高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 二次函数与幂函数课件.ppt

第二章函数 2 3二次函数与幂函数 高考数学 浙江专用 考点二次函数与幂函数1 2017浙江 5 4分 若函数f x x2 ax b在区间 0 1 上的最大值是m 最小值是m 则m m a 与a有关 且与b有关b 与a有关 但与b无关c 与a无关 且与b无关d 与a无关 但与b有关 五年高考 答案b本题考查二次函数在闭区间上的最值 二次函数的图象 考查数形结合思想和分类讨论思想 解法一 令g x x2 ax 则m m g x max g x min 故m m与b无关 又a 1时 g x max g x min 2 a 2时 g x max g x min 3 故m m与a有关 故选b 解法二 1 当 1 即a 2时 f x 在 0 1 上为减函数 m m f 0 f 1 a 1 2 当 1 即 2 a 1时 m f 0 m f 从而m m f 0 f b a2 3 当0 即 1 a 0时 m f 1 m f 从而m m f 1 f a2 a 1 4 当 0 即a 0时 f x 在 0 1 上为增函数 m m f 1 f 0 a 1 即有m m m m与a有关 与b无关 故选b 2 2015陕西 12 5分 对二次函数f x ax2 bx c a为非零 四位同学分别给出下列结论 其中有且只有一个结论是错误的 则错误的结论是 a 1是f x 的零点b 1是f x 的极值点c 3是f x 的极值d 点 2 8 在曲线y f x 上 答案a由已知得 f x 2ax b 则f x 只有一个极值点 若a b正确 则有解得b 2a c 3a 则f x ax2 2ax 3a 由于a为非零整数 所以f 1 4a 3 则c错 而f 2 3a 8 则d也错 与题意不符 故a b中有一个错误 c d都正确 若a c d正确 则有由 得代入 中并整理得9a2 4a 0 又a为非零整数 则9a2 4a为整数 故方程9a2 4a 0无整数解 故a错 若b c d正确 则有解得a 5 b 10 c 8 则f x 5x2 10 x 8 此时f 1 23 0 符合题意 故选a 评析本题考查二次函数的性质 函数的零点和函数极值 考查推理运算能力 3 2015四川 9 5分 如果函数f x m 2 x2 n 8 x 1 m 0 n 0 在区间上单调递减 那么mn的最大值为 a 16b 18c 25d 答案b当m 2时 f x n 8 x 1在区间上单调递减 则n 82时 f x 的图象开口向上 要使f x 在区间上单调递减 需 2 即2m n 12 而2m n 2 所以mn 18 当且仅当即时 取 此时满足m 2 故 mn max 18 故选b 评析本题考查了二次函数的图象与性质 基本不等式 考查学生分析问题与解决问题的能力 考查转化与化归的数学思想 4 2013重庆 3 5分 6 a 3 的最大值为 a 9b c 3d 答案b易知函数y 3 a a 6 的两个零点是3 6 对称轴为a y 3 a a 6 的最大值为y 3 则的最大值为 选b 5 2013辽宁 11 5分 已知函数f x x2 2 a 2 x a2 g x x2 2 a 2 x a2 8 设h1 x max f x g x h2 x min f x g x max p q 表示p q中的较大值 min p q 表示p q中的较小值 记h1 x 的最小值为a h2 x 的最大值为b 则a b a 16b 16c a2 2a 16d a2 2a 16 答案b令f x g x 即x2 2 a 2 x a2 x2 2 a 2 x a2 8 即x2 2ax a2 4 0 解得x a 2或x a 2 f x 与g x 的图象如图 由题意知h1 x 的最小值是f a 2 h2 x 的最大值为g a 2 故a b f a 2 g a 2 a 2 2 2 a 2 2 a2 a 2 2 2 a 2 a 2 a2 8 16 评析本题考查了二次函数图象 最大及最小值 