2.2.2反证法

练习题一1下列命题错误的是( )A三角形中至少有一个内角不小于60B四面体的三组对棱都是异面直线C闭区间a，b上的单调函数f(x)至多有一个零点D设a、bZ，若ab是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析：选D.ab为奇数a、b中有一个为奇数，另一个为偶数故D错误2用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设( )A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析：选B.因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60”即“三个内角都大于60”，故选B.3实数a、b、c不全为0是指( )Aa、b、c均不为0Ba、b、c中至少有一个为0Ca、b、c至多有一个为0Da、b、c至少有一个不为0解析：选D.“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”4用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：_.解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形”答案：存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形一、选择题1应用反证法推出矛盾的推导过程中可作为条件使用的是( )结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论A B C D解析：选C.由反证法的定义可知2如果两个数的和为正数，则这两个数( )A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个是正数D两个都是负数解析：选C.两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数可综合为“至少有一个是正数”3设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数( )A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz6，显然矛盾，所以C正确4用反证法证明命题：“a、bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除 Da不能被5整除解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”5否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：选D.恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)；其二是至少有两个偶数6有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a、bR，|a|b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的，故选D.二、填空题7“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_解析：对其的否定有两部分：一是任何三角形；二是至少有两个答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角8在ABC中，若ABAC，P是ABC内一点，APBAPC，求证：BAPCAP，用反证法证明时应分：假设_和_两类解析：BAPCAP的对立面是BAPCAP或BAPCAP.答案：BAPCAP BAPCAP9设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于_解析：假设a、b、c都小于，则abc1与abc1矛盾故a、b、c中至少有一个不小于.答案：三、解答题10已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列证明：假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20.即，从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列11用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：是无理数证明：假设为有理数，则()()ab.由a0，b0，得0. .a、b为有理数，且为有理数，为有理数，即为有理数，()()为有理数，即2为有理数，从而也应为有理数，这与已知为无理数矛盾一定为无理数. 12已知a，b，c(0,1)，求证(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.证明：假设三个式子同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，又因为0a1，所以0a(1a)()2.同理0b(1b)，0c(1c)，所以(1a)a(1b)b(1c)c，与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立练习题二1欲证成立，只需证( )A()2()2B()2()2C()2()2D()2b0时，才有a2b2，只需证：，只需证：()20；q：2，则( )Ap是q的充分而不必要条件Bp是q的必要而不充分条件Cp是q的充要条件Dp是q的既不充分也不必要条件解析：选C.ab02 2.4函数yx的值域为_解析：|y|x|x|2，y2或y2. 答案：(，22，)一、选择题1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的语句有( )A2个 B3个 C4个 D5个解析：选C.正确2已知等差数列an中，a5a1116，a41，则a12的值是( )A15 B30 C31 D64解析：选A.已知等差数列an中，a5a1116，又a5a112a8，a88.又2a8a4a12，a1215.3某同学证明不等式1的过程如下：要证1，只需证1，即证7251121，即证，即证3511.因为3511成立，所以原不等式成立这位同学使用的证明方法是( )A综合法 B分析法 C综合法，分析法结合使用 D其他证法解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来4设0x1，则a，b1x，c中最大的一个是( )Aa Bb Cc D不能确定解析：选C.bc(1x)0，bc.又b1xa，abc.5若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.因为a0且b24ac0对任意xR恒成立反之，ax2bxc0对任意xR恒成立不能推出a0且b24ac0时也有ax2bxc0对任意xR恒成立，所以“a0且b24ac0”的充分不必要条件6下面四个不等式：(1)a2b2c2abbcac；(2)a(1a)；(3)2；(4)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有( )A1个 B2个 C3个 D4个解析：选C.a2b2c2abacbc，a(1a)()2；(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2；当0时，2不成立二、填空题7将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立答案：a2b22ab0(ab)20(ab)208设a，b，c，则a、b、c的大小关系为_解析：b，c，显然bc.而a22，c2()2828c，acb.答案：acb9已知、为实数，给出下列三个论断：0；|5；|2，|2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是_解析： 0，|2，|2.|22 22 88283225.|5.答案：三、解答题10若sin，sin，cos成等差数列，sin，sin，cos成等比数列，求证：2cos2cos2.证明：由sin，sin，cos成等差数列，得sincos2sin，则12sincos4sin2，即sin24sin21.由sin，sin，cos成等比数列，得sincossin2，即sin22sin2.由得4sin212sin2，所以2(1cos2)11cos2，所以2cos2cos2.11已知a0，求证： a2.证明：要证 a2，只需证 2a.因为a0，故只需证( 2)2(a)2，即证a244a222(a)2，从而只需证2(a)，只需证4(a2)2(a22)，即证a22，而此不等式显然成立故原不等式成立12设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称求证：f(x)为偶函数证明：法一：要证f(x)为偶函数，只需证f(x)的对称轴为x0，只需证0，只需证ab.