广东省东莞一中、松山湖学校高二数学上学期12月联考试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省东莞一中、松山湖学校高三（上）12月联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|1x02已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（）abcd3一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）a1b0c1d54若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的右焦点重合，则p=（）ab2c2d45下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）ay=x3by=excy=x2+1dy=ln|x|6将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）ay=2cos2xby=2sin2xcdy=cos2x7设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和sn=（）abcdn2+n8已知函数f（x）=x2+2x+3，若在区间上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）abcd19某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）ab6cd10已知m是abc内的一点，且=2，bac=30，若mbc，mca和mab的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）a20b18c16d911如图，椭圆与双曲线有公共焦点f1、f2，它们在第一象限的交点为a，且af1af2，af1f2=30，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）a2bc2d112已知函数f（x）=x+sinx3，则的值为（）a4029b4029c8058d8058二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13在abc中，a=60，ac=4，bc=2，则ab等于14曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是15若x，y满足，且z=yx的最小值为4，则k的值为16已知三棱锥pabc，pa面abc，abbc，且pa=ab=bc=2，则三棱锥pabc的外接球的表面积为三、解答题（本大题共5小题，共70分）17已知an为等差数列，且a3=5，a5=5，数列bn的前n项的和为sn，且2sn=1bn（nn*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和tn18某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组（）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由19如图，四棱锥pabcd，侧面pad是边长为2的正三角形，且与底面abcd垂直，底面abcd是abc=60的菱形，m为pc的中点（1）在棱pb上是否存在一点q，使得qm面pad？若存在，指出点q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点d到平面pam的距离20已知圆c1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为c（1）求圆c的方程；（2）过点（1，0）作直线l与圆c交于a，b两点，o是坐标原点设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形oasb的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由21设函数f（x）=，x0其中e=2.71828（1）设h（x）=f（x）+，求函数h（x）在上的值域；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）1|a成立请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22如图，ab切o于点b，直线ao交o于d，e两点，bcde，垂足为c（）证明：cbd=dba；（）若ad=3dc，bc=，求o的直径选修4-4：坐标系与参数方程23（2015秋松山区校级月考）曲线c1的参数方程为：（t为参数），曲线c2的参数方程为：（为参数）（1）求曲线c2的普通方程，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求曲线c1的极坐标系方程；（2）若点p为曲线c2上任意一点，求点p到曲线c1距离的最小值选修4-5：不等式选讲24（2015陕西）已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4（）求实数a，b的值；（）求+的最大值2015-2016学年广东省东莞一中、松山湖学校高三（上）12月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|1x0【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出n中x的范围确定出n，找出m与n的交集即可【解答】解：由n中y=，得到x0，即n=x|x0，m=x|1x1，mn=x|0x1故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（）abcd【考点】复数求模【专题】计算题【分析】设复数z的虚部是为b，根据已知复数z的实部为1，且|z|=2，可得1+b2=4，由此解得 b的值，即为所求【解答】解：设复数z的虚部是为b，已知复数z的实部为1，且|z|=2，故有 1+b2=4，解得 b=，故选d【点评】本题主要考查复数的基本概念，求复数的模，属于基础题3一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）a1b0c1d5【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，y=，sin（）=2k+，kz，即可解得x=12k+1，kz当k=0时，有x=1故选：c【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正弦函数的图象和性质，属于基础题4若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的右焦点重合，则p=（）ab2c2d4【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先分别求出抛物线和双曲线的焦点，让二者相等建立等式关系即可得到答案【解答】解：抛物线的焦点f为（，0），双曲线y2=1的右焦点f2（2，0），由已知得=2，p=4故选：d【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，属于基础题5下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）ay=x3by=excy=x2+1dy=ln|x|【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】依次对四个函数进行判断，从而解得【解答】解：y=x3是奇函数，故排除a，y=ex是非奇非偶函数，故排除b，y=x2+1是偶函数但没有零点，故排除c，y=ln|x|是偶函数及零点为1与1，故选：d【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用6将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）ay=2cos2xby=2sin2xcdy=cos2x【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】首先根据函数的图象变换求出关系式y=cos2x+1，进一步利用诱导公式求出结果【解答】