考查了数形结合思想 利用图象是直观的 简捷的方法 6 2017北京文 11 5分 已知x 0 y 0 且x y 1 则x2 y2的取值范围是 答案 解析解法一 由题意知 y 1 x y 0 x 0 0 x 1 则x2 y2 x2 1 x 2 2x2 2x 1 2 当x 时 x2 y2取最小值 当x 0或x 1时 x2 y2取最大值1 x2 y2 解法二 由题意可知 点 x y 在线段ab上 如图 x2 y2表示点 x y 与原点的距离的平方 x2 y2的最小值为 0 0 到直线x y 1 0的距离的平方 即 又易知 x2 y2 max 1 x2 y2 7 2014大纲全国 16 5分 若函数f x cos2x asinx在区间是减函数 则a的取值范围是 答案 2 解析f x cos2x asinx 1 2sin2x asinx 令t sinx x 则t 原函数化为y 2t2 at 1 由题意及复合函数单调性的判定可知y 2t2 at 1在上是减函数 结合二次函数图象可知 所以a 2 评析本题的解题关键在于通过换元 将原函数转化为二次函数 再结合复合函数单调性即可求解 考查转化能力 数形结合思想 8 2013江苏 13 5分 在平面直角坐标系xoy中 设定点a a a p是函数y x 0 图象上一动点 若点p a之间的最短距离为2 则满足条件的实数a的所有值为 答案 1 解析设p 则 pa 2 x a 2 2a 2a2 2 令t x 2 x 0 当且仅当x 1时取 则 pa 2 t2 2at 2a2 2 1 当a 2时 pa 2 min 22 2a 2 2a2 2 2a2 4a 2 由题意知 2a2 4a 2 8 解得a 1或a 3 舍 2 当a 2时 pa 2 min a2 2a a 2a2 2 a2 2 由题意知 a2 2 8 解得a 或a 舍 综上知 a 1或 评析本题考查两点间距离公式 考查分类讨论思想及换元意识 考查运算求解能力 9 2017课标全国 文 20 12分 在直角坐标系xoy中 曲线y x2 mx 2与x轴交于a b两点 点c的坐标为 0 1 当m变化时 解答下列问题 1 能否出现ac bc的情况 说明理由 2 证明过a b c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 10 2015浙江文 20 15分 设函数f x x2 ax b a b r 1 当b 1时 求函数f x 在 1 1 上的最小值g a 的表达式 2 已知函数f x 在 1 1 上存在零点 0 b 2a 1 求b的取值范围 解析 1 当b 1时 f x 1 故对称轴为直线x 当a 2时 g a f 1 a 2 当 22时 g a f 1 a 2 综上 g a 2 设s t为方程f x 0的解 且 1 t 1 则由于0 b 2a 1 因此 s 1 t 1 当0 t 1时 st 由于 0和 9 4 所以 b 9 4 当 1 t 0时 st 由于 2 0和 3 0 所以 3 b 0 故b的取值范围是 3 9 4 1 2017浙江台州质量评估 7 已知函数f x ax3 ax2 x a r 下列选项中不可能是函数f x 的图象的是 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案d由题易知 f x ax2 ax 1 所以f 1 1 0 即曲线y f x 在 0 0 处的切线斜率大于0 所以d不可能是函数f x 的图象 故选d 2 2017浙江杭州二模 4月 9 设函数f x x2 ax b a b r 的两个零点为x1 x2 若 x1 x2 2 则 a a 1b b 1c a 2b 2d a 2b 2 答案b由根与系数的关系 知b x1x2 所以 b x1 x2 1 当且仅当 x1 x2 时 等号成立 故选b 3 2017浙江名校 衢州二中 交流卷五 9 f x ax2 bx c 当0 x 时 f x 2 4 则a的最大值为 a 8b 16c 32d 64 答案c考虑x分别取0 时的函数值 由2 f x 4得不等式组又 a 8 a 8 当f 0 f 4 f 2时 a取最大值32 此时联立三个等式可以求得a 32 b 16 c 4符合题意 故选c 4 2017浙江 七彩阳光 新高考研究联盟测试 8 已知f x 则y f x x的零点有 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案c由条件知f x 其中n 0 1 2 作出函数y f x 和y x的图象 知它们共有3个不同的交点 故y f x x的零点有3个 5 2017浙江衢州教学质量检测 1月 16 若f x x2 ax b a b r x 1 1 且 f x 的最大值为 则4a 3b 二 填空题 答案 解析由题可知 即而 1 a b 1 a b 2 1 b 所以2 1 b 1 解得 b 另一方面 b 等价于 b 所以b 所以解得a 0 综上 故4a 3b 6 2016浙江名校交流卷 9 已知幂函数f x 的图象过点 4 2 则f x 函数y f x 2 f x 2的零点是 答案 1 解析设f x x r 由题意得4 2 得 则f x 故y f x 2 f x 2 2 2 1 2 令y 0 得 1 0 即x 1 7 2015浙江杭州一模 10 设函数f x x2 k 1 x 2 k r 则f 若当x 0时 f x 0恒成立 则k的取值范围为 答案 2 1 解析f k 1 2 当x 0时 f x 0恒成立 等价于当x 0时 k 1 恒成立 x 0 x 2 当且仅当x 时 成立 故k 2 1 8 2016浙江宁波 十校 联考 18 若存在区间a m n m n 使得 y y f x x a a 则称函数f x 为 可等域函数 区间a为函数f x 的一个 可等域区间 已知函数f x x2 2ax b a b r 1 若b 0 a 1 g x f x 是 可等域函数 求函数g x 的 可等域区间 2 若区间 1 a 1 为f x 的 可等域区间 求a b的值 三 解答题 解析 1 由题意知 g x x2 2x 是 可等域函数 因为g x x2 2x x 1 2 1 0 所以n m 0 结合函数图象 由g x x得x 0 1 3 当1 m1 即a 0 当02时 解得 15分 1 2017浙江稽阳联谊学校联考 10 设二次函数f x x2 ax b 若对任意的实数a 都存在实数x 使得不等式 f x x成立 则实数b的取值范围是 a 2 b c d 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案d 对任意的实数a 都存在实数x 使得不等式 f x x成立 等价于 存在实数a 对任意实数x 使得不等式 f x x成立 即对任意x 1 x a 1 令g x x x 故只要g x x x 的最大值与最小值之差小于2即可 当b 4时 g g 2 2 此时无解 当 b 4时 得 b 当b 时 g 2 g 2 得 b 所以 b 综上可得 所求实数b的取值范围是b 或b 2 2017浙江 超级全能生 联考 3月 10 已知在 1 上递减的函数f x x2 2tx 1 且对任意的x1 x2 0 t 1 总有 f x1 f x2 2 则实数t的取值范围为 a b 1 c 2 3 d 1 2 答案b对任意的x1 x2 0 t 1 总有 f x1 f x2 2转化为f x max f x min 2 由f x 在 1 上是减函数 得 1 即t 1 从而有t 0 t 1 t 即x 0比x t 1更偏离对称轴x t 故f x 在 0 1 t 上的最大值为1 最小值为1 t2 故有1 1 t2 2 解得 t 又t 1 所以1 t 故选b 3 2015浙江名校 绍兴一中 交流卷五 8 已知函数y x2 6 x 2 当a 2 x a 2时 函数的最大值为m a 则m a 的最小值为 a 2b 7c 5d 3 答案dy 画出函数图象 如图所示 1 当a 2 0且03 即a 3时 且x a 2时函数取最大值 m a a2 2a 6 4 当a 2 0且 3 a 即 3 a 