因为函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，即x1与x关于y轴对称，所以1，所以ab，所以f(x)为偶函数法二：要证f(x)是偶函数，只需证f(x)f(x)因为f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，而f(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)f(x1)，f(x)f(x)f(x)1)f(x)，所以f(x)是偶函数练习题三一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A有一个解 B有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )Aa、b、c都是奇数Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数Da、b、c中至少有两个偶数答案B解析a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数；有两个奇数，一个偶数；有一个奇数，两个偶数；三个偶数因为要否定，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”故应选B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是( )A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60答案B解析“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”故应选B.4用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A假设a，b，c都是偶数B假设a、b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c至多有两个偶数答案B解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数5命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是( )Aab”的否定应为“ab或a0，x11且xn1(n1,2)，试证“数列xn或者对任意正整数n都满足xnxn1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A对任意的正整数n，都有xnxn1B存在正整数n，使xnxn1C存在正整数n，使xnxn1且xnxn1D存在正整数n，使(xnxn1)(xnxn1)0答案D解析命题的结论是“对任意正整数n，数列xn是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”故应选D.二、填空题11命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_答案没有一个是三角形或四边形或五边形解析“至少有一个”的否定是“没有一个”12用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是_答案 a，b都不能被5整除 解析 “至少有一个”的否定是“都不能”13用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_答案解析由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.14用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设_设全体质数为p1、p2、pn，令pp1p2pn1.显然，p不含因数p1、p2、pn.故p要么是质数，要么含有_的质因数这表明，除质数p1、p2、pn之外，还有质数，因此原假设不成立于是，质数有无限多个答案质数只有有限多个 除p1、p2、pn之外解析 由反证法的步骤可得三、解答题15已知：abc0，abbcca0，abc0.求证：a0，b0，c0.证明用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a0，b0，则由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)abc(ab)(ab)(ab)ab即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0，即abbcca0矛盾，所以假设不成立因此a0，b0，c0成立16已知a，b，c(0,1)求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.证明证法1：假设(1a)b、(1b)c、(1c)a都大于.a、b、c都是小于1的正数，1a、1b、1c都是正数.，同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b、(1b)c、(1c)a不能都大于.证法2：假设三个式子同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a3因为0a1，所以0a(1a)2.同理，0b(1b)，0c(1c).所以(1a)a(1b)b(1c)c3.因为与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立17已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论解析(1)证明：ab0，ab.由已知f(x)的单调性得f(a)f(b)又ab0baf(b)f(a)两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)逆命题：f(a)f(b)f(a)f(b)ab0.下面用反证法证之假设ab0，那么：f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故只有ab0.逆命题得证18(2010湖北理，20改编)已知数列bn的通项公式为bnn1.求证：数列bn中的任意三项不可能成等差数列解析假设数列bn存在三项br、bs、bt(rsbsbr，则只可能有2bsbrbt成立2s1r1t1.两边同乘3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts，由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列练习题四一、新课标基础训练（每小题5分，共20分）1用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是_毛2下列命题中，假命题是（ ） A平行四边形的对角线互相平分; B矩形的对角线相等 C等腰梯形的对角线相等; D菱形的对角线相等且互相平分3命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_，这个命题是_命题（填“真”或“假”）4求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等二、新课标能力训练（满分32分）5（学科内综合）（6分）如图，已知在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD，AB=10，BC=3（1）如果M为AB上一点（如图，且满足DMC=A，求AM的长（2）如果点M在AB边上移动（点M与A、B不重合），且满足DMN=A，MN交BC延长线于N（如图），设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（写x的取值范围时，不写推理过程）6（学科间综合）（10分）如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，A=60，质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动（1）求BD的长；（2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s经过12s后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定AMN是哪一类三角形，并说明理由（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为acm/s经过3s后，P、Q分别到达E、F两点，若BEF与题（2）中的AMN相似，试求a的值7（应用题）（6分）如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，依此类推，若正方形的边长为64cm，则正方形的边长为_cm8（创新情景题）（10分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连结CC，设AB=a，AC=c，请利用四边形BCCD的面积证明勾股定理：a2+b2=c2三、新课标拓展训练（满分32分）9（创新实践题）（10分）如图所示，B、C、E三点在一条直线上，ABC和DCE均为等边三角形，连结AE、DB（1）求证：AE=DB；（2）如果把DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？10（自主探究题）（12分）已知：如图所示，在ABC中，D是AB边上的一点，且BD=BC，BECD于E，交AC于点F，请再添加一个条件，使四边形DMCF是菱形，并加以证明11（开放题）（10分）如图所示，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形请你至少写出两种不同的添加方法（不另外添加辅助线，无需证明）四、新课标理念中考题（满分16分）12（16分）如图所示，梯形ABCD中，ADBC，F、H分别是AB、CD的中点，FH分别交BD、AC于G、M，BD=6，ED=2，BC=10（1）求GM的长；（2）若梯形ABCD是等腰梯形，求证：BFGCHM参考答案:1假设三角形的三个外角中，有两个锐角2D3到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真4证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等5解：（1）在等腰梯形ABCD中， ABCD， A=B 又A=DMC，1+A+2=2+DMC+3=180， 1=3 ADMBMC 设AM=x，则， x2-10x+9=0， x=1或x=9，经检验都是原分式方程的根 AM长为1或9 （2）同理可证ADMBMN，可得， y=-x2+x-3（1x9）6（1）菱形ABCD中，AB=AD，A=60， ABD是等边三角形BD=24cm （2）AMN是直角三角形，确定理由如下： 12s后，点P走过的路程为412=48（cm）， AB+BD=48（cm）， 点M与点D重合 点Q走过的路程为512=60（cm） DC+CB+AB=60（cm），点N是AB的中点 连结MN，AM=MB，AN=BN， MNAB AMN是直角三角形 （3）点P从M点返回3秒走过的路程为43=12（cm）