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到：y=sin（2（x+）+）=cos2x函数图象再向上平移1个单位，得到：y=cos2x+1=2cos2x故选：a【点评】本题考查的知识要点：函数图象的变换问题，诱导公式的应用，属于基础题型7设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和sn=（）abcdn2+n【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质【专题】计算题【分析】设数列an的公差为d，由题意得（2+2d）2=2（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出数列an的前n项和【解答】解：设数列an的公差为d，则根据题意得（2+2d）2=2（2+5d），解得或d=0（舍去），所以数列an的前n项和故选a【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答8已知函数f（x）=x2+2x+3，若在区间上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）abcd1【考点】几何概型【专题】计算题；概率与统计【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答【解答】解：已知区间长度为8，满足f（x0）0，f（x）=x02+2x0+30，解得1x03，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）0成立的概率是=故选：b【点评】本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答9某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）ab6cd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高2的圆锥的一半，分别计算两部分的体积，即可【解答】解：由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为v1=221=2，上部半圆锥的体积为v2=222=故几何体的体积为v=v1+v2=故选c【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键10已知m是abc内的一点，且=2，bac=30，若mbc，mca和mab的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）a20b18c16d9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用【专题】计算题【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）（x+y），利用基本不等式求得+的最小值【解答】解：由已知得=bccosbac=2bc=4，故sabc=x+y+=bcsina=1x+y=，而+=2（+）（x+y）=2（5+）2（5+2）=18，故选b【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算要注意灵活利用y=ax+的形式11如图，椭圆与双曲线有公共焦点f1、f2，它们在第一象限的交点为a，且af1af2，af1f2=30，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）a2bc2d1【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式和解直角三角形的有关知识，化简计算即可得到【解答】解：由椭圆的定义，可得，af1+af2=2a1，由双曲线的定义，可得，af1af2=2a2，在直角af1f2中，af1f2=30，则af2=f1f2=c，af1=f1f2=c，则有2a1=（+1）c，2a2=（1）c，则离心率e1=，e2=，即有=故选b【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质：离心率，考查运算能力，属于中档题12已知函数f（x）=x+sinx3，则的值为（）a4029b4029c8058d8058【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据式子特点，判断当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=4，即可得到结论【解答】解：若x1+x2=2时，即x2=2x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinx13+2x1+sin（2x1）3=26=4，即恒有f（x1）+f（x2）=4，且f（1）=2，则=2014 =2014（4）2=8058，故选：d【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件得到函数取值的规律性是解决本题的关键二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13在abc中，a=60，ac=4，bc=2，则ab等于2【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosa的值代入求出c的值，即为ab的长【解答】解：在abc中，a=60，ac=b=4，bc=a=2，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，即12=16+c24c，解得：c=2，则ab=c=2，故答案为：2【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是y=2xe【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求导函数，确定x=e处的切线的斜率，确定切点的坐标，利用点斜式可得结论【解答】解：求导函数f（x）=lnx+1，f（e）=lne+1=2f（e）=elne=e曲线f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为ye=2（xe），即y=2xe故答案为：y=2xe【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题15若x，y满足，且z=yx的最小值为4，则k的值为【考点】基本不等式【专题】不等式【分析】由z=yx便得到y=x+z，该式可表示在y轴上的截距为z且平行于y=x的直线，这样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域，从而确定出直线kxy+2=0的方程，从而求出k【解答】解：z=yx表示在y轴上截距为z且平行于y=x的直线；z取最小值4时，得到直线y=x4；画出直线x+y2=0和y=x4如下图：由题意知，直线z=yx经过原不等式所表示的平面区域的最右端（4，0）点；从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示；直线kxy+2=0表示在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2的直线；y=0时，x=4；故答案为：【点评】考查不等式表示一个平面区域，并根据不等式可找出它表示的平面区域，知道z=yx可以看成在y轴上截距为z且平行于直线y=x的直线系16已知三棱锥pabc，pa面abc，abbc，且pa=ab=bc=2，则三棱锥pabc的外接球的表面积为12【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】确定pc的中点o为球心，求出球的半径，利用球的表面积公式，即可求得结论【解答】解：pa面abc，bc面abc，pabcabbc，paab=abc面pabpb面pabbcpb取pc的中点o，则op=oa=ob=oc，o为球心pa=2，pc=2球半径为r=该三棱锥的外接球的表面积为4r2=12故答案为：12【点评】本题考查球的表面积，解题的关键是确定球心与半径，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共70分）17已知an为等差数列，且a3=5，a5=5，数列