2时 且x a 2时函数取最大值 m a a2 10a 18 5 当a 2 0且 3 a 即a 3时 且x a 2时函数取最大值 m a a2 2a 6 综上 m a 可求得m a 的最小值为 3 4 2017浙江绍兴教学质量调测 3月 17 已知a b r且0 a b 1 函数f x x2 ax b在上至少存在一个零点 则a 2b的取值范围为 二 填空题 答案 0 1 解析设t a b t 0 1 则a t b 设x0 为方程x2 ax b 0的根 则b ax0 所以 b t b x0 因此b 故a 2b t 3b t 3 t 3 因为t 0 1 所以a 2b 再设u 1 x0 则 3 3 0 当 1时取等号 3 8 1 当 1时取等号 综上可知 a 2b 0 1 一题多解因为函数f x x2 ax b在上至少存在一个零点 所以或即或作出a b所确定得可行域 图略 可知 当a b 0时 a 2b有最小值0 当a 1 b 0时 a 2b有最大值1 所以a 2b的取值范围是 0 1 5 2017浙江名校 杭州二中 交流卷三 16 记m x y z 为x y z三个数中的最小数 若二次函数f x ax2 bx c a b c 0 有零点 则m的最大值为 答案 解析 a b c 0 中 最小 因此需要求的最大值 又 二次函数f x ax2 bx c a b c 0 有零点 b2 4ac 0 即b2 4ac c 故 设 t t 0 1 则y t t2 4t t 2 2 1 当t 1 即a b时 y取得最大值 6 2017浙江镇海中学模拟卷 五 17 已知f1 x x 1 且fn x f1 fn 1 x n 2 n n 若关于x的函数y x2 nfn x n 10 n n 在区间 2 上的最小值为 3 则n的值为 答案3或6 解析由题意知 fn 1 x fn x 1 所以fn x fn x fn 1 x fn 1 x fn 2 x f2 x f1 x f1 x n 1 f1 x x n 因此y x2 nx n2 n 10 n n 当 2 即n 4 n n 时 y的最小值在x 2处取得 即n2 n 14 3 所以n 3 当 2 即n 4 n n 时 y的最小值在x 处取得 即 3 所以n 6 综上 n的值是3或6 7 2016浙江六校联考 15 设a b c r 对任意满足 x 1的实数x 都有 ax2 bx c 1 则 a b c 的最大值为 答案3 解析设f x ax2 bx c 则所以所以 a b c f 0 f 0 f 0 max f 1 f 1 2 f 0 3 故 a b c 的最大值为3 8 2016浙江宁波一模 18 已知函数f x x2 1 1 对于任意实数x 1 2 4m2 f x 4f m f x 1 恒成立 求实数m的取值范围 2 若对任意实数x1 1 2 存在实数x2 1 2 使得f x1 2f x2 ax2 成立 求实数a的取值范围 三 解答题 解析 1 由题意得 对任意实数x 1 2 4m2 x2 1 4 m2 1 2x x2恒成立 整理得 4m2 1 x2 2x 4 0 3分 所以对任意的x 1 2 m2 恒成立 又 所以m2 故实数m的取值范围为 7分 2 由题意知 y f x1 1 x1 2 的值域为d1 0 3 令g x 2f x ax 即g x 2x2 ax 2 原问题等价于g x 0在 1 2 上有解 且g x 3或 3在 1 2 上有解 9分 若g x 0在 1 2 上有解 即a 2在x 1 2 上有解 从而0 a 3 若g x 3在 1 2 上有解 即a 2x 在x 1 2 上有解 从而 3 a 若g x 3在 1 2 上有解 即a 在x 1 2 上有解 从而3 a 综上 所求a的取值范围为0 a 或a 3 15分 1 2017浙江镇海中学模拟练习 二 17 已知函数f x 2ax2 bx 1 a 若对任意实数x 1 1 均有f x 0 则a b的最大值为 a 1b 0c 1d 2 一 选择题 c组2015 2017年高考模拟 创新题组 答案df x a 2x2 1 bx