高考数学一轮复习精品教学案9.7 空间向量的应用（学生版） 新人教版.doc

2013年高考数学一轮复习精品教学案9.7 空间向量的应用【考纲解读】1理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。（2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。dbac具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的距离。在直角三角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。3空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点ea，fb，则异面直线 a与b之间的距离是 ；（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知ab是平面的 一条斜线，为平面的法向量，则 a到平面的距离为；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量与，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线a的夹角的余弦，易知=或者。【例题精析】考点一 空间角例1.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）（a） （b） （c） （d） 【变式训练】1. (2012年高考浙江卷理科20) (本小题满分15分)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为的菱形，且bad120，且pa平面abcd，pa，m，n分别为pb，pd的中点()证明：mn平面abcd；() 过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值考点二 空间距离例2.（2011年高考全国卷文科8)已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于( )（a） （b） （c） （d）【变式训练】2.(2012年高考重庆卷理科19)如图，在直三棱柱 中，ab=4，ac=bc=3，d为ab的中点（）求点c到平面 的距离;（）若,求二面角 的平面角的余弦值。【易错专区】问题：综合应用例.(广东省六校2012年2月高三第三次联考理)（本小题满分14分）如图，四边形中（图1），是的中点，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【课时作业】1. (2012年高考全国卷文科8)已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）（a） （b） （c） （d）2.(2012年高考四川卷文科19) (本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。（）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。3. (2012年高考广东卷理科18)如图5所示，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，点 e在线段pc上，pc平面bde。证明：bd平面pac；若ph=1，ad=2，求二面角b-pc-a的正切值；4(2012年高考北京卷理科16)如图1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de=2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd,如图2.(i)求证：a1c平面bcde；(ii)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(iii)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由【考题回放】1. (2012年高考全国卷文科16)已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_.2.(2012年高考四川卷文科14)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是_。3. (2012年高考浙江卷文科20)如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥abcd-a1b1c1d1中，adbc，adab，ab=。ad=2，bc=4,aa1=2，e是dd1的中点，f是平面b1c1e与直线aa1的交点。（1）证明：（i）efa1d1；（ii）ba1平面b1c1ef；（2）求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值。4.(2012年高考重庆卷文科20)已知直三棱柱中，为的中点。（）求异面直线和的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值.5. (2012年高考天津卷文科17)如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，adpd，bc=1，pc=2，pd=cd=2.（i）求异面直线pa与bc所成角的正切值；（ii）证明平面pdc平面abcd；（iii）求直线pb与平面abcd所成角的正弦值。6.(2012年高考全国卷文科19)如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小.7. (2012年高考上海卷文科19) 如图，在三棱锥中，底面，是的中点，已知，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.8 (2012年高考湖北卷理科19)如图1，acb=45，bc=3，过动点a作adbc，垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab，沿ad将abd折起，使bdc=90（如图2所示），（1）当bd的长为多少时，三棱锥a-bcd的体积最大；（2）当三棱锥a-bcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得enbm，并求en与平面bmn所成角的大小9(2012年高考上海卷理科19)如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.10.(2012年高考山东卷理科18)在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab