广东省云浮市罗定中学高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省云浮市罗定中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设a=x|y=，b=y|y=ln（1+x），则ab=（）a（1，）b（，1c（1，1d2已知复数z1=i和复数z2=cos60+isin60，则z1+z2为（）a1b1cid +i3已知数列1，a1，a2，4成等差数列，数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a2b2的值（）a3b3c6d64已知焦点在x轴上的双曲线c：=1的一个焦点f到其中一条渐近线的距离2，则n的值为（）a2bc4d无法确定5一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中abc是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）ab1cd26已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）a若ab，b，则ab若a，b，则abc若a，b，则abd若ab，b，则a7右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）abcd8给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）ai10bi10ci20di209若f（x）=sin（2x+），为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）a向左平移个长度单位b向左平移个长度单位c向右平移个长度单位d向右平移个长度单位10已知函数f（x）=xtsinx（0t1），若f（log2m）f（1），则实数m的取值范围是（）a（0，2）b（0，1）c（2，+）d（1，+）11已知直线l：2tx+（1t2）y4t4=0，若对于任意tr，直线l与一定圆相切，则该定圆的面积为（）ab2c3d412已知定义在r上的奇函数f（x），满足2016f（x）f（x）恒成立，且f（1）=e2016，则下列结论正确的是（）af（2016）0bf（2016）ecf（2）0df（2）e4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在的展开式中的系数等于14已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y3的最大值是15设抛物线y2=8x上有两点a，b，其焦点为f，满足=2，则|ab|=16数列an的通项公式为an=2ncos，nn*，其前n项和为sn，则s2016=三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边，且满足（1）证明：b+c=2a；（2）如图，点o是abc外一点，设aob=（0），oa=2ob=2，当b=c时，求平面四边形oacb面积的最大值18已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=n（nn*）（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=anan+2（nn*），tn=b1+b2+bn，求证：19为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如表数据：处罚金额x（元）05101520会闯红灯的人数y8050402010（）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？（）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验求这两种金额之和不低于20元的概率；若用x表示这两种金额之和，求x的分布列和数学期望20如图，ab是圆o的直径，c是圆o上异于a、b的一个动点，dc垂直于圆o所在的平面，dceb，dc=eb=1，ab=4（1）求证：de平面acd；（2）若ac=bc，求平面aed与平面abe所成的锐二面角的余弦值21已知函数f（x）=xeax+lnxe，（ar）（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）设g（x）=lnx+e，若函数h（x）=f（x）g（x）在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，圆周角bac的平分线与圆交于点d，过点d的切线与弦ac的延长线交于点 e，ad交bc于点f（）求证：bcde；（）若d，e，c，f四点共圆，且=，求bac选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23已知椭圆c： =1，直线l：（t为参数）（）写出椭圆c的参数方程及直线l的普通方程；（）设 a（1，0），若椭圆c上的点p满足到点a的距离与其到直线l的距离相等，求点p的坐标选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24设函数f（x）=|xa|（）当a=2，解不等式f（x）4|x1|；（）若f（x）1的解集为x|0x2， +=a（m0，n0）求证：m+2n42015-2016学年广东省云浮市罗定中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设a=x|y=，b=y|y=ln（1+x），则ab=（）a（1，）b（，1c（1，1d【考点】交集及其运算【专题】计算题；函数思想；定义法；集合【分析】求出a中x的范围确定出a，求出b中y的范围确定出b，找出两集合的交集即可【解答】解：由a中y=，得到1x0，即x1，a=（，1，由b中y=ln（1+x），得到y为任意实数，即yr，b=r，则ab=（，1，故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知复数z1=i和复数z2=cos60+isin60，则z1+z2为（）a1b1cid +i【考点】复数代数形式的加减运算【专题】数系的扩充和复数【分析】复数z2=cos60+isin60化为，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z2=cos60+isin60=，z1+z2=i+=1，故选：a【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题3已知数列1，a1，a2，4成等差数列，数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a2b2的值（）a3b3c6d6【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出【解答】解：数列1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则4=1+3d，解得d=1，a2=1+2d=3数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，设公比为q，则4=q4，解得q2=2，b2=q2=2则a2b2=32=6故选：d【点评】本题考查了等比数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4已知焦点在x轴上的双曲线c：=1的一个焦点f到其中一条渐近线的距离2，则n的值为（）a2bc4d无法确定【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到n=4【解答】解：设双曲线c：=1（m，n0）的焦点f（，0），一条渐近线方程为y=x，即有d=2，化简可得n=4，故选：c【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查焦点和渐近线方程的运用，以及点到直线的距离公式，属于基础题5一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中abc是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）ab1cd2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体为正六棱锥，根据正视图中abc是边长为2的正三角形，得底面六边形的边长为1，棱锥的高为，再由俯视图求得侧视图的宽，代入三角形的面积公式计算【解答】解：由三视图知几何体为正六棱锥，正视图中abc是边长为2的正三角形，底面六边形的边长为1，棱锥的高为2=，由俯视图知侧视图的宽为2=，侧视图的面积s=故选c【点评】本题考查了由三视图求侧视图的面积，解题的关键是由正视图求几何体的高与底边长6已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）a若ab，b，则ab若a，b，则abc若a，b，则abd若ab，b，则a【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】探究型；空间位置关系与距离【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