bn的前n项的和为sn，且2sn=1bn（nn*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和tn【考点】数列的求和【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过a3=3、a5=5可知公差，进而利用an=a5+（n5）d计算可得等差数列an的通项公式；当，进而可知数列bn是首项、公比均为的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知、=，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）a3=3，a5=5，公差，an=a5+（n5）d=n；当，整理得：，又，即，数列bn是首项、公比均为的等比数列，bn=；（2）由（1）可知（1），=（2），（1）（2），得： =，化简得：【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题18某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组（）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；极差、方差与标准差【专题】计算题【分析】（i）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（ii）先算出选出的两名同学的基本事件数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；（iii）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可，方差小些的比较稳定【解答】解：（i） 每个同学被抽到的概率为（2分）课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1（4分）（ii）把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中有一名女同学的有3种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为（8分）（iii），第二次做实验的更稳定（12分）【点评】本题主要考查分层抽样方法、概率的求法以及方差，是一道简单的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估计的方法，属于基础题19如图，四棱锥pabcd，侧面pad是边长为2的正三角形，且与底面abcd垂直，底面abcd是abc=60的菱形，m为pc的中点（1）在棱pb上是否存在一点q，使得qm面pad？若存在，指出点q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点d到平面pam的距离【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（1）取棱pb的中点q，连结qm，qa，又m为pc的中点，证明qmad，利用直线与平面平行的判定定理证明qm面pad（2）设点d到平面pac的距离为h，由vdpac=vpacd，通过证明以及计算即可求点d到平面pam的距离【解答】解：（1）当点q为棱pb的中点时，qm面pad，证明如下（1分）取棱pb的中点q，连结qm，qa，又m为pc的中点，所以，在菱形abcd中adbc可得qmad（3分）又qm面pad，ad面pad所以qm面pad（5分）（2）点d到平面pam的距离即点d到平面pac的距离，由（）可知poad，又平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，po平面pad，所以po平面abcd，即po为三棱锥pacd的体高（7分）在rtpoc中，在pac中，pa=ac=2，边pc上的高am=，所以pac的面积，（9分）设点d到平面pac的距离为h，由vdpac=vpacd得 （10分），又，所以，（11分）解得，所以点d到平面pam的距离为（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力20已知圆c1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为c（1）求圆c的方程；（2）过点（1，0）作直线l与圆c交于a，b两点，o是坐标原点设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形oasb的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系【专题】转化思想；消元法；直线与圆【分析】（1）利用配方法求出圆心坐标和半径，根据点的对称性求出对称圆心的坐标即可（2）根据向量关系以及对角线关系确定四边形为矩形，利用向量垂直的关系，转化为直线和圆相交的问题关系，利用消元法转化为根与系数之间的关系进行求解即可【解答】解：（1）c1：x2+y2+6x=0的标准方程为（x+3）2+y2=9，则圆心为c1（3，0）半径为3，设c（x，y），则，即，解得，即c（1，2），则关于直线l1：y=2x+1对称的圆为c的方程为（x1）2+（y+2）2=9（2）过点（1，0）作直线l与圆c交于a，b两点，o是坐标原点设，则四边形oasb是平行四边形，四边形oasb的对角线相等，四边形oasb是矩形，即oaob，直线过点（1，0），是圆c外的一点，直线可设为斜率式y=k（x+1），oaob，=x1x2+y1y2=0，即x1x2+k2（x1+1）（x2+1）=0，即（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0，将y=k（x+1），代入（x1）2+（y+2）2=9得（x1）2+（kx+k+2）2=9即（1+k2）x2+2（k2+2k1）x+（k2+4k4）=0则x1x2=，x1+x2=，代入（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0，得入 （k2+4k4）2k2+k2=0，即是（k2+2k2）k2=0，化简后2k1=1 k=1所以直线的方程是y=x+1【点评】本题主要考查圆的对称性以及直线和圆的位置关系的应用，利用消元法转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度21设函数f（x）=，x0其中e=2.71828（1）设h（x）=f（x）+，求函数h（x）在上的值域；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）1|a成立【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用；推理和证明【分析】（1），由导数的正负确定函数的单调性，求最值，可得函数h（x）在上的值域；（2）化简不等式f（x）1a为ex（a+1）x10，求导讨论函数的单调性，从而求函数的最小值，证明最小值小于0即可【解答】（1）解：，（1分）令h（x）=0，则x=1，当时，h（x）0，h（x）在上单调递减函数，当x（1，2时，h（x）0，h（x）在（1，2上单调递增函数，（3分）又依据，（4分）h（x）在上有最小值h（1）=e，有最大值即函数h（x）在上的值域 （5分）（2）证明：，当x0时，令g（x）=exx1，则g（x）=ex10，（6分）故g（x）g（0）=0， （7分）原不等式化为，即ex（1+a）x10，令（x）=ex（1+a）x1，则（x）=ex（1+a），（8分）由（x）=0得：ex=1+a，a0解得x=ln（1+a），当0xln（1+a）时，（x）0；当xln（1+a）时，（x）0故当x=ln（1+a）时，（x）取最小值=a（1+a）ln（1+a），（10分）令，则故s（a）s（0）=0，即=a（1+a）ln（1+a）0因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立 （12分）【点评】本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用利用导数判断函数的单调性常用的方法请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22如图，ab切o于点b，直线ao交o于d，e两点，bcde，垂足为c（）证明：cbd=dba；（）若ad=3dc，bc=，求o的直径【考点】直