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文档简介
柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式(一)教学目标:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义, 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点:理解几何意义.教学过程:一、复习准备:1. 提问: 二元均值不等式有哪几种形式?答案:及几种变式.2. 练习:已知a、b、c、d为实数,求证 证法:(比较法)=.=二、讲授新课:1. 柯西不等式: 提出定理1:若a、b、c、d为实数,则 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号? 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法? 证法二:(综合法) . (要点:展开配方) 证法三:(向量法)设向量,则, . ,且,则. . 证法四:(函数法)设,则0恒成立. 0,即. 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式? 变式: 或 或. 提出定理2:设是两个向量,则. 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) 讨论:上面时候等号成立?(是零向量,或者共线) 练习:已知a、b、c、d为实数,求证. 证法:(分析法)平方 应用柯西不等式 讨论:其几何意义?(构造三角形)2. 教学三角不等式: 出示定理3:设,则.分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式:若,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式? 三、应用举例:例1:已知a,b为实数,求证说明:在证明不等式时,联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算。所以,经典不等式是数学研究的有力工具。例题2:求函数的最大值。分析:利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。()解:函数的定义域为【1,5】,且y0 当且仅当时,等号成立,即时,函数取最大值课堂练习:1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)22.求函数的最大值.例3.设a,b是正实数,a+b=1,求证分析:注意到,有了就可以用柯西不等式了。四、巩固练习:1. 练习:试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、课堂小结:二维柯西不等式的代数形式、向量
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