17.1 勾股定理第一课时.doc

课 题17.1 勾股定理（第1课时）授课教师姚雪琼教材版本义务教育教科书人教版2013年版所属章节第十七章一、整体设计思路 新课程标准指出：“教师是学生学习生活中的组织者和引导者.”为了更好地体现学生的主体性和教师的引导性，更好地突出重点突破难点，本节课我采用启发式教学法.“今天我们要学习直角三角形三边之间特殊的数量关系勾股定理”，开门见山引入新课.在勾股定理的探究环节，从特殊的等腰三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，通过问题串链、几何画板的动态演示和学生的动手操作思考证明，引导学生从特殊到一般层层深入，探究并证明勾股定理，体会割补法在求解图形面积问题的重要作用.最后，通过练习和小结，加深学生对勾股定理和割补法的理解.二、教材分析 本节课的教学内容为勾股定理的探究、证明及简单应用.勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，常用于求解线段长度或距离问题.证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，结合拼图此引导学生发现证明勾股定理的思路.割补法的实质是图形经过截、割、拼、补而面积不变，这种方法也是求解面积问题的常用方法.三、教学目标1. 经历用面积法探索勾股定理的全过程.能通过观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，联系面积与边长的关系，发现勾股定理，能通过割补法构造图形证明勾股定理；2. 能运用勾股定理进行简单的计算，重点是已知直角三角形的两边长求第三条边的长度；3. 了解有关勾股定理的文化历史背景，介绍我国关于勾股定理研究成就，培养学生的民族自豪感.四、学情分析 八年级的学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边长的正方形的面积，并将割补法自然地运用到后续的拼图证明勾股定理中.基于以上分析，将本节课的重难点确定为：勾股定理的探索与证明.五、教学过程1.新课引入 直角三角形是一种极常见而又特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30的角所对的直角边是斜边的一半.除此之外，直角三角形的三边之间也有特殊的数量关系.今天我们就一起来看看这一特殊性质是什么？ 设计意图：开门见山，引入新课.2.探究勾股定理（1）聆听故事图1 相传在2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用地砖铺成的地面（图1）反映了直角三角形三边的某种数量关系. 问题1：观察图形，说一说地面是由哪种基本几何图形构成的？ 问题2：分别以等腰直角三角形的三边为边长构造三正方形A，B，C，它们的面积之间有什么关系？ 问题3：将等腰直角三角形的三边分别记为a，b，c，上述关系式还能怎样表示？ 问题4：观察图形，结合所得等式你发现等腰三角形的三边之间有怎样的关系？等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 设计意图：从数学史入手，增强学生的探究兴趣.由特殊的等腰直角三角形切入，符合数学研究的由特殊到一般的思路.问题串链的设计，明确学生的思考方向，化解探究的难点.（2）网格探究 网格中的一般直角三角形（图2），以它的三边为边长的三个正方形A，B，C的面积是否也有类似的面积关系？（图2的方格纸中，每个小方格的面积均为1.）图4图3图2 问题1：正方形A，B的面积分别是多少？ 问题2：如何求正方形C的面积？ 师生活动：学生独立思考后小组讨论，教师巡堂，根据具体的讨论情况给予学生适当的提示：能否把正方形C补充成一个大的正方形（图3）？能否把正方形C分割成可求面积的规则图形（图4）？等等，引导学生通过割补法求出正方形C的面积.学生代表展示成果，教师运用几何画板动态演示割补法求正方形C的面积的过程，加深学生对割补法求面积的感性认知. 问题3：正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 问题4：类比刚才的探究，由正方形A，B，C的面积关系，我们发现其中的直角三角形三边之间有怎样特殊的数量关系关系？直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方. 回顾上述探究过程，请同学们自主探究下幅图形： 同样可以得到：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 设计意图：由等腰直角三角形弱化至网格中的直角三角，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下的直角三角形三边关系打下基础. 问题4：无网格背景的直角三角形三边之间还有没有这样特殊的数量关系呢？ 教师运用几何画板动态演示，学生观察归纳得到：无网格背景下的直角三角形三边仍有两直角边的平分和等于斜边的平方. 设计意图：由网格中的直角三角一般化至无网格背景下的直角三角形，使得对直角三角形三边数量关系的研究一步步一般化，几何画板的动态演示形象直观，使得后续的猜想更加自然.（3）合理猜想 通过前面的探究，你能得到关于直角三角形三边之间关系的猜想吗？ 猜想：如果直角三角形两直角边的长分别为，斜边长为，那么. 设计意图：由典型特例的观察分析得到猜想，使猜想水到渠成，这是研究数学问题的常用方法.（4）推理验证 动动手：对于上述的猜想，要说明它对任意直角三角形都成立，还需要进行严格的推理证明.请同学们小组合作，运用手中的四个全等三角形完成拼图法证明勾股定理.图6图5 问题1：请同学们运用手中的四个全等直角三角形拼出正方形. 问题2：记每个全等直角三角形的直角边分别为，斜边为，图中大正方的面积怎样表示？ 问题3：若运用割补法，将大正方形分割成几部分，这时它的面积又可以怎样表示？ 问题4：上述两个表达面积的式子之间有什么关系？化简整理得到怎样的结果？ 师生活动：学生展示拼图（图5和图6），通过割补法求大正方形的面积，进而证明勾股定理.图5是我国著名的“赵爽弦图”，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它展现了我国古人的聪明才智.这个图案也是2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 设计意图：通过拼图活动，调动学生的思维积极性，在思考与动手实践的过程中培养学生的形象思维，体会数形结合的思想，加深对勾股定理的理解. 追问：锐角三角形和钝角三角形的三边是否也满足上述关系？ 教师运用几何画板验证得到：锐角三角形和钝角三角形的三边不满足上述特殊关系. 设计意图：通过动态演示，强调勾股定理成立的前提条件.（5）定理归纳 勾股定理：如果直角三角形两直角边的长分别为，斜边长为，那么. 欣赏图片，介绍有关勾股定理的数学史与趣事： 设计意图：归纳定理，完成完整的数学探究活动，欣赏图片，加深学生对勾股定理的的认识.3.学以致用 练习1 求出图中字母所代表的正方形的面积.图7 练习2 如图7，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别为12,16，9，12，求最大正方形E的面积. 练习3 求出图中字母所代表的数值. 设计意图：学以致用，进一步体会一直角三角形三边为边长的正方形面积的关系，加深对勾股定理的理解，明确勾股定理的最主要最直接的的作用：已知直角三角形的任一两条边，求第三边.4.课堂小结 （1）勾股定理的内容是什么？它的作用是什么？ （2）在探究勾股定理的过程中，你印象最深刻的是什么？ 设计意图：回顾探究过程，感受数学的美，感悟数形结合的思想.5.布置作业 （1）完成同步学习第12,13页； （2）整理课本中所提到的勾股定理的证明方法； （3）通过上网、查找书籍等方式收集勾股定理的有关史料和其他证明方法.六、板书设计 17.1 勾股定理 拼图展示： 推理证明： 如果直角三角形两直角边的长分别为，斜边长为，那么.七、教学反思 本节课重在勾股定理的探究与证明.通过几何画板的动态演示、问题串链的精心设计以及学生的