高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用.pdf

柯西不等式的证明及其应用 柯西不等式的证明及其应用 摘要 柯西不等式是一个非常重要的不等式 本文用六种不同的方法 证明了柯西不等式 并给出了一些柯西不等式在证明不等式 求函数 最值 解方程 解三角与几何问题等方面的应用 最后用其证明了点 到直线的距离公式 更好的解释了柯西不等式 关键词 柯西不等式 证明 应用 SummarSummary Cauchy s inequality is a very important inequality this article use six different methods to prove the Cauchy inequality and gives some Cauchy inequality in inequality solving the most value solving equations trigonometry and geometry problems in the areas of application the last used it proved that point to the straight line distance formula better explains the Cauchy inequality Keywords Keywords Cauchy inequality proof application 不等式是数学的重要组成部分 它遍及数学的每一个分支 本文主要 介绍著名不等式 柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用 柯西不等式是一个非常重要的不等式 本文用几种不同的方 法证明了柯西不等式 并给出了一些柯西不等式在证明不等式 求函 数最值 解方程 解三角与几何问题等方面的应用 用心 爱心 专心 1 一 相关定理 柯西不等式是指下面的定理 定理 设则 1 2 ii a bR in 22 2 111 nnn iiii iii abab 当数组a1 a2 an b1 b2 bn不全为 0 时 等号成立当且 仅当 n 1 ii bai 柯西不等式有两个很好的变式 变式 1 设 0 1 2 i aR biin 2 2 1 n i i i ii a a bb 等号成立当且仅当 1 ii bain 变式 2 设ai bi同号且不为 0 i 1 2 n 则 2 1 n i i i ii a a ba i b 2 i j 二 柯西不等式的证明 常用的证明柯西不等式的方法有 1 配方法 作差 因为 22 111 nnn iji iji abab 22 1111 nnnn ijiij ijij ababa b 用心 爱心 专心 2 22 1111 nnnn ijiijj ijij a baba b 2222 111111 1 2 2 nnnnnn ijjiijji ijijij a ba bab a b 2222 11 1 2 2 nn ijijjiji ij a bab a ba b 2 11 1 2 nn ijji ij aba b 0 2 0 2 i 2 所以 即 22 111 nnn iji iji abab i 22 111 nnn iji iji abab 即 222222 1 1221212 nnnn aba ba baaabbb 当且仅当 0 1 2 ijji aba bi jn 即 1 2 1 2 0 j i j ij a a in jn b bb 时等号成立 2 利用判别式证明 构造二次函数法 若 则此时不等式显然成立 若 构造二次函数 2 1 0 n i i a 12 0 n aaa 22 2 2 1 0 n i i a 2 1 n i i11 nn iii ii f xax abx b 1 n i a x 2 0 ii b 对于 x R 恒成立 所以此二次函数 f x的判别式 0 即得证 3 用数学归纳法证明 用心 爱心 专心 3 i 当时 有 不等式成立 1n 22 1 112 aba b 2 2 当 n 2 时 22222 1 12212221 122 2aba ba ba baba b 222222222222 121211221221 aabba ba ba ba b 因为 故有 2222 12211 122 2a ba baba b 2222 1 1221212 aba baabb 当且仅当 即 1 22 1 aba b 1 12 aa bb 2 时等号成立 ii 假设时不等式成立 即 nk 2222222 1 1221212 kkkk aba ba baaabbb 当且仅当 12 12 n n aaa bbb 时等号成立 那么当时 1nk 2 1 12211 kkkk aba ba bab 22 1 122111 12211 2 kkkkkkkk aba ba bababa ba bab2 22222222 1212111 12211 2 kkkkkkkk aaabbbababa ba bab 2222222222222222 12121111111 kkkkkkkk aaabbba bb aa bb aab 1kk 222222 121121 kk aaabbb 222222 1212 nn aaabbb 当且仅当 k 1111212111 kkkkkkk abbaa bb aa bb a 时等号成立 用心 爱心 专心 4 112 aa 即 121 kk kk aa bbbb 时等号成立 于是时不等式成立 ii 可然数 n 柯西不等式成立 向 1nk 由 i 得对于任意的自 4 用向量法证明 a 12 n a aa b 12 n b bb 设n维空间中有二个 其中 由向量的长度定义 有 nn a b bb 12 a a 12 为任意两组实数 a 22 12 aaa 2 n b 222 12n bbb 又由内积的定义 a b a b cos 其中 是a b 的夹角 且有a b 1 222 aba b nn a b 因 co 1 故a b a b s 于是 1 12 aba 2nn a bb 2 2 a 22222 112nn aabbb 即 当且仅当 2 ab 222222 1 1221212 nnnn a ba baaabbb 与b 时 即a cos 1 共线时等号成立 由a b共线可知 22 nn b abab 11 a R 即 12 aa 12 n n a bb b 0 1 2 i bin 用心 爱心 专心 5 由以上 命题得证 5 利用均值不等式 当 0 时不等式显然成立 当 0 柯西不等式可化为 222222 1212nn aaabbb 222222 1212nn aaabbb 1 2 1 122 222222 1112 nn n aba ba b aaabbb n 不等式可知 由均值 2 1 122 2222 22 1112 nn nn aba ba b aaabbb 2222 12nnn aaaa 2222 11 22222222 121212 2 nn n abab bbbaabbb 2222 11 22222222222 12121212 2 nn nnn abab aaabbbaaabbb 1 即 1 2 n 2 1 122 222222 1112 nn nn aba ba b aaabbb 当且仅当 12 12 bb 变形容易得到 n n a b 0 1 2 i bin aa 时等号成立 从而柯西不等式得证 而变式一 二可由柯西不等式稍加 三 柯西不等式的应用 用心 爱心 专心 6 1 证明不等式 在不等式的证明中 柯西不等式的作用是很突出的 有些不等式的证 明用常归方法很繁琐 而用柯西不等式却很简单 1119 abbccaad 0 由柯西不等式知 例 3 1 1 已知 a b c d 求证 证 因为 a d a b b c c d 111 ad abbcca a b b c c d 111 abbcca 2 1 1 1 9 1119 abbccaad 从而 常用证法 把上面 个不等式相加 得 nn 即 例 3 1 2 已知 2 1 n 22 12 222 12 1 n aaa xxx 求证 1 122 1 nn a xa xa b 证法一 22 111 1 2222 2222 2 2 2 nnnn axa x axa x axa x n 22222 1211 122 22 2 nn aaaxxa xa xa x 2 2 x 1 122 1 122 22 1 nn nn a xa xa x a xa xa x 用心 爱心 专心 7 证法二 利用柯西不等式来证明 分析求证的不等式特点 可构造如下两组数 由柯西不等式 A 有 1212 nn a aax xx 2 222222 1 1221212 1 nnnn a xa xa xaaaxxx a xa xa x 1 122nn 两相比较 可见用柯西不等式证明较为简捷 例 3 1 3 设 i xR i 1 2 n 且 1 1 1 i i x n i x 求证 j 11 2 n ii iij n xx x 5 证 注意到恒等式 1 2 ij ij n x x 2 2 ii xx 只需要证明 1 i i n x i 2 2 i xx ii 即 i 2 2 1 n i xx x 上式左边 2 1 1 i ii i x xx x 1 1 i ii i x xx x i 2 i 1 n i xx 得证 3 1 4 设 例实数 a b c 满足a 0 b c 求证 22 c 2 2 ab bc 证 因为 a c aab a 2 a 2 a 2 a 0 由均值不等式得 用心 爱心 专心 8 同理可得 2 b 2 b 2 c 2 c 故 2 ba 2 abc ccab 2 222 22 abc 2caab 由柯西不等式可知 bc 22a bcb ca c ab 2 222 222 abc bccaab 2 2 abc 从而 222 222 abc bccaab 2 2 222 abc a bcb cac ab 2 2 3 abc abbcac 6又 22 bccaab 22 2 abc abbcac 6abbcac 故 222 222 abc bccaab 2 即 222 abc bccaab 当且仅当 2 2abc 时等号成立 已知的正整数 求证 对于任意的 正整数 n 有不等式 例 3 1 5 n a为互不相等 12 a a 12 222 11 1 122nn 证明 由柯西不等式 n aaa 2 11 1 1 a 22 12 11 12 n n aa naaa 1 2n 12 222 12 111 12 n n aaa naaa 于是 12 222 12 11 1 11 2 1 111 122 n n aaa n nn aaa 用心 爱心 专心 9 又因为为互不相等的正整数 故其中最小的数不小于 最大的不小于n 这样就有 12 n a aa 次小的数不小于2 1 12 11 1 2 1 111 n n aaa 所以有 111 2 1 1 11 n 12 11 1 1 1 22 n nn aaa 因为 12 222 12 11 1 11 2 1 111 122 n n aa n nn aaa a 12 11 1 111 2 而 1 1 111 22 n n nn aaa 所以有 1 12 222 11 1 122 n aaa nn 例 3 1 6 设n 则证明 0 1 2 i ai 12 22 1 nn jin naaa 5 11 ij aa 证明 由柯西不等式 对于任意的n个实数 12 n x xx 有 2 222222 1212 111 nn xxxxx x 即 2 222 12 n 12n xxx xxx n 用心 爱心 专心 10 2222 1111 nnnn jiji ijij aaaan 1 于是 1 1 1 1 n i i na n 11 1 1 nn ji ij aa n 12 1 n naaa 例 3 1 7 设 则 12 1 0 1 n ni i x xxx 111 n i i i i xx xn 5 证 由柯西不等式变式 1 得 左边 2 1111 1 11 111 nnnn i ii iiii iii xn xx xxx 211 2 11i n x 2 i x 22 1 1 ii xx 2 1 1 n n n n n 1 n n 1 i x n 3 1 8 第 42 届 IMO 预选题 设 例 12 n x xx是任意实数 明 证 12 222222 11212 11 n n xxx 1xxxxxx n 有 证 由柯西不等式 对于任意实数 1 a 2 n aa 12 n aaa n 22 12 n aaa 2 令 k a 222 12 1 k k x xxx k 1 2 n 用心 爱心 专心 11 因此原不等式转换为证明 222 12 22222 11212 111 n n xxx 2 xxxxxx 1 当 k 2 时 有 2 222 12 1 k k x xxx 2 222222 12121 1 1 k kk x xxxxxx 22 1 2 12 1 k 1 xxx 222 12 1 1 k xxx k 1 时 2 1 2 1 1 x x 1 2 1 1 1x 因此 当 2 22 n k x 2 1 12 1 k k xxx 1 22 n x 2 12 1 n xxx 1 故原不等式得证 例 3 1 9 设 则 1 111 n 12 0 n x xx 1 1 n i i x i n ii i i x x xn 左边 5 证 由柯西不等式 得 111 i ii i 1 1 nn x x 2 1 i n x 1 1 n i i x 211 22 11 22 1 1 ii ii n xx xx 1 i x n 2 1 1 n n n n n 1 n n 用心 爱心 专心 12 例的正整数 试证 3 1 10 若n是不小于 2 411111 1 7234212nn 2 2 5 证明 11111111111 1 1 2 234212232242nnnn 11 1 22nn 所以求证式等价于 1n 4111 2 1222nnn 7 由柯西不等式有 2 111 12 2 122nnn nnnn 于是 2 11122 1 12212 2317 3 nn nnnnnnn n 4 又由柯西不等式有 222 22 111111 11 1 122 122 nnn nnn 2 0 现在我们作如下代 换 n aa 1 ni A a xi 1 1 原不等式等价于 2 11 22 1 22 1 nnnn bxbxbbxx 22 1 n bb 然而我们知道 1 为什 么 故其等价于 22 1 n xx nnb ababa 11 22 2 用心 爱心 专心 26 接下来 我们做另一个代换 ni B b y i i 1 则不等式等价于 1 或者 2 11 22 1 nnn yxyxyy nny xyx 1 11 因此我们只需证明1 11 nny xyx其中 这是 很容易的 我们应用均值不等式可以推导出 1 22 1 22 1 nn yyxx 1 2 11 2 2 222 1 2 1 1111 nn nnnn yxyx yxyxyxyx 现在我们应用柯西 施瓦茨不等式来证明内斯比特不等式 cba 我们有 2 3 ba c ac b cb a 内斯比特 对所有的正实数 证明 9 应用柯西 施瓦茨不等式我们有 2 3 111 baaccb baaccb 它可变形为 2 9 ba cba ac cba cb cba 或者 2 9 3 ba c ac b cb a 这里有一关于问题 12 简短的证明 伊 朗1998 证 明 对 所 有 的zyx 1若 zyx 111 2则 有 111 zyxzyx 方法 2 我们注意到 zyx 111 1 111 z z y y x x 我们应用柯西 施瓦茨不等式则有 111 111 zyx z z y y x x zyxzyx 问题 18 证明对所有实数有 0 cba abcccabbbcaaaaccccbbbbaa 222422442244224 222 解 我们可以得到如下等式和不等式链 用心 爱心 专心 27 cyclic bbaa 4224 cyclic ba b ba a 22 22 4 22 4 cyclic ba b ba a 222 1 22 4 22 4 柯西 施瓦茨不等式 cyclic ba a ba a 222 1 22 4 22 4 cyclic ca a ba a4 22 4 22 4 22 2 均值不等式 cyclic bca a 2 2 2 4 柯西 施瓦茨不等式 cyclic bcaa 24 2 使用证明柯西 施瓦茨不等式同样的想法 我们发现了一个自然推 广 定理 15 设 ij a nji 1 为正实数 我们有 n nnnnn n nn n n n n n aaaaaaaaaa 21121111111 证明 由于是齐次不等式 同定理 11 的证明一样 我们可令 1 1 n n in n i aa 1 nn i或者 1 n 则不等式变形为 1 1 ini aa 1 2112111 nnnnn aaaaaa 或者1 1 1 in n i i aa 故足以证明对所有的当有ni 1 1 1 n in n i aa1 1 1 in n i i aa 完成证明后 可以得到如下类似不等式 定理 16 均值不等式 设为正实数 则有 n aa 1 n n n aa n aa 1 1 1 用心 爱心 专心 28 证明 由于不等式是齐次的 我们可以重新调整使得 因此我们只需证明 n aa 1 1 1 n aa naaaa nn 1 11 可以通过对 的归纳来证 明 当 1时 显 然 成 立 当 2时 我 们 有 n nn 0 2 2121 22 221 aaaaaaa 1 a 现在我们假设对所有的正整 数时 不等式成立 同时令为满足 1 的正实数 我们可以假设 为什么 由归纳假设可知 2 n 11 n aa 11 n aa 21 1aa 21a 2 a 1 3 n a aa 1 1a 我 们有 因此 只需证明n 2 an 1 a3aa1 21a a 然而我们有 1 21 aa 0 1 a1 1 a1 2 a 2 a 下面的简单观察不是很麻烦 设及0 bamn N 令axx m 1