典例证明折射常规思维.doc

几何证明题的形式多种多样，千姿百态但无论其结论是何种形式，题中所给的条件与所证的结论都是有内在联系的抓住这种联系，联想相关的定义、性质和定理，其证明思路也是有一定规律可循的如：遇线段（角）的“和、差、倍、分”的证明，常截长补短(或加倍减半)；遇“线段等积式”的证明，常利用（构造）相似三角形；遇“中点”，常构造中线或中位线；等等这就是所谓的常规思维愿下面这道题的几种证法，能帮助同学们在证明复杂几何题时，通过常规思维，迅速找到解决问题的有效途径题目：梯形ABCD中，ADBC，M、N分别是AD、BC的中点，若B与C互余，求证：BCAD=2MN分析1：若从条件“梯形ABCD中，B与C互余”出发来考虑，可先构造直角三角形，注意到“中点”条件，再利用直角三角形的性质于是有：证法1：如图1，延长BA、CD交于E，连EN交AD于M 由B与C互余，知 BEC=90，BEC为直角三角形ADBC，N为BC中点 DM=AM，即M是AD的中点，又M是AD的中点，M与M重合，即E、M、N三点共线由直角三角形的性质知：EN=BC，EM=AD，ENEM=（BCAD） 故BCAD=2MN按此思路，还可过点M分别作MEAB，MFDC，交BC于E、F（如图2），仿上证之证明过程请读者自已完成分析2：若从结论的左端“BCAD”出发来考虑，可先考虑截长，构造BCAD的差所在的线段，再证这条线段与MN的关系于是有：证法2：如图3，在BC上截取BEAD，连DE，由梯形ABCD，知，四边形ABED是平行四边形（如图3），则DEC=B，BCADCEB与C互余，EDC=90取EC中点F，连DF，则有DF=EC=（BCBE）=（BCAD）；NF=EFEN=EC（BNBE）=（BCAD）（BCAD）=AD，又M是AD的中点，MD=NF 又MDNF 四边形MNFD是平行四边形MN=DF=（BCAD） 即BCAD=2MN分析3：若从结论的右端“2MN”出发来考虑，可构造三角形的中位线，找出与2MN相等的线段（不妨设2MNa），再证这条线段恰好等于BCAD的差所在的线段（不妨设BCADb），即证ab于是有：证法3：如图4，过点C作CGMN，交BM的延长线于G，连DGN是BC的中点，M是BG的中点，从而MN是BCG的中位线，即2MNCG；又过A作AHDC交BC于H，则四边形AHCD是平行四边形，从而AHBC，BHBCAD；B与C互余，BAH90，由M是AD的中点，又是BG的中点，知AMBDMG（SAS），DGAB，MDGMAB；由四边形AHCD是平行四边形，知，DCAH；CDG360（MDG+ADC）360（MAB+ADC）360（360BC）360（36090）90，CDGHAB（SAS），CGHBBCAD，即BCAD=2MN分析4若从结论的左右两端同时出发来考虑，需找出与“2MN”相等的线段（不妨设2MNm）及与“BCAD”相等的线段（不妨设BCADn），证mn即可于是有：证法4：如图5，过点D作DFMN并延长DF至G，使FGDF，即2MNDG；再过点C作CEAB交AD的延长线于E，连CG、AG（设AG交BC于点N），则四边形ABCE是平行四边形，从而BCADDE；M是AD中点，又MNDG，点N必是AG的中点（经过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边），MN是ADG的中位线，从而2MNDG，又2MNDG，N与N重合，从而N是AG的中点；N是BC的中点，CGNBAN（SAS），NCGB，CGBA，CG