高考数学40个考点总动员 考点27 立体几何中的向量方法（理）（教师版） 新课标.doc

2013年新课标数学40个考点总动员 考点27 立体几何中的向量方法（理）（学生版）【高考再现】热点一 求角问题1.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）（a） （b） （c） （d） 2.(2012年高考四川卷理科14)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_。3.(2012年高考全国卷理科16)三菱柱abc-a1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等， baa1=caa1=60则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为_.4.(2012年高考湖北卷理科19)（本小题满分12分）如图1，acb=45，bc=3，过动点a作adbc，垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab，沿ad将abd折起，使bdc=90（如图2所示），（1）当bd的长为多少时，三棱锥a-bcd的体积最大；（2）当三棱锥a-bcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得enbm，并求en与平面bmn所成角的大小 5.(2012年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.6.(2012年高考浙江卷理科20) (本小题满分15分)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为的菱形，且bad120，且pa平面abcd，pa，m，n分别为pb，pd的中点()证明：mn平面abcd；() 过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值7.(2012年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab=60，fc平面abcd，aebd，cb=cd=cf。（）求证：bd平面aed；（）求二面角f-bd-c的余弦值。8.(2012年高考辽宁卷理科18) (本小题满分12分) 如图，直三棱柱，点m，n分别为和的中点. ()证明：平面; ()若二面角为直二面角，求的值.9(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）在三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=ac=aa1=，bc=4，在a1在底面abc的投影是线段bc的中点o。（1）证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；（2）求平面与平面bb1c1c夹角的余弦值。10.(2012年高考新课标全国卷理科19)（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小。【方法总结】1利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同同时注意根据异面直线所成的角的范围(0，得出结论2利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)4利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角热点二 求距离问题11.(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为（ ）a2 b c d1【答案】d【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面bed的距离等于点c到平面bed的距离，过c做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,所以利用等积法得，选d. 12.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥abc，点p，a，b，c都在半径为的求面上，若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为_.13.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，.()证明：丄；（）求二面角的正弦值；（）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.【解析】（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系 则（lby lfx） （2），设平面的法向量 则 取 是平面的法向量 得：二面角的正弦值为（3）设；则， 即14.(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（）小问4分（）小问8分） 如图，在直三棱柱 中，ab=4，ac=bc=3，d为ab的中点（）求点c到平面 的距离;（）若,求二面角 的平面角的余弦值。热点三 折叠问题15.(2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值。【考点剖析】一明确要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 二命题方向利用向量法求空间角的大小是命题的热点着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力题型多为解答题，难度中档.三规律总结一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题 两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：abab；空间任意两个向量，共线的充要条件是存在，r使ab.若，不共线，则p，a，b三点共线的充要条件是且1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接” 四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习学生要特别注意共面向量的概念而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习三种成角(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0， 易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点【基础练习】1.(人教a版教材习题改编)下列命题：若a、b、c、d是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点o与不共线的三点a、b、c，若xyz(其中x、y、zr)，则p、a、b、c四点共面其中不正确命题的个数是()a1 b2 c3 d42(人教a版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为() a45 b135c45或135 d90解析cosm，n，即m，n45，其补角为135，两平面所成的二面角为45或135.答案c3在如图所示的正方体a1b1c1d1abcd中，e是c1d1的中点，则异面直线de与ac夹角的余弦值为()a bc. d.4.(经典习题)平行六面体abcda1b1c1d1中，向量、两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()a5 b6 c4 d85. 如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_【名校模拟】一基础扎实1.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a，其余四根均为a，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为_2.(北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)（本小题共13分） 如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，,，且，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【命题分析】第一问证明面面平行，先证明mb平面dnc,再证明ma平面dnc,mb和ma是平面amb内的相交线，得知面面平行。第二问用向量的方法求二面角，根据题意建立空间直角坐标系，求出法向量，从而求角的余弦值。3.(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)（本小题满分12分）如右图所示，四棱锥pabcd中，侧面pdc是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面abcd是adc=60的菱形，m为pb的中点（1）求pa与底面abcd所成角的大小；（2）求证：pa平面cdm；（3）求二面角dmcb的余弦值4.(2012洛阳示范高中联考高三理)（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，分别为的中点，（）求证：平面平面（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值二能力拔高 5.（湖北钟祥一中2012高三五月适应性考试理）在直三棱柱a1 b1 c1abc中，bac=，ab=ac=cc1=1.已知g、e分别为a1 b1和cc1的中点，d与f分别为线段ac和ab上的动点（不含端点），若gdef，则线段df的长度的取值范围是a、.b、c、d.、6.(河北省唐山市20112012学年度高三年级第二次模拟考试理)（本小题满分12分）如图，在四棱锥p-abcd中，pc底面abcd，abcd是直角梯形，abad，abcd，ab= 2ad =2cd =2e是pb的中点 （i）求证：平面eac平面pbc; （ii）若二面角p-a c-e的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值7.（北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 8.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理) (本小题满分12分)如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面.已知，.()证明：平面；()求异面直线与所成的角；()求与平面所成角的正弦值9. (山西省2012年高考考前适应性训练文)（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面abcd是边长为1的正方形，平面abcd，m，n分别是pb，ac的中点。（1） 求证：mn/平面pad；（2） 求点b到平面amn的距离10. (山西省2012年高考考前适应性训练理)（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面abcd是边长为1的正方形，平面abcd，m，n分别是线段pb，ac上的动点，且不与端点重合，（1）求证：平面pad；（2）当mn的长最小时，求二面角的余弦值【命题分析】本题考查线面平行和二面角问题，考查学生的空间想象能力. 线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点。线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.本题的第一问利用方法二进行证明；第二问利用首先得到mn的长的表达式，明确其最小值何时取得，然后利用空间向量法求解二面角.11. (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)（本小题满分12分）如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.求证：平面；求平面与平面所成角的正切值.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.【试题解析】解：证明：方法一.设，取中点，连结，则且.，且，是平行四边形，. 平面,平面, 平面，即平面. (6分)方法二.如图建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，则，而，令，则，.， 0，而平面，平面.(6分)设平面与平面所成二面角的平面角为，由条件知是锐角由知平面的法向量为.又平面与轴垂直，所以平面的法向量可取为所以，所以即为所求.三提升自我12.【2011学年浙江省第二次五校联考理】三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，则和所成角余弦值的取值范围是 14.(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理) (本小题满分12分）在三棱柱abc-a1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab=1，d为aa1中点，bd与ab1交于点0，c0丄侧面abb1a1(i )证明：bc丄ab1；(ii)若oc=oa,求二面角c1-bd-c的余弦值.15(河北唐山市2012届高三第三次模拟理)（本小题满分12分）如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abcd是直角梯形，abbc，abcd，ab=2bc=2cd=2。（1）求证：平面pbc平面pab；（2）若二面角bpcd的余弦值为，求四棱锥pabcd的体积。【原创预测】1. 如图，垂直平面，点在上，且（）求证：；（）若二面角的大小为，求的值(第20题)2.如图，侧