湖北省孝感市孝南区肖港初中中考数学 第42节 存在性问题复习练习题 新人教版.doc

第42节 存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的数学问题是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，它是一种常见的探究性问题，在中考中，命题者用来考查同学们的探究能力、猜想能力和归纳能力.这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断.由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验.【典型问题示例】与【思想方法提炼】 存在性开放问题及解法：通过对存在性开放问题的讲解，培养学生的综合理解能力和解决实际问题的能力，培养学生的思维能力和思考问题的全面性；开放性问题从近几年的中考中主要可以归纳为：条件开放性问题；存在开放性问题；结论开放性问题；全开放性问题存在性开放问题的基本特点：在一定的条件下，判断某种数学结论存在的条件是否有，其一般形式为“已知条件a，b，是否存在，使成立，若不能，请说明理由，若能，求出”.例1.如图,在平面直角坐标系中，abc是直角三角形,acb=90,ac=bc,oa=1，oc=4，抛物线经过a，b两点，抛物线的顶点为d（1）求b,c的值；（2）点e是直角三角形abc斜边ab上一动点(点a、b除外)，过点e作x轴的垂线交抛物线于点f，当线段ef的长度最大时，求点e的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点p，使efp是以ef为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）由已知得：a（-1，0） b（4，5）-1分二次函数的图像经过点a（-1，0）b(4,5) -2分解得：b=-2 c=-3-3分（2如图：直线ab经过点a（-1，0） b(4,5)直线ab的解析式为：y=x+1二次函数例1题图设点e(t， t+1),则f（t，） -4分ef= -5分 =当时，ef的最大值=点e的坐标为（，）-6分（3）如图：顺次连接点e、b、f、d得四边形 可求出点f的坐标（，）,点d的坐标为（1，-4） s=s+s =例1题备用图 = -9分如备用图：)过点e作aef交抛物线于点p,设点p(m,)则有： 解得:, ,）过点f作bef交抛物线于，设（n，）则有： 解得： ，（与点f重合，舍去）综上所述：所有点p的坐标：，（. 能使efp组成以ef为直角边的直角三角形-12分例2 王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a(2)不可以是7，第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。a5(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形例3.如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y= 相交于点a，b. 已知点b的坐标为（-2，-2），点a在第一象限内，且tanaox=4. 过点a作直线acx轴，交抛物线于另一点c（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算abc的面积；（3）在抛物线上是否存在点d，使abd的面积等于abc的面积若存在，请你写出点d的坐标；若不存在，请你说明理由【答案】（1）把点b（-2，-2）的坐标，代入y=，得：-2=，k=4即双曲线的解析式为：y= 设a点的坐标为（m，n）。a点在双曲线上，mn=4又tanaox=4，=4， 即m=4n又，得：n2=1,n=1.a点在第一象限，n=1,m=4 ， a点的坐标为（1，4）把a、b点的坐标代入y=ax2+b x，得：解得a=1，b=3；抛物线的解析式为：y=x2+3x ；（2）acx轴，点c的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）c点的坐标为（-4，4），且ac=5，又abc的高为6，abc的面积=56=15 ；（3）存在d点使abd的面积等于abc的面积.过点c作cdab交抛物线于另一点d 因为直线ab相应的一次函数是：y=2x+2，且c点的坐标为（-4，4），cdab，所以直线cd相应的一次函数是：y=2x+12.解方程组 得所以点d的坐标是（3，18）【自我巩固提升】一、选择题1. 给出下列四个命题（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其底面直径与母线长相等（2）若点a在直线上，且点a到两坐标轴的距离相等，则点a在第一或第四象限（3）半径为5的圆中，弦ab8，则圆周上到直线ab的距离为2的点共有四个（4）若a（，）、b（，）()在反比例函数的图象上，则（5）用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角不小于”，可先假设三角形中每一个内角都小于。其中，正确命题的个数是（ ）a2个 b3个 c4个 d5个2. 已知下列命题：同位角相等；若ab0，则；对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；抛物线y=x2-2x与坐标轴有3个不同交点；边长相等的多边形内角都相等。从中任选一个命题是真命题的概率为（ ） a. b. c. d.3. （ ）4.函数与函数具有某种关系，因此已知函数的图像，可以通过图形变换得到的图像，给出下列变换平移旋转轴对称相似（相似比不为1），则可行的是（ ）a. b. c. d. 二、填空题1. 如图，边长为2的正方形abcd中，点e是对角线bd上的一点，且be=bc，点p在ec上，pmbd于m，pnbc于n，则pm+pn= ； 第2题2. 