1000_高中数学竞赛系列讲座——数列.doc

/teacher/special/onespecial4.asp?id=329高中数学竞赛系列讲座数列（等差数列与等比数列）数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列an的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，n)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 等差数列an的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：(2) 从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。 在等差数列an中，等差中项：，且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,n 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k或等差数列，等等。 二、 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 等比数列an的通项公式是：an=a1qn-1 前n项和公式是：在等比数列中，等比中项：，且任意两项am，an的关系为an=amqn-m如果等比数列的公比q满足0q1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： 从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n 若m，n，p，qN*，则有：apaq=aman，记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则Can是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。 三、 范例 例1设ap，aq，am，an是等比数列an中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan 证明：设等比数列an的首项为a1，公比为q，则ap=a1qp-1，aq=a1qq-1，am=a1qm-1，an=a1qn-1所以：apaq=a12qp+q-2，aman=a12qm+n-2，故：apaq=am+an说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+kan-k=a1an对于等差数列，同样有：在等差数列an中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a1+k+an-k=a1+an例2在等差数列an中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得5a8=120，a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C 例3已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有( ) A.a1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000年北京春季高考理工类第(13)题 解：显然，a1+a2+a3+a101 故a1+a101=0，从而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选C 例4设Sn为等差数列an的前n项之各，S9=18，an-4=30(n9)，Sn=336，则n为( ) A.16 B.21 C.9 D8 解：由于S9=9a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B 例5设等差数列an满足3a8=5a13，且a10，Sn为其前n项之和，则Sn(nN*)中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21解：3a8=5a133(a1+7d)=5(a1+12d)故令an0n20；当n20时an0S19=S20最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值 例6设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 1997年全国高中数学联赛第3题 解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有( )即2a+(n-1)don=2972 (*) 因为n是不小于3的自然数，97为素数，故数n的值必为2972的约数(因数)，它只能是97，297，972，2972四者之一。 若d0，则d1由(*)式知2972n(n-1)dn(n-1)故只可能有n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：若d=0，则(*)式化为：an=972，这时(*)也有两组解。故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：49，50，51，145，(共97项)1，3，5，193，(共97项)97，97，97，97，(共97项)1，1，1，1(共972=9409项)故选(C) 例7将正奇数集合1，3，5，由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，(第一组)(第二组)(第三组) 则1991位于第组中。 1991年全国高中数学联赛第3题 解：依题意，前n组中共有奇数 1+3+5+(2n-1)=n2个 而1991=2996-1，它是第996个正奇数。 312=9619961024=3221991应在第31+1=32组中。故填32例8一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为。 1989年全国高中联赛试题第4题 解：设该数为x，则其整数部分为x，小数部分为x-x，由已知得：x(x-x=x2其中x0，0x-x1，解得：由0x-x1知， x=1， 故应填例9等比数列an的首项a1=1536，公比，用n表示它的前n项之积，则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)13 1996年全国高中数学联赛试题 解：等比数列an的通项公式为，前n项和因为故12最大。 选(C)例10设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么=。1988年全国高中联赛试题 解：依题意，有y-x=4(a2-a1) ； 又y-x=3(b3-b2) 例11设x,y,Z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且成等差数列，则的值是 。1992年全国高中数学联赛试题解：因为3x,4y,5z成等比数列，所以有3x5z=(4y)2 即16y2=15xz 又成等差数列，所以有即将代入得：x0,y0,z064xz=15(x2+2xz+z2)15(x2+z2)=34xz 例12已知集合M=x,xy,lg(xy)及N=0,x,y并且M=N，那么的值等于。 解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy0，从而x0，且y0，故只有lg(xy)=0， xy=1，M=x,1,0；若y=1，则x=1，M=N=0，1，1与集合中元素互异性相连，故y1，从而x=1，x=1；由x=1 y=1(含)，由x=-1 y=-1，M=N=0,1,-1 此时，从而注：数列x，x2，x3，x2001；以及在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。 例13已知数列an满足3an+1+an=4(n1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式( )Sn-n-6的最小整数n是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：1994年全国高中数学联赛试题由3an+1+an=4(n1)3an+1-3=1-an 故数列an-1是以8为首项，以为公比的等比数列，所以 当n=7时满足要求，故选(C) 注：数列an既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，1和等比数列： 的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。 例14设数列an的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,)，数列bn满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,)求数列bn的前n项和。 1996年全国高中数学联赛第二试第一题 解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，a1=1 又Sn=2an-1 Sn-1=2an-1-1 -得：Sn-sn-1=2an-2an-1an=2an-2an-1故数列an是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1 由 以上诸式相加，得 注：本题综合应用了a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n2)以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。 例15n2个正数排成n行n列 a11，a12，a13，a14，a1na21，a22，a23，a24，a2na31，a32，a33，a34，a3na41，a42，a43，a44，a4nan1，an2，an3，an4，ann。 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知 1990年全国高中数学联赛第一试第四题 解：设第一行数列公差为d，纵行各数列公比为q，则原n行n列数表为： 故有： 得，代入、得 因为表中均为正数，故q0，从而，因此，对于任意1kn，有记S=a11+a22+a33+ann -得：即评注：本题中求和，实为等差数列an=n与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前n项的和，将式两边同乘以公比，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本P137复习参考题三B组题第6题为：求和：S=1+2x+3x2+nxn-1；2003年北京高考理工类第(16)题：已知数列an是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列an的通项公式；(II)令bn=anxn(xR)，求数列bn的前n项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。 练习 1给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，则数列bn ( ) (A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 1999年全国高中数学竞赛题 2等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( ) A130 B170 C210 D260 1996年全国高考题 3等差数列an中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于。 2002年北京高考理工数学第14题 4已知数列an是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12 (I)求数列an的通项公式；(II)(文)令bn=an3n，求数列bn的前n项和的公式；(理)令bn=anxn (xR)，求数列bn的前n项和的公式 2003年北京夏季高考数学第16题 5求和： (1)S=1+2x+3x2+nxn-1 数学教科书第一册(上)P137复习参考题三B组题第6题 (