用极限定义证明极限的几种方法.pdf

第 2 2 卷第 2 期 Vo l 2 2 No 2 湖北农学院学报 J o u r n a l o f H u b e i Ag r i c u l t u r a l Co l l e g e 2 0 0 2年 4月 ADr 20 0 2 文章编 号 1 0 0 4 3 8 8 8 2 0 0 2 0 2 0 1 7 0 0 3 用 极限 定 义 证明 极限 的 几种 方 法 郏文杰 湖北 民族 学院预科部 瑚北 恩施 4 4 5 0 0 0 摘 要 在微积分 中 极限是最重要的概念之一 而且微分 积分 级数等概念都是由极限来 定义的 因此 掌握好用极限定义证明部分极 限问题的方法大有必要 从 极限定义证 明极限的 方法的特点加 以分析 可归纳总结出放大法 乘方法 取点法 夹逼法和反证法等 5种方法 关 键 词 极 限 定 义 证明方 法 中 图分类号 01 7 2 文献标 识码 A 1 极 限的定义 定义 1 设 f 是一个 数列 A 是一个确定 的数 若对任 给 的正数 e 总存在某一 个 自然数 N 使得当 n N时 都有I A I f 的一切 X对应的函数值 恒有不等式 I 一Al O 总存在 0 对 于遥台不等 式 0 I 一如 的一切 所对 应的函数值恒 有不等式 I f x 一AI E 成立 则常数 A就叫做 函数 一 当 时的极限 记作 l i mf x 一 A 2 用极限定义证明极限问题的方法 2 l 放 大 法 放 大 法 是 将 定 义 中 的 绝 对 值 不 等 式 I f 一Af e 或 I 一AI E 适当放大 转化为 I f 一AI m n E 或l f x 一AI d 6 1 n 证 令 a 一l a 则 a 0 由伯努利不等式推 得 1 n l 一l 一1 或 口 一l O 总 取 N E 1 3 则当 n E N时 就有 a 一l e 即 I 一l I 1 2 2 乘方 法 乘方法主要是针对带根号的 函数极 限证明问 题 并且其中变量 一般是趋近于 0 对 于此类极 限问题首先必须将 函数中根号通过乘方 去掉 然 后再按极限定义证明的方法讨论该极限问题 例 2 证明l im o 0 证 明 对 V a o 要使 I 拓一 0 l 扛l e 成 立 只 需 I XI I o I e 收稿 日期 2 0 0 1 1 2 1 7 作者简 介 郑文杰 1 9 7 q 一 男 瑚北成 宁市人 湖 北民族学院预科部讲师 维普资讯 第 2期 郑文杰 用极限定义证 明极 限的几种方法 l 7 l 取 e 当0 I z 一0 I e 时 则 1 0 E一0 l e 成立 1 i m x 一0 一 0 2 3取点 法 取点法一般先在 变量 z的变化范 围内先取 定一个或几个不 同的值 再在取定 的值 的范 围内 讨论该极 限问题 然后将所得结果 和原先取定 的 z的变化范 围相 比较 最后取 z的最大值或最小 值而得到所要证明的结果 例 3 求证 l i mz 4 证 因为 z 一一2 所以不妨设 I z 一 2 l I z 2 I 1 从而有I z 一2 I 5 于 是 l 一4 I I r 一2 I z 2 I 5 I z 2I 0 要 使 j 一4 1 e 只 要 I x 2 I 又I x 2 I 1 即 只 要 取 m i n l J 当o l z 2 l 8时 l 一4 l e成立 故 l i ra 一 4 一 2 注 在此题中 先取定 l z 2 I 1 其实已取 定了 z的某一个变化 范围 在这个 范围内先讨论 该极限的证 明问题 然 后将所得结果和原先取定 的z变化范围 即I z 2 f 1 相比较 取最小值 则该 极 限问题 得证 e 4 夹 逼法 夹逼法通常是将要证明的极 限问题构造成夹 逼不等式的形式 然后利用 已证 明的极限和夹逼 定理来得到所要证明的结果 定理 夹逼定理 若在 o I z z I 1时 1 记 n 一 1 h 0 则有 n 1 一1 n 兰 三 丛兰 0 k 于 是 有 l n 1 k l 下 证 1 十 1 V E 0 要使 l 恬 一 l l 1 取 N 1 1 当 N 时 就 有 I 一 e 成 立 高 再由夹逼定理 可得 l i m 一1 2 5反证法 反正法主要是为了解决数列不收敛 即发 散的问题 但它的根本方法也是利用极限定义 掌 握好此类方法 不仅对初学者学好极限大有益处 而且从另一个侧面也加深 了我们对极限定义的认 识 和理 解 例 5 数列不能收敛于两个不同的极限 一 证 反证 法 假设 同时 有 z 一 及 z 一 6 且 a N 的一切 z 不等式 z 一n I N2的一切 不等式 I x 6 f N 时 1 式 维普资讯 湖北农学院学报 Z 0 0 2年 及 2 式向 对廊巫 但由 1 式有 这 个 矛盾 证 明了本定 理 的断 言 a 以上 几种 方法 在 用定 义证 明极 限 的题 型 中 常见 但是 涉人到具体问题存在着不同技巧和方 法 有时 一个极 限证 明问题往往是几种方法揉 和在一起的 这需要初学者的细致观察和总结 相 信大家 只要在实践中摸索 初学者一定能学好它 并能熟 练运 用 掌 握 参 考文献 1 3 华 东师 范太学教 学 乐 教 学分析 第二版 M 北 京 高等教 育 出版社 1 9 9 1 3 3 3 4 6 4 2 3 同济 太学教 学教 研 宣 高等教 学 第四版 M 北 京 高等教 育 出版社t 1 9 9 6 3 9 M e t h o d s o f Li m i t P r o v i n g b y Us i n g t h e De f i n i t i o n o f Li mi t Z HE N We n j i e Pr e p 8 r a t o De p a r t me n t Hu b e i I n s t i t u t e f o r Na t i o n a l i t i e s En s hi Hu b e i 4 4 5 0 0 0 Ch i n a Ab s t r a c t Li mi t i s o n e o f t h e mo s t i mp o r t a n t c o n c e p t s i n c a l c u l u s Co n c e p t s s u c h a s d i f f e r e n ti a l c a l c u l u s i n t e g r a l c a l c u l u s a n d p r o g r e s s i o n a r e a l l d e f i n e d b y l i mi t S o i t s r a t h e r n e c e s s a r y t o ma s t e r a f e w me t h o d s o f p r o v i n g s o me l i mi t p r o b l e ms By a n a l y z i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f l i mi t p r o v i n g b y u s i n g t h e d e f i n i t i 0 n o f n m t f i v e me t h o d s t o p r o v e l i mi t a mp l i f y i n g mu l t i p