数学归纳法证明不等式.doc

数学归纳法证明不等式 例1. 用数学归纳法证明不等式. 证： 当时,上式左边右边,不等式成立. 设当时,不等式成立,即有. 那么,当时, = 例2已知x -1，且x0，nN*，n2求证：(1+x)n1+nx. 证明:(1)当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右,n=2时不等式成立（2）假设n=k(k2)时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x -1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1 右边=1+(k+1)x 因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立. 例3 证明: 如果为正整数)个正数的乘积, 那么它们的和.证明:当时,有，命题成立. 设当时，命题成立，即若个正数的乘积, 那么它们的和. 那么当时,已知个正数满足.若个正数都相等,则它们都是1.其和为,命题成立. 若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数 (否则与矛盾).不妨设. 例4 证明:证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立. (2)假设n=k( )时命题成立,即 则当n=k+1时, 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切都成立. 例5.当时,求证:证：（1） 6、已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的 值为( ) A.30B.26C.36D.6解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36. 答案：C7.观察下列式子： 则可归纳出_ _.解析：(nN*)(nN*) 8、已知, , 则的值分别为_ _，由此猜想 _. 、 9、用数学归纳法证明: 能被8整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数. 那么: 因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数, 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除. 10、用数学归纳法证明 证明： 1当n=1时，左边=1-=，右边=，所以等式成立。 2假设当n=k时，等式成立， 即。 那么，当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 综上所述，等式对任何自然数n都成立。11、.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中nN 证明：(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除 (2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2) 42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 当n=k+1时也成立. 由知，当nN*时，42n+1+3n+2能被13整除. 12、求证： 证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立 （2）假设当时命题成立，即 则当时， 所以则当时，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立13、已知， 用数学归纳法证明： 证明：（1）当n=2时，命题成立（2）假设当时命题成立，即 则当时， 所以则当时，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立14、.求证：用数学归纳法证明 证明：（1） 当n=1时， ，不等式