用“零件不等式”证明一类根式不等式.pdf

3 6 中学数学研究 2 0 1 4 年第1 期 美是高层次的 要按照数学美的基本内容来补美 例4将5 个相等的圆板按下图所示的样子放 置 要想一刀把它分成面积相等的两部分 切时不 能改变圆板的位置 问应怎样切才行 勰一图2 分析 设想在原图的左 或右 上方添上一同样 的圆板 即虚线部分 使其变成一个中心对称图形 如上图 那么经过左 或右 上方和右 或左 下 方两个圆板的圆心的直线就必一定通过其对称中 心 因此在这条直线两边图形的面积相等 这时把设 想中添加的那个圆板去掉 相当于每个部分都减去 了半个圆 剩下的两部分面积仍然相等 上例说明 表面上看不具有对称性的数学l J 题 若能巧用图形所蕴含的对称性 往往能突破常规思 路 使得解法灵巧 过程简洁 给人一种美的享受 为了充分显示用美学方法解决数学I 1 题的魅 力 使学生初步了解补美法 我在数学归纳法的教学 中 补充了下面一道例题 例4 用数学归纳法证明1 者 砉 南 砉Q 分析 在证明第二步时 两边奇加上南 得到l 歹1 F 1 万备 1 万备 2 百备 不能得到小于2 的期望结果 原因在于右边为 常数 而左边却随着n 的增大而增大 若加强为证 明 l 歹1 于1 石 订 孑1 2 一八n 则 可能会更 协调 这时第二步就有l 1 虿1 面备 1 百旨 2 f n 面b 而 丽铊 丽 若选择火n 使有2 一只n 南 2 一 八 l 1 则问题就获得证明 为此得到南 以n 一厂 n 1 从这里观察出八n 的其中一个表 达为 1 考虑到起始步 命题可加强为 若n 2 n 证明1 可1 歹1 五 订 1 2 一 一1 木 事实上 假设当n 孟 后 2 后 时 上述不 等式成立 即l 尹1 F 1 刁F 酽 万1 2 一 则当n 露 l 时 有l 尹1 歹1 詹Z j 一 击 吉 赤一 南 数学问题第9 6 9 题 证明 1 v0 3 a 2 1 0 压 l 得屈 3 口2 0 l 一压 1 3 口2 1 又l 一屈 1 一屈 2 于是 得零件不等式 l 一3 a 2 l 一 拈口 同理可得 1 3 b 2 1 一怕6 l 一3 C 2 l 一 一 o o o o o o 一 r 店c 将这三个不等式相加 得 T T l 一3 口2 4 1 3 6 2 2 正习 店 譬 手 一3 口2 孚 一3 口2 于是 有零件不 等式撕丙 氧 一3 口 同理可得 汀习 譬 T 5 3 b 2 汀习 譬 詈一3 c 2 将这三个不等式相加 得 1 v f f S T d r 以习 厢 华 5 3 口2 b 2 C 2 3 a 2 6 2 c 2 口 b c 2 1 1 3 a 2 佩 露 S 综上 1 2 可得3 一牺 l 一3 a 2 俩 网 禺 例3设正数n b c 满足n4 b4 c 1 求证 2 5 而 丽 丽 瓜 证明 1 0 a 1 口2 t 2 a 2 2 t a4 1 于是 得零件不等式仫n 1 弗一1 口 1 同理可得 丽 4 3 1 b 1 话可 万一1 c 1 将这三个不等式相加 得 石可 压 兀 压i 忑 2 6 2 丽 存 寺 号 4 口 鲁 孚 4 口 于是 有零 件不等式 丽 芋 竽 4 口 同理可得 4 一 石 1 1 巫4 2 1 1 3 0 圳 丽 鲁 詈 4 c 将这三个不等式相加 整理得仫口4 1 弘6 1 月石可 瓜 综上 1 2 可得 2 石 瓦了T 江再 江石 瓜 例4设正数n 6 c 满足a b c 1 求证 2 25 瓦a 2 式1 两b r 式1 啄 天I 4 3 3 3 3 c i 正l U i 1 0 口 1 口2 口 石万万 孑1 忑鬲 a 1 于是 得零件不等式 5 口2 l 口 1 同理可得v 5 6 2 I b 1 3 c 2 I c 1 将这三个不等式相加 得 石而 石石 了 石丁玎 4 2 3 a 2 1 了1 1 口 1 2 于是 得 零件不等式 死F 玎 譬 口 1 同理可得 I n 万方数据 3 8 中学数学研究2 0 1 4 年第1 期 而 譬 6 1 而 雩 c 1 将这三个不等式相加 得 死F 万 污F 万 怕c 2 1 2 压 综上 1 2 可得2 手 石 可 珏 T 石 了 0 q 1 k 为大于l 的自然数且口 b o 则册 主溉 0 二 代入出发 生长 出了一个朴实而不平凡的不等式 2L 口一 b 0 当且仅当b 2 a 时等号成立 t 并用此不等式 特别关注等号成立的条件 又快又 好地解决了一些看似 高不可攀一的国内外名题 精 妙之处实在令笔者折服 大开眼界 但 生长 出来 的结论 思维跨度稍大 对于基础一般的学生来说 有些够不着 特别利用等号成立的条件巧凑妙配 更 需要一番思考 我们的数学解题教学要让学生的思 维来得自然流淌些 提倡 立足教材 关注学生 追 求 通性通法 淡化技巧 基于此原由 笔者经过仔 细的思考和琢磨 发现用学生所熟知的柯西不等式 来求解原文所列举的数学问题有过之而无不及 人教A 版数学选修4 5 不等式选讲 教材中 给我们介绍了如下的柯西不等式 对于任意的口 b R i 1 2 1 都有不 H n 等式 a 6 2 a i b i 成立 等号成立 当且仅当6 i 0 或存在实数七 使得a k b i i 1 2 n 若令b y i 0 i l 2 1 口i 6 i 戈j i 1 2 儿 代入柯西不等式易得如下的结论 对任意气 R i 1 2 n 及儿 R i 1 2 1 有不等式鱼 x L 鱼 鱼生 兰二掣成立 等号成立当且仅当鱼 Y l Y 2 儿 y 1 垒 鼍 式结构对称 美观大方 用它可以另辟蹊径 简解原文中所列举的数学问题 请看 例1 已知