2y 3 0平行 则a b的值是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 3 解析 y ax2 y 2ax 由题意可得解得 a b 3 考点一导数的概念及几何意义1 2017课标全国 文 14 5分 曲线y x2 在点 1 2 处的切线方程为 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案x y 1 0 解析本题考查导数的几何意义 y x2 y 2x y x 1 2 1 1 所求切线方程为y 2 x 1 即x y 1 0 2 2017天津文改编 10 5分 已知a r 设函数f x ax lnx的图象在点 1 f 1 处的切线为l 则l在y轴上的截距为 答案1 解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距 由题意可知f x a 所以f 1 a 1 因为f 1 a 所以切点坐标为 1 a 所以切线l的方程为y a a 1 x 1 即y a 1 x 1 令x 0 得y 1 即直线l在y轴上的截距为1 易错警示不能正确求解函数的导数 而导致不能正确求解切线l的斜率 3 2016课标全国 理 15 5分 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 答案y 2x 1 解析令x 0 则 x0 则f x 3 x 0 f 1 2 在点 1 3 处的切线方程为y 3 2 x 1 即y 2x 1 4 2016课标全国 16 5分 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是 答案y 2x 解析当x 0时 x0 点 1 2 在曲线y f x 上 易知f 1 2 故曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是y 2 f 1 x 1 即y 2x 5 2015陕西 15 5分 设曲线y ex在点 0 1 处的切线与曲线y x 0 上点p处的切线垂直 则p的坐标为 答案 1 1 解析 函数y ex的导函数为y ex 曲线y ex在点 0 1 处的切线的斜率k1 e0 1 设p x0 y0 x0 0 函数y 的导函数为y 曲线y x 0 在点p处的切线的斜率k2 则有k1k2 1 即1 1 解得 1 又x0 0 x0 1 又 点p在曲线y x 0 上 y0 1 故点p的坐标为 1 1 考点二导数的运算1 2016天津 10 5分 已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 答案3 解析 f x 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex f 0 3 2 2014福建 20 14分 已知函数f x ex ax a为常数 的图象与y轴交于点a 曲线y f x 在点a处的切线斜率为 1 1 求a的值及函数f x 的极值 2 证明 当x 0时 x2 ex 3 证明 对任意给定的正数c 总存在x0 使得当x x0 时 恒有x2 cex 解析解法一 1 由f x ex ax 得f x ex a 又f 0 1 a 1 得a 2 所以f x ex 2x f x ex 2 令f x 0 得x ln2 当xln2时 f x 0 f x 单调递增 所以当x ln2时 f x 取得极小值 且极小值为f ln2 eln2 2ln2 2 ln4 f x 无极大值 2 令g x ex x2 则g x ex 2x 由 1 得g x f x f ln2 0 故g x 在r上单调递增 又g 0 1 0 因此 当x 0时 g x g 0 0 即x20时 x20时 x2 cex 取x0 0 当x x0 时 恒有x21 要使不等式x2kx2成立 而要使ex kx2成立 则只要x ln kx2 只要x 2lnx lnk成立 令h x x 2lnx lnk 则h x 1 所以当x 2时 h x 0 h x 在 2 内单调递增 取x0 16k 16 所以h x 在 x0 内单调递增 又h x0 16k 2ln 16k lnk 8 k ln2 3 k lnk 5k 易知k lnk k ln2 5k 0 所以h x0 0 即存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 综上 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 解法二 1 同解法一 2 同解法一 3 对任意给定的正数c 取x0 由 2 知 当x 0时 ex x2 所以ex 当x x0时 ex x2 因此 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x20时 x2x0时 有x2 x3 ex 因此 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 注 对c的分类可有不同的方式 只要解法正确 均相应给分 评析本题主要考查基本初等函数的导数 导数的运算及导数的应用 全称量词与存在量词等基础知识 考查运算求解能力 抽象概括能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 有限与无限思想 化归与转化思想 分类与整合思想 特殊与一般思想 3 2013福建理 17 13分 已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析函数f x 的定义域为 0 f x 1 1 当a 2时 f x x 2lnx f x 1 x 0 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 2 由f x 1 x 0知 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 评析本题主要考查函数 函数的导数 不等式等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 分类与整合思想 化归与转化思想 1 2013广东理 10 5分 若曲线y kx lnx在点 1 k 处的切线平行于x轴 则k c组教师专用题组 答案 1 解析令f x kx lnx 则f x k f 1 k 1 由题意可知f 1 0 即k 1 0 k 1 2 2013北京理 18 13分 设l为曲线c y 在点 1 0 处的切线 1 求l的方程 2 证明 除切点 1 0 之外 曲线c在直线l的下方 解析 1 设f x 则f x 所以f 1 1 所以l的方程为y x 1 2 证明 令g x x 1 f x 则除切点之外 曲线c在直线l的下方等价于g x 0 x 0 x 1 g x 满足g 1 0 且g x 1 f x 当01时 x2 1 0 lnx 0 所以g x 0 故g x 单调递增 所以 g x g 1 0 x 0 x 1 所以除切点之外 曲线c在直线l的下方 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017南通 泰州高三第一次调研测试 已知两曲线f x 2sinx g x acosx x 相交于点p 若两曲线在点p处的切线互相垂直 则实数a的值为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 45分钟分值 50分 答案 解析f x 2cosx g x asinx 设p x1 y1 由题设可得解得sinx1 cosx1 a 2 2017泰州中学第一次质量检测 若直线y x b是曲线y xlnx的一条切线 则实数b 答案 1 解析y lnx 1 设切点为 x1 y1 则由题意可知lnx1 1 1 解得x1 1 所以y1 0 1 b 解得b 1 3 2016江苏扬州中学期中 11 若x轴是曲线f x lnx kx 3的一条切线 则k 答案e2 解析由f x lnx kx 3得f x k 设点m x0 y0 是曲线f x 上一点 则曲线f x lnx kx 3在点m处的切线方程为y lnx0 kx0 3 x x0 x轴是曲线f x lnx kx 3的一条切线 解得k e2 4 2016江苏南通一模 13 在平面直角坐标系xoy中 直线l与曲线y x2 x 0 和y x3 x 0 均相切 切点分别为a x1 y1 和b x2 y2 则 答案 解析由题设知曲线y x2在a x1 y1 处的切线方程为y 2x1x 曲线y x3在b x2 y2 处的切线方程为y 3x 2 所以解得x1 x2 所以 5 2015江苏常州一模 9 曲线y x cosx在点处的切线方程为 答案2x y 0 解析 y x cosx y 1 sinx y 2 切线方程为y 2 即2x y 0 二 解答题 共25分 6 2016江苏扬州中学模拟 19 已知函数f x x3 x2 ax b a b为常数 其图象是曲线c 1 当a 2时 求函数f x 的单调递减区间 2 若存在唯一的实数x0 使得f x0 x0与f x0 0同时成立 求实数b的取值范围 3 已知点a为曲线c上的动点 在点a处作曲线c的切线l1与曲线c交于另一点b 在点b处作曲线c的切线l2 设切线l1 l2的斜率分别为k1 k2 问 是否存在常数 使得k2 k1 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 解析 1 当a 2时 f x 3x2 5x 2 3x 1 x 2 令f x 0 解得 2 x 所以f x 的单调递减区间为 2 f x 