高考数学预测试题（6）.doc

2013年高考预测系列试题【数学】高考预测试题（6）解答题1、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有-由+得-令 有代入得 （）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;（）若的三个内角满足,试判断的形状（提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及（）中的结论）2、李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线（如图），路线上有、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.（）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.3、图（1），矩形中，已知，, 分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图（2）（）求证：；（）求与平面所成角的正弦值.4、定义：已知函数与，若存在一条直线，使得对公共定义域内的任意实数均满足恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线与的“左同旁切线”已知（1）试探求与是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由（2）设是函数图象上任意两点，且存在实数，使得，证明：5、设曲线c1:(a为正常数)与c2:在轴上方有一个公共点p.(1)求实数的取值范围（用表示）；(2)为原点，若c1与轴的负半轴交于点a，当时，试求oap的面积的最大值（用表示）.答案：1、解法一：（）证明：因为，-，-1分- 得-2分令有，代入得5分（）由二倍角公式,可化为 ,8分 所以9分设的三个内角a,b,c所对的边分别为，由正弦定理可得11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形12分解法二：（）同解法一（）利用（）中的结论和二倍角公式,可化为 ，8分 因为a,b,c为的内角，所以，所以又因为，所以,所以从而9分又,所以，故11分所以为直角三角形12分2、解：（）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 1分则， 3分所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为. 4分（）依题意，的可能取值为0，1，2. 5分，. 8分随机变量的分布列为：012所以. 10分（）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以.因为，所以选择路线上班最好. 12分3、解：（1）由题设，m，n是矩形的边ad和bc的中点，所以ammn, bcmn, 折叠垂直关系不变，所以amd 是平面与平面的平面角，依题意，所以amd=60o，2分由am=dm，可知mad是正三角形，所以ad=，在矩形abcd中，ab=2,ad=,所以，bd=，由题可知bo=od=，由勾股定理可知三角形bod是直角三角形，所以bodo 5分解（2）设e，f是bd，cd的中点，则efcd，ofcd，所以，cd面oef，又bo=od，所以bd，面abcd，面，平面bod平面abcd过a作ahbd，由面面垂直的性质定理,可得ah平面bod，连结oh， 8分所以oh是ao在平面bod的投影，所以aoh为所求的角，即ao与平面bod所成角.11分ah是rtabd斜边上的高，所以ah=，bo=od=，所以sinaoh=（14分）方法二：空间向量：取md，nc中点p，q，如图建系，q（0，0，0），b（，0，0），d（0，2），o（0，1）所以（，1），（0，所以0，即bodo（5分）（2）设平面bod的法向量是，可得：+=0=0，令可得：所以又（，设ao与平面bod所成角为=（12分）解：（1）由题设，m，n是矩形的边ad和bc的中点，所以ammn, bcmn, 折叠垂直关系不变，所以amd 是平面与平面的平面角，依题意，所以amd=60o，2分由am=dm，可知mad是正三角形，所以ad=，在矩形abcd中，ab=2,ad=,所以，bd=，由题可知bo=od=，由勾股定理可知三角形bod是直角三角形，所以bodo 4分解（2）设e，f是bd，cd的中点，则efcd，ofcd，所以，cd面oef，又bo=od，所以bd，面abcd，面，平面bod平面abcd过a作ahbd，由面面垂直的性质定理,可得ah平面bod，连结oh， 6分所以oh是ao在平面bod的投影，所以aoh为所求的角，即ao与平面bod所成角.8分ah是rtabd斜边上的高，所以ah=，bo=od=，所以sinaoh=（14分）方法二：空间向量：取md，nc中点p，q，如图建系，q（0，0，0），b（，0，0），d（0，2），o（0，1）所以（，1），（0，所以0，即bodo（5分）（2）设平面bod的法向量是，可得：+=0=0，令可得：所以又（，设ao与平面bod所成角为=（12分）4、解析：（1）由题意知与有公共点，令其为，则，即，解得所以在公共点处的切线方程为下证就是左同旁切线方程，即证（2分）先构造函数，则，易知在处取得最大值，所以，即（4分）再构造函数，则，易知在处取得最小值，所以，即故对任意，恒有成立，即就是左同旁切线方程（6分）（2）因为，所以，所以解法一：（作差法，利用（1）的结论）因为，所以（12分）解法二：（反证法，利用（1）的结论）令，则，显然自相矛盾，故；同理可证故（12分）5、解：(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根只需讨论以下三种情况：10得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama；3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时