如图，在第一象限内作射线oc，与x轴的夹角为30o，在射线oc上取一点a，过点a作ahx 轴于点h在抛物线y=x2（x0）上取点p，在y轴上取点q，使得以p，o，q为顶点的三角形与aoh全等，则符合条件的点a的坐标是 .agbhcfde第3题3如图，在矩形abcd中，bc=8，ab=6，经过点b和点d的两个动圆均与ac相切，且与ab、bc、ad、dc分别交于点g、h、e、f，则ef+gh的最小值是 . 三、解答题1.如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为a(4,0)，与y轴交于点b.(1)求此二次函数关系式和点b的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点p，使得pab是以ab为底的等腰三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形oabc的边长为2cm，点a、c分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点a、b和d（4，）。（1）求抛物线的表达式。（2）如果点p由点a出发沿ab边以2cm/s的速度向点b运动，同时点q由点b出发，沿bc边以1cm/s的速度向点c运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设s=pq2（cm2）。试求出s与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当s取时，在抛物线上是否存在点r，使得以点p、b、q、r为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出r点的坐标；如果不存在，请说明理由。（3）在抛物线的对称轴上求点m，使得m到d、a的距离之差最大，求出点m的坐标。xyaobpqcd3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形abcd是直角梯形，bcad，bad= 90，bc与y轴相交于点m，且m是bc的中点，a、b、d三点的坐标分别是a（-10），b( -1.2)，d( 3.0)，连接dm，并把线段dm沿da方向平移到o/v，若抛物线y=ax2+bx+c经过点d、m、n。（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点p使得pa= pc若存在，求出点p的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x轴的另个交点为e点q是抛物线的对称轴上的个动点，当点q在什么位置时有最大？并求出最大值。abcdoenmxy4.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形abc放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点a（0,2），点c（1,0），如图所示；抛物线经过点b。（1） 求点b的坐标；（2） 求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点p（点b除外），使acp仍然是以ac为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点p的坐标；若不存在，请说明理由。第42节存在性问题参考答案：一， 选择题1、c 2、a 3、c 4、b二， 填空题1、 2、 3、9.6三， 解答题1、解：（1）二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为a(4,0)，0= -42+4b+3，解得b=，此二次函数关系式为：y= -x2+x+3，点b的坐标为b(0,3).（2）在x轴的正半轴上是否存在点p(,0)，使得pab是以ab为底的等腰三角形.理由如下：设点p(x，0)，x0，则根据下图和已知条件可得x2+ 32=(4- x)2，解得x=，点p的坐标为p(,0).即，在x轴的正半轴上是否存在点p(,0)，使得pab是以ab为底的等腰三角形.2、解：（1）由题意得a（0，2），b（2，2），抛物线过a、b、d三点得解得抛物线的表达式为（2）s=pq2=（0t1）由解得t=或t=（不合题意，舍去）此时，p（1，2），b（2，2），q（2，）若以点p、b、q、r为顶点的四边形是平行四边形，则r（3，）或（1，）或（1，）经代入抛物线表达式检验，只有点r（3，）在抛物线上所以抛物线上存在点r（3，）使得以点p、b、q、r为顶点的四边形是平行四边形。（3）过b、d的直线交抛物线对称轴于点m，则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一点n，则ndna=ndnbbd，而mdma=mdmb=bd，故点m到d、a的距离之差最大。由b（2，2）、d（4，）求得直线bd的解析式为时，故点m的坐标为（1，）xyaobpqcdmn3、（1）解：由题意可得m（02），n（-32） 解得：y=（2）pa= pc p为ac的垂直平分线上，依题意，ac的垂直平分线经过（-12）（10） 所在的直线为y=x+1 解得：p1（）p2（）（3）d为e关于对称轴x=1.5对称 cd所在的直线y=x+3 yq=4.5q（-1.54.5）最大值为qc=4、解：（1）过点b作bdx轴，垂足为d，bcd+aco=90 ，aco+oac =90；bcd=cao； 又bdc=coa=90；cb=ac， bdccao=90，bd=oc=1，cd=oa=2；点b的坐标为(3,1)（2）抛物线经过点b(3,1)，则得 解得，所以抛物线的解析式为（3）假设存在点p，似的acp是直角三角形:若以ac为直角边，点c为直角顶点；则延长bc至点p1 使得p1c=bc,得到等腰直角三角形acp1，过点p1作p1mx轴，如图（1）。cp1=bc，mcp1=bcd， p1mc=bdc=90，mcp1bcd cm=cd=2，p1m=bd=1，可求得点p1（-1，-1）；经检验点p1（-1，-1）在抛物线为上； 若以ac为直角边， 点a为直角顶点；则过点a作ap2ca，且使得ap2=ac，得到等腰直角三角