3x2 5x a 由题意知消去a 得2 x0 b 0有唯一解 令g x 2x3 x2 x 则g x 6x2 5x 1 2x 1 3x 1 所以g x 在区间 上是增函数 在上是减函数 又g g 故实数b的取值范围是 3 设a x1 f x1 则曲线c在点a处的切线方程为y f x1 f x1 x x1 与曲线c的方程y f x 联立 得f x f x1 f x1 x x1 即 x x1 2 0 所以b点的横坐标xb 由题意知 k1 f x1 3 5x1 a k2 f 12 20 x1 a 若存在常数 使得k2 k1 则12 20 x1 a 3 5x1 a 即存在常数 使得 4 3 5x1 1 a 所以解得 4 a 故当a 时 存在常数 4 使k2 4k1 当a 时 不存在常数 使k2 k1 7 2015南京 盐城二模 19 已知函数f x 1 lnx 其中k为常数 1 若k 0 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若k 5 求证 f x 有且仅有两个零点 3 若k为整数 且当x 2时 f x 0恒成立 求k的最大值 解析 1 当k 0时 f x 1 lnx f x 从而f 1 1 又f 1 1 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 0 2 证明 当k 5时 f x lnx 4 x 0 f x 从而当x 0 10 时 f x 0 f x 单调递增 所以当x 10时 f x 取得最小值 因为f 10 ln10 30 所以f x 在 1 10 上有一个零点 因为f e4 4 4 0 所以f x 在 10 e4 上有一个零点 结合函数的单调性可知f x 有且仅有两个零点 3 由题意知 1 lnx 0对x 2 恒成立 即k2 则h x 设v x x 2lnx 4 则v x 当x 2 时 v x 0 所以v x 在 2 上为增函数 因为v 8 8 2ln8 4 4 2ln80 所以存在x0 8 9 使得v x0 0 即x0 2lnx0 4 0 所以当x 2 x0 时 h x 0 h x 单调递增 所以当x x0时 h x 有最小值h x0 因为lnx0 所以h x0 4 4 5 所以k 4 故整数k的最大值为4 一 填空题 每题5分 共15分 1 2017南京 盐城第二次模拟考试 14 已知函数f x lnx e a x b 其中e为自然对数的底数 若不等式f x 0恒成立 则的最小值为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 30分 答案 解析因为f x lnx e a x b 所以f x 0恒成立等价于lnx a e x b恒成立 可以转化为y lnx的图象恒在直线y a e x b下方 设y lnx的图象在 0 上与直线y a e x b平行的切线的切点为 x0 y0 由y lnx得y 则由导数几何意义可得切线方程为y x lnx0 1 要使lnx a e x b恒成立 则从而 令h x 则h x 令g x ex lnx 则g x 在 0 上单调递增 且g 0 从而h x 在上单调递增 在上单调递减 所以h x max h 从而 思路分析因为f x lnx e a x b 所以f x 0恒成立等价于lnx a e x b恒成立 可以转化为y lnx的图象恒在直线y a e x b下方 再利用切线和导数求解 2 2017江苏镇江期末 14 已知不等式 m n 2 m lnn 2 2对任意m r n 0 恒成立 则实数 的取值范围为 答案 2 1或 2 1 解析不等式 m n 2 m lnn 2 2对任意m r n 0 恒成立 可看作 m m n lnn 两点的距离的平方恒大于或等于2 从而转化为曲线y lnx上的点到直线y x 的距离的最小值大于或等于2 当y lnx的切线斜率为1时 y 1 点 1 0 处的切线与y x 平行 所以距离的最小值为 2 解得 2 1或 2 1 解后反思本题考查了曲线的切线方程 考查平行线间的距离 将问题转化为求曲线y lnx上的点到直线y x 的距离的最小值是解题的关键 本题是一道中档题 3 2016江苏镇江联考 11 在平面直角坐标系xoy中 直线y x b是曲线y alnx的切线 则当a 0时 实数b的最小值是 答案 1 解析由y alnx得y 设切点为m x0 y0 则曲线y alnx在点m x0 y0 处的切线方程为y alnx0 x x0 即y x alnx0 a 则 b alna a a 0 b lna 当01时 b 0 当a 1时 b取得最小值 1 二 解答题 共15分 4 2016江苏扬州中学质检 19 对于函数f x g x 如果它们的图象有公共点p 且在点p处的切线相同 则称函数f x 和g x 在点p处相切 称点p为这两个函数的切点 设函数f x