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单调有界原理证明数列极限的存在 空军电讯工程学院刘卫江 单调有界原理是证明数列极限存在的重要工具 其单调性的证明和有界性的估计通常采 用数学归纳法 所以在不等式的推导中应力求细致 否 则过度的放大或等小将导致证明失败 以下我们通过例子来说明 例 设 杯石 二 一 石丁又 一 证明丈 收敛 证明 显然 二 一 试拜万于 石 一 当 二 时 由于 一二一 召石不百 一 丫 二 一 一 针 石下又 十 一 偏 一 注意到 所以如果几 石 一 那么必有几 故 几 单调递增 现在估计 的 上界 为此 我们首先假设 几井 存在 待确定 后再证明 就是哎几 的一个上界 对 式两端取极限 我们有 在 由此解得 几丁气 甲十 乙 了 首先 了万 从 气二 叹 州 卜 乙 以下证明几 了 茸飞万 一 其次设 二 那么 二 一 古下又 石耳顶 故对所有的 有 因此 收敛 且极限为 要 了 不飞石 一 一 下 一 卜 矽 一 一 上述先假定极限存在 然后求出极限后估计上界的方法是一种非常有效的方法 者细 心体会 希望读 例 设 十 了万 个根号 证明 存在 证明 如果我们把 十 一 以 石下万石 个根号 看成是在 的最内层一个根号内加上了石干丁 所得 那么 的单调性是显而易见的 困难在于其上界 的估计 由于得不到 的递推表达式 所以我们不能采用例 中的方法 为此我们将 适当 放大后来估计它的上界 显然 对 一切 均有 故有 这样 由例 中 一 的情形可知 有上界 粤 万 因此 我们有 白 音 存 综上所述 二 单调有界 必有极限 用不等式放大或缩小的方法来估计数列的上下界 除了要求熟记一些常用 不等式外 还 要求解题者对一些与所给数列具有类似形式的有界数列有一定了解 否则往往会感到无处下 手 例 设 劣 几 对 对 一 证明 收敛 并求 几 证明 考察哎 的单调性 一几一 对十 对十 一 二 一 云 对 由此式看出 毛 几 是否单调 取决于 厦 是 否以了万为上界或下界 为此 我们考察 了万的符号 因 几十 一 了石 一 几 三 对 一 了万 一 了万 二 由归纳法易证 十 一 了万与 一 了万 同号 故有 如果 丫石 则丈几 有上界 丫万且单调递增 如果 了万 则标 为常数列 了石 如果 了万 则 有下界丫万 且单调递减 综上所述 二 收敛 求 是一件容易的事 只要对 式两端取极限即可求得 几 了万 当数列的通项表达式 中含有可变参数时 使问题易于分析并帮助解题者作出判断 注意区分参数的不同取值是十分有益的 它将 一类极限反问题的一般存在性条件与解法 西安交通大学理学院艾文宝 文 把曲线 二 的斜渐近线间题推广到抛物线渐近曲线的情形 本文给出了一 般 次多
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