广东省东莞市高三数学一模试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年广东省东莞市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的1（5分）（2013东莞一模）下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（）ay=sinxby=log2xcy=dy=考点：函数单调性的判断与证明专题：综合题分析：由正弦函数，对数函数，指数函数，幂函数的单调性很容易得到答案解答：解：y=sinx在上是增函数，（0，1）y=sinx在（0，1）上是增函数故答案为a点评：本题考查了常见函数单调性，以及函数单调性的判断与证明，是个基础题2（5分）（2013东莞一模）如果复数z=a2+a2+（a23a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）a2b1c2d1或2考点：复数的基本概念分析：纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b0，根据这个条件，列出关于a的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确解答：解：复数z=a2+a2+（a23a+2）i为纯虚数，a2+a2=0且a23a+20，a=2，故选a点评：复数中常出现概念问题，准确理解概念是解题的基础，和本题有关的概念问题同学们可以练习一遍，比如是实数、是虚数、是复数、还有本题的纯虚数，都要掌握3（5分）（2013东莞一模）已知是不共线的向量，若，则a、b、c三点共线的充要条件为（）a1=2=1b1=2=1c121=0d12+1=1考点：向量的共线定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：将三点共线转化成两个向量共线，利用向量共线的充要条件求出两参数的关系解答：解：a、b、c三点共线共线存在使121=0故选项为c点评：本题考查向量共线的充要条件及充要条件的求法4（5分）（2013滨州一模）如图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）a84，4.84b84，1.6c85，1.6d85，4考点：茎叶图；极差、方差与标准差专题：压轴题；图表型分析：根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差解答：解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为 ；方差为 故选c点评：茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数5（5分）（2013东莞一模）已知函数的最小值为（）a1bcd考点：基本不等式；反函数专题：计算题分析：求出函数y=2x的反函数是y=f1（x），推出方程f1（a）+f1（b）=4，化简，利用基本不等式求的最小值解答：解：函数y=2x的反函数是y=f1（x）=log2x，所以f1（a）+f1（b）=4，就是log2a+log2b=4，可得 ab=16（a，b0）2=，（当且仅当a=b时取等号）故选b点评：本题考查反函数的求法，基本不等式求最值，考查计算能力，是基础题解答的关键是出现已知和待求一个为整式形式一个为分式形式，求最值将它们乘起后用基本不等式6（5分）（2013东莞一模）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由题意得，该几何体的直观图是一个底面半径为，母线长为1的圆锥其侧面展开图是一扇形，所以利用公式求解即可解答：解：由题意得，该几何体的直观图是一个底面半径为，母线长为1的圆锥其侧面展开图是一扇形，弧长为2r=，这个几何体的侧面积为故选d点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题7（5分）（2013东莞一模）两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab则双曲线的离心率为（）abcd考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质专题：计算题分析：根据a、b的等差中项是，一个等比中项是，联立方程求得a和b，再根据c=求得c，进而根据离心率公式求得e解答：解：依题意得解得a=5，b=4c2=a2+b2=（a+b）22ab=41c=e=故选d点评：本题主要考查了双曲线的简单性质属基础题8（5分）（2013东莞一模）已知=（x，y）|，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为m，向区域上随机投一点a，点a落在区域m内的概率为p（m），若p（m），1，则实数m的取值范围（）a，1b0，c，1d0，1考点：直线和圆的方程的应用专题：压轴题分析：画出图形，不难发现直线恒过定点（2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围解答：解：画出图形，不难发现直线恒过定点（2，0），圆是上半圆，直线过（2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为m，向区域上随机投一点a，点a落在区域m内的概率为p（m），此时p（m）=，当直线与x轴重合时，p（m）=1；直线的斜率范围是0，1故选d点评：本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分9（5分）（2006北京）在的展开式中，x3的系数是84（用数字作答）考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得到x3的系数解答：解：，令72r=3，解得r=2，故所求的系数为（2）2c72=84故答案为84点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题10（5分）（2013东莞一模）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率考点：等可能事件的概率专题：计算题分析：由题意知本题是一个等可能事件发生的概率，试验包含的所有事件是一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