山东省莱芜市莱钢高中高三数学上学期12月质检试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年山东省莱芜市莱钢高中高三（上）12月质检数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）a（1，1）b（1，1）c（1，1）d（1，1）2设全集u=r，集合a=x|2x1，b=x|1x5，则（ua）b等于（）a1，0）b（0，5c1，0d0，53已知命题p、q，“p为真”是“pq为假”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4若圆c经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆c的方程为（）a（x2）2+（y2）2=3bc（x2）2+（y2）2=4d5运行如图所示的程序框图，则输出的结果s为（）a1007b1008c2013d20146高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）a13b17c19d217函数y=a|x|与y=sinax（a0且a1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）abcd8三棱锥sabc的所有顶点都在球o的表面上，sa平面abc，abbc，又sa=ab=bc=1，则球o的表面积为（）abc3d129对任意实数a，b定义运算“”：，设f（x）=（x21）（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）a（2，1）b0，1c2，0）d2，1）10如图，已知直线l：y=k（x+1）（k0）与抛物线c：y2=4x相交于a、b两点，且a、b两点在抛物线c准线上的射影分别是m、n，若|am|=2|bn|，则k的值是（）abcd2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2=13若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是14已知ab0，ab=1，则的最小值为15已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=f（1x）当x（2，3）时，f（x）=log2（x1），给出以下4个结论：函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（kz）成中心对称；函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；当x（1，0）时，f（x）=log2（1x）；函数y=f（|x|）在（k，k+1）（ kz）上单调递增其中所有正确结论的序号为三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数f（x）=sinx+cosx（）求函数y=f（x）在x0，2上的单调递增区间；（）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知=（a，b），=（f（c），1）且，求b17如图，底面是等腰梯形的四棱锥eabcd中，ea平面abcd，abcd，ab=2cd，abc=（）设f为ea的中点，证明：df平面ebc；（）若ae=ab=2，求三棱锥bcde的体积18甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计）即为中奖乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？19已知数列an的前n项和sn=an+n21，数列bn满足3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（1）求an，bn；（2）设tn为数列bn的前n项和，求tn20已知函数f（x）=x3x（）判断的单调性；（）求函数y=f（x）的零点的个数；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围21已知双曲线c：=1的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy=0以双曲线c的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为e，过原点o的动直线与椭圆e交于a、b两点（）求椭圆e的方程；（）若点p为椭圆的左顶点，求|的取值范围；（）若点p满足|pa|=|pb|，求证为定值2014-2015学年山东省莱芜市莱钢高中高三（上）12月质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）a（1，1）b（1，1）c（1，1）d（1，1）考点： 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 把已知等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则答案可求解答： 解：由z（1+i）=2i，得在复平面内z对应的点的坐标是（1，1）故选：a点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2设全集u=r，集合a=x|2x1，b=x|1x5，则（ua）b等于（）a1，0）b（0，5c1，0d0，5考点： 交、并、补集的混合运算专题： 计算题分析： 求出a中不等式的解集确定出a，根据全集u=r求出a的补集，找出a补集与b的交集即可解答： 解：由a中的不等式变形得：2x1=20，得到x0，a=（0，+），全集u=r，ua=（，0，b=1，5，（ua）b=1，0故选：c点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3已知命题p、q，“p为真”是“pq为假”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据复合命题真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：若p为真，则p且假命题，则pq为假成立，当q为假命题时，满足pq为假，但p真假不确定，p为真不一定成立，“p为真”是“pq为假”的充分不必要条件故选：a点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题真假之间的关系是解决本题的关键，比较基础，4若圆c经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆c的方程为（）a（x2）2+（y2）2=3bc（x2）2+（y2）2=4d考点： 圆的标准方程专题： 直线与圆分析： 由已知圆c经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切可得圆心在直线x=2上，且半径长为2设圆的方程为（x2）2+（yb）2=4将点（1，0）代入方程即可解得从而得到圆c的方程解答： 解：圆c经过（1，0），（3，0）两点，圆心在直线x=2上可设圆心c（2，b）又圆c与y轴相切，半径r=2圆c的方程为（x2）2+（yb）2=4圆c经过点（1，0），（12）2+b2=4b2=3圆c的方程为故选：d点评： 