，而满足条件的事件是向上的数之积为0，写出三种情况下的结果，得到概率解答：解：由题意知本题是一个等可能事件发生的概率，试验包含的所有事件是一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，共有c61c61=36种结果，而满足条件的事件是向上的数之积为0，包含c31c31+c31c31+c31c31=27种结果，p=，故答案为：点评：通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值11（5分）（2013东莞一模）如图，该程序运行后输出的结果为45考点：循环结构专题：图表型分析：经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可解答：解：经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：s=0 a=1s=3 a=2s=6 a=3s=10 a=4s=15 a=5s=21 a=6s=28 a=7s=36 a=8s=45 a=9当s=45不满足循环条件，跳出故答案为：45点评：本题考查当型循环结构，考查对程序知识的综合运用，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法属于基础题12（5分）（2013东莞一模）已知点p（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=6考点：简单线性规划专题：计算题；压轴题分析：画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点a时，纵截距最大，z最大解答：解：画出可行域将z=x+3y变形为y=，画出直线平移至点a时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，k=6故答案为6点评：本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值13（5分）（2013东莞一模）（几何证明选讲选做题）如图，ad是o的切线，ac是o的弦，过c做ad的垂线，垂足为b，cb与o相交于点e，ae平分cab，且ae=2，则ab=考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明专题：直线与圆分析：利用弦切角定理可得ead=c，由角平分线的性质可得ead=cae，又c+cad=90即可得出ead=30，在rtead中，即可求出ab解答：解：ad是o的切线，eab=c，ae平分cab，eab=cae，abc=90，cbd+c=90，ead=30在rtead中，ab=aecos30=故答案为点评：熟练掌握弦切角定理、角平分线的性质、直角三角形的边角关系是解题的关键14（5分）（2013东莞一模）在极坐标系中，点（1，0）到直线（cos+sin）=2的距离为考点：点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果解答：解：直线（cos+sin）=2直线cos+sin=2直线的一般是方程式是：x+y2=0点（1，0）到直线的距离是故答案为：点评：本题考查点到直线的距离公式和简单的极坐标方程，本题解题的关键是把极坐标方程转化成一般式方程15（2013东莞一模）函数f（x）=|x|x3|的最大值为 3考点：绝对值不等式；函数的最值及其几何意义专题：计算题；分类讨论分析：已知函数f（x）=|x|x3|，根据绝对值的性质先进行分类讨论，去掉绝对值进行求解解答：解：若x0，f（x）=|x|x3|=x（3x）=3；0x3，f（x）=|x|x3|=x（3x）=2x3，3f（x）3；x3，f（x）=|x|x3|=x（x3）=3，综上3f（x）3，故答案为3点评：此题考查绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2013惠州二模）设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（ar）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（xr）的对称轴方程考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（1）函数f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间为2k，2k+（kz）求出x的范围即为函数的递增区间；（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性求出正弦函数的最大值，表示出函数的最大值，由已知最大值求出a的值即可，令这个角等于k+（kz），求出x的值，即可确定出对称轴方程解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，=2，t=，f（x）的最小正周期；当2k2x+2k+（kz）时f（x）单调递增，解得：kxk+（kz），则xk，k+（kz）为f（x）的单调递增区间；（2）当x0，时，2x+，当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，则f（x）max=+1+a=2，解得：a=1，令2x+=k+（kz），得到x=+（kz）为f（x）的对称轴点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键17（12分）（2013东莞一模）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和（+=1）（）如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益（收益=回收资金投资资金），求的期望e；（）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围考点：离散型随机变量的期望与方差专题：应用题；分析法分析：对于（1）如果把10万元投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；则可得到的可能取值为1，0，1然后分别求出概率，由期望公式即可得到答案对于（）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，故