本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质等知识，属于中档题5运行如图所示的程序框图，则输出的结果s为（）a1007b1008c2013d2014考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 程序运行的功能是求s=12+34+（1）k1k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得s解答： 解：由程序框图知：程序运行的功能是求s=12+34+（1）k1k，当n=2014时，不满足条件n2014，程序运行终止，此时k=2014，输出的s=12+34+（1）20122013=1+1006=1007故选：a点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键6高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）a13b17c19d21考点： 系统抽样方法专题： 概率与统计分析： 根据系统抽样的定义即可得到结论解答： 解：高三某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，样本组距为564=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19，故选：c点评： 本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义得到样本组距为14是解决本题的关键比较基础7函数y=a|x|与y=sinax（a0且a1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）abcd考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换，分当a1时和当0a1时两种情况，分析两个函数的图象，比照后，可得答案解答： 解：当a1时，函数y=a|x|与y=sinax（a0且a1）在同一直角坐标系下的图象为：当0a1时，函数y=a|x|与y=sinax（a0且a1）在同一直角坐标系下的图象为：比照后，发现d满足第一种情况，故选d点评： 本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握函数图象的对折变换及伸缩变换是解答的关键8三棱锥sabc的所有顶点都在球o的表面上，sa平面abc，abbc，又sa=ab=bc=1，则球o的表面积为（）abc3d12考点： 球的体积和表面积专题： 计算题；球分析： 根据题意，三棱锥sabc扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥sabc的外接球的表面积解答： 解：三棱锥sabc的所有顶点都在球o的表面上，sa平面abc，abbc，又sa=ab=bc=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，球的半径r=球的表面积为：4r2=4=3故选：c点评： 本题考查三棱锥sabc的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥sabc的外接球的球心与半径9对任意实数a，b定义运算“”：，设f（x）=（x21）（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）a（2，1）b0，1c2，0）d2，1）考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=k的图象有3个交点，结合图象求得结果解答： 解：当（x21）（x+4）1时，f（x）=x21，（2x3），当（x21）（x+4）1时，f（x）=x+4，（x3或x2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：2k1，函数y=f（x）与y=k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：d点评： 本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题10如图，已知直线l：y=k（x+1）（k0）与抛物线c：y2=4x相交于a、b两点，且a、b两点在抛物线c准线上的射影分别是m、n，若|am|=2|bn|，则k的值是（）abcd2考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 空间向量及应用分析： 直线y=k（x+1）（k0）恒过定点p（1，0），由此推导出|ob|=|af|，由此能求出点b的坐标，从而能求出k的值解答： 解：设抛物线c：y2=4x的准线为l：x=1直线y=k（x+1）（k0）恒过定点p（1，0）如图过a、b分别作aml于m，bnl于n，由|fa|=2|fb|，则|am|=2|bn|，点b为ap的中点、连接ob，则|ob|=|af|，|ob|=|bf|，点b的横坐标为，点b的坐标为b（，），把b（，）代入直线l：y=k（x+1）（k0），解得k=故选：c点评： 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2=考点： 任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦专题： 三角函数的求值分析： 根据任意角的三角函数的定义求得cos=的值，再利用二倍角公式cos2=2cos21，计算求得结果解答： 解：由题意可得，x=3、y=4、r=5，cos=，cos2=2cos21=，故答案为：点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于中档题13若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是11考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y得y=，平移直线y=，当直线y=经过点a时，对应的直线的截距最大，此时z也最大，由，解得，即a（2，3），此时z=2+33=11，故答案为：11点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键14已知ab0，ab=1，则的最小值为考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 本题是基本不等式问题，可以利用ab0得到ab0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（ab）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题解答： 解：ab0，ab=1ab0 =当且仅当ab=时取等号故答案为点评： 本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=f（1x）当x（2，3）时，f（x）=log2（x1），给出以下4个结论：函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（kz）成中心对称；函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；当x（1，0）时，f（x）=log2（1x）；函数y=f（|x|）在（k，k+1）（ kz）上单调递增其中所有正确结论的序号为考点： 抽象函数及其应用专题： 函数的性质及应用分析： 根据奇函数的性质和f（1+x）=f（1x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在r上的图象，由图象进行逐一判断解答： 解：令x取x+1代入f（1+x）=f（1x）得，f（x+2）=f（x）函数y=f（x）为奇函数，f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，设0x1，则2x+23，当x（2，3）时，f（x）=log2（x1），f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设1x0，则0x1，由f（x）=f（x）得，f（x）=log2（x+1），根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（kz）成中心对称；且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；故正确，而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（ kz）上不是单调递增的，故不正确，故答案为：点评： 本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数函数的图象，考查了数形结合思想和转化能力，难度较大三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数f（x）=sinx+cosx（）求函数y=f（x）在x0，2上的单调递增区间；（）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知=（a，b），=（f（c），1）且，求b考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算专题： 三角函数的图像与性质分析： （）利用辅助角公式求函数y=f（x）的表达式，即可求出函数在x0，2上的单调递增区间；（）根据向量平行的坐标公式，以及正弦定理建立方程关系即可求b解答： 解：（）f（x）=sinx+cosx=sin（x+），由，得，当k=0时，k=1时，x0，2，函数y=f（x）在x0，2上的单调递增区间为；（）f（c）=sinc+cosc，且，af（c）b=0，即a=b（sinc+cosc），由正弦定理得sina=sinb（sinc+cosc），即sin（b+c）=sinbcosc+cosbsinc=sinbsinc+sinbcosc，即cosbsinc=sinbsinc，sinc0，cosb=sinb，即tanb=1，b=点评： 本题主要考查三角函数的化简以及正弦定理的应用，综合考查学生的运算能力17如图，底面是等腰梯形的四棱锥eabcd中，ea平面abcd，abcd，ab=2cd，abc=（）设f为ea的中点，证明：df平面ebc；（）若ae=ab=2，求三棱锥bcde的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： （）取eb的中点g，连接fg，cg，利用f为ea的中点，证明四边形cdfg为平行四边形，即可证明：df平面ebc；（）等腰梯形abcd中，作chab于h，求出点b到cd的距离，即可求三棱锥bcde的体积解答： （）证明：取eb的中点g，连接fg，cg，f为ea的中点，fgab，fg=ab，abcd，ab=2cd，fgcd，fg=cd，四边形cdfg为平行四边形，dfcg，df平面ebc，cg平面ebc，df平面ebc；（）解：等腰梯形abcd中，作chab于h，则bh=，在rtbhc中，abc=60，则ch=tan60=，即点c到ab的距离d=，则点b到cd的距离为，ea平面acd，三棱锥bcde的体积为vebdc=点评： 本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等18甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计）即为中奖乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？考点： 几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题： 概率与统计分析： 分别计算两种方案中奖的概率先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到解答： 解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积r2，阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：；如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，则在乙商场中奖的概率为：p2=，又p1p2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大点评： 本题考查等可能事件的概率计算以及几何概率的求法，关键是正确列举事件的全部情况此题用到的知识点还有：概率=相应的面积与总面积之比19已知数列an的前n项和sn=an+n21，数列bn满足3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（1）求an，bn；（2）设tn为数列bn的前n项和，求tn考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （1）n2时，两式相减即可得出代入3nbn+1=（n+1）an+1nan，即可得出bn（2）利用“错位相减法”即可得出解答： 解：（1）n2时，两式相减得an=anan1+2n1，an1=2n1，an=2n+1，3nbn+1=（n+1）（2n+3）n（2n+1）=4n+3，当n2时，又b1=3适合上式，（2）由（1）知， 得，=3+=5，点评： 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20已知函数f（x）=x3x（）判断的单调性；（）求函数y=f（x）的零点的个数；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： （）化简，并求导数，注意定义域：（0，+），求出单调区间；（）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+）上有且只有两个零点；（）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x2（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h（）0解出a即可解答： 解：（）设（x）=x21（x0），则（x）=2x+0，（x）在（0，+）上单调递增；（）（1）=10，（2）=30，且（x）在（0，+）上单调递增，（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3x=x