可以先求出投资乙项目的期望值，然后使其大于等于甲项目的期望，解出的取值范围即可得到答案解答：解：（）依题意，的可能取值为1，0，1当=1时，p（=1）=，当=0时，p（=0）=，当=1时，p（=1）=故e=故答案为（）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布为当=2时，p（=2）=当=2时，p（=2）=则e=22=42依题意要求，又1即：1，故答案为1点评：此题主要考查离散型随机变量的期望的问题，以及用期望值估计实际问题，对学生灵活应用能力要求较高，属于中档题目18（14分）（2013东莞一模）已知圆c方程为：x2+y2=4（）直线l过点p（1，2），且与圆c交于a、b两点，若，求直线l的方程；（）过圆c上一动点m作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为n，若向量，求动点q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；轨迹方程专题：计算题；数形结合；分类讨论分析：（i）分类讨论：当直线l垂直于x轴时；若直线l不垂直于x轴对于，设其方程为y2=k（x1），结合直线与圆的位置关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题（ii）设点m的坐标为（x0，y0）（y00），q点坐标为（x，y），利用向量的坐标运算表示出m的坐标，再利用m点在圆上其坐标适合方程即可求得动点q的轨迹方程，最后利用方程的形式进行判断是什么曲线即可解答：解（）当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意（1分）若直线l不垂直于x轴，设其方程为y2=k（x1），即kxyk+2=0设圆心到此直线的距离为d，则，得d=1（3分），故所求直线方程为3x4y+5=0综上所述，所求直线为3x4y+5=0或x=1（7分）（）设点m的坐标为（x0，y0）（y00），q点坐标为（x，y）则n点坐标是（0，y0）（9分），（x，y）=（x0，2y0）即x0=x，（11分）又x02+y02=4，q点的轨迹方程是，（13分）轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆，除去短轴端点（14分）点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、轨迹方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题19（14分）（2013东莞一模）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab1，点e在棱ab上移动，小蚂蚁从点a沿长方体的表面爬到点c1，所爬的最短路程为2（1）求证：d1ea1d；（2）求ab的长度；（3）在线段ab上是否存在点e，使得二面角d1ecd的大小为若存在，确定点e的位置；若不存在，请说明理由考点：与二面角有关的立体几何综合题；三垂线定理专题：计算题；证明题分析：（1）连接ad1，根据长方体的性质可知ae平面ad1，从而ad1是ed1在平面ad1内的射影，根据三垂线定理可得结论；（2）根据四边形add1a是正方形，则小蚂蚁从点a沿长方体的表面爬到点c1可能有两种途径，然后比较两个路程的大小从而求出ab的长；（3）假设存在连接de，过点d在平面abcd内作dhec，连接d1h，根据二面角平面角的定义可知d1hd为二面角d1ecd的平面角，在直角三角形ebc中求出be的长即可求出所求解答：解：（1）证明：连接ad1，由长方体的性质可知：ae平面ad1，ad1是ed1在平面ad1内的射影又ad=aa1=1，ad1a1dd1ea1d1（三垂线定理）（2）设ab=x，四边形add1a是正方形，小蚂蚁从点a沿长方体的表面爬到点c1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|ac1|=如图乙的最短路程为|ac1=x1x2+2x+2x2+2+2=x2+4x=2（9分）（3）假设存在连接de，设eb=y，过点d在平面abcd内作dhec，连接d1h，则d1hd为二面角d1ecd的平面角，d1hd=（11分）dh=dd1=1在rebc内，ec=，而ecdh=dcad即即存在点e，且了点b为时，二面角d1ecd的大小为点评：本题主要考查了三垂线定理的应用，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了推理能力和计算能力，属于中档题20（14分）（2013东莞一模）已知f（x）=x2+ax+a（a2，xr），g（x）=ex，（x）=f（x）g（x）（1）当a=1时，求（x）的单调区间；（2）求g（x）在点（0，1）处的切线与直线x=1及曲线g（x）所围成的封闭图形的面积；（3）是否存在实数a，使（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；定积分在求面积中的应用专题：计算题；综合题；转化思想分析：（1）当a=1时，（x）=（x2+x+1）ex先对函数y=（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据（x）0求得的区间是单调增区间，（x）0求得的区间是单调减区间，即可得到答案（2）先求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线方程最后利用定积分的几何意义求面积即可；（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使（x）的极大值为3，再利用导烽工具，求出（x）的极大值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在解答：解：（1）当a=1时，（x）=（x2+x+1）ex（x）=ex（x2+x）当（x）0时，0x1；当（x）0时，x1或x0（x）单调减区间，（，0），（1，+），单调增区间为：（0，1）（2）k=g（0）=ex|x0=1，切线方程为：y=x+1所围成的封闭图形的面积为s=01ex（x+1）dx=01（ex+x1）dx=（ex+（3）（x）=（2x+a）exex（x2+ax+a）=exx2+（2a）x令（x）=0，得x=0或x=2a：由表可知，（x）极大=（2a）=（4a）ea2设（a）=（4a）ea2，（a）=（3a）ea2，（a