可【解答】解：若ab、b，则a或a，故a错误；若a、b，则ab或a，b异面，故b错误；若a，b，则ab，满足线面垂直的性质定理，故正确若b，ab，则a或a，故d错误；故选：c【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养7右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）abcd【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图【专题】图表型【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=90设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x则乙的平均成绩=88.4+当x=8或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率p=1=故选c【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键8给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）ai10bi10ci20di20【考点】循环结构【专题】压轴题；图表型【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件【解答】解：根据框图，i1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i10”故选a【点评】本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制9若f（x）=sin（2x+），为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）a向左平移个长度单位b向左平移个长度单位c向右平移个长度单位d向右平移个长度单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），以及y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位，可得g（x）=sin2（x+）=sin2x的图象，故选c【点评】本题主要考查y=asin（x+）的图象变换规律，属于中档题10已知函数f（x）=xtsinx（0t1），若f（log2m）f（1），则实数m的取值范围是（）a（0，2）b（0，1）c（2，+）d（1，+）【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由已知可得函数f（x）=xtsinx（0t1）为增函数，且为奇函数，进而可由f（log2m）f（1）得log2m1，解得答案【解答】解：函数f（x）=xtsinx（0t1），函数f（x）=1tcosx0恒成立，故函数f（x）为增函数，又由f（x）=xtsin（x）=（xtsinx）=f（x），故函数f（x）为奇函数，若f（log2m）f（1）=f（1），则log2m1，解得：m（2，+），故选：c【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档11已知直线l：2tx+（1t2）y4t4=0，若对于任意tr，直线l与一定圆相切，则该定圆的面积为（）ab2c3d4【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】直接取t=0，1，1得到圆的三条切线方程，求出圆心坐标和半径，则答案可求【解答】解：已知直线l：2tx+（1t2）y4t4=0，若对于任意tr，直线l与一定圆相切，分别令t=0，t=1，t=1，可得直线的方程为y=4、x=4、x=0，由此可知圆的圆心坐标为（2，2），半径为2与直线l：2mx+（1m2）y4m4=0相切的定圆的方程为（x2）2+（y2）2=4，则该定圆的面积为4，故选：d【点评】本题考查了圆的方程的求法，训练了特值化思想方法，属于中档题12已知定义在r上的奇函数f（x），满足2016f（x）f（x）恒成立，且f（1）=e2016，则下列结论正确的是（）af（2016）0bf（2016）ecf（2）0df（2）e4032【考点】导数的运算【专题】综合题；函数思想；导数的综合应用【分析】由题意可知f（x）+2016f（x）0恒成立，构造函数g（x）=，求其导函数，可知其导函数恒大于0，由此可得函数g（x）=为实数集上的增函数，由g（2）g（1）可得f（2）e4032【解答】解：f（x）为实数集上的奇函数，且2016f（x）f（x）恒成立，f（x）+2016f（x）0恒成立，令g（x）=，则=，函数g（x）=为实数集上的增函数，又f（1）=e2016，g（2）g（1），即，f（2）e4032，故选：d【点评】本题考查导数的综合应用，训练了函数构造法，考查了导函数的符号与原函数单调性的关系，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在的展开式中的系数等于20【考点】二项式定理的应用【专题】计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1得到系数【解答】解：展开式的通项tr+1=（1）r22r5c5rx52r令52r=1得r=3故展开式中的系数等于2c53=20故答案为：20【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题14已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y3的最大值是3【考点】简单线性规划【专题】不等式【分析】利用z=2x+4y3表示与y=x+平行且与满足约束条件的实数x、y所构成的oab相交的直线，进而计算可得结论【解答】解：依题意，满足约束条件的实数x、y所构成的图象为oab，其a（2.5，2.5），b（5，0），令z=2x+4y3=0，则y=x+，于是z=2x+4y3表示与y=x+平行且与oab相交的直线，当其过原点时取最大值为3，故答案为：3【点评】本题考查简单线性规划，考查数列结合，注意解题方法的积累，属于中档题15设抛物线y2=8x上有两点a，b，其焦点为f，满足=2，则|ab|=9【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由于=2，可得直线经过焦点f（2，0）设a（x1，y1），b（x2，y2）（x1x2）设直线ab的方程为：y=k（x2）与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算、焦点弦长公式即可得出【解答】解： =2，直线经过焦点f（2，0），设a（x1，y1），b（x2，y2）（x1x2）设直线ab的方程为：y=k（x2）与抛物线方程联立，化为k2x2（4k2+8）x+4k2=0，则x1+x2=，x1x2=4=2，x12+2（x22）=0，x1+2x2=6，解得x1=4，x2=1，k2=8|ab|=x1+x2+p=5+4=9故答案为：9【点评】本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16数列an的通项公式为an=2ncos，nn*，其前n项和为sn，则s2016=（220161）【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】由an=2ncos，nn*，可得an=a2k=2ncosk=2n（1）k=2n；an=a2k1=2n=0（kn*）可得s2016=a2+a4+a2n【解答】解：an=2ncos，nn*，an=a2k=2ncosk=2n（1）k=2n；an=a2k1=2n=0（kn*）s2016=a2+a4+a2n=22+24+22016=（220161）故答案为：（220161）【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边，且满足（1）证明：b+c=2a；（2）如图，点o是abc外一点，设aob=（0），oa=2ob=2，当b=c时，求平面四边形oacb面积的最大值【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】（1）由已知条件化简可得sinc+sinb=2sina，再由正弦定理可得b+c=2a；（2）由条件和（1）的结论可得abc为等边三角形，利用soacb=soab+sobc=，结合辅助角公式，可得平面四边形oacb面积的最大值【解答】（1）证明：，sinbcosa+sinccosa=2sinacosbsinacoscsina，sinbcosa+cosbsina+sinccosa+coscsina=2sina，sin（a+b）+sin（a+c）=2sina，sinc+sinb=2sina，b+c=2a；（2）解：b+c=2a，b=c，a=b=c，abc为等边三角形，soacb=soab+sobc=sin+=0，当且仅当，即时取最大值，最大值为【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，考查三角函数的性质，正确表示平面四边形oacb面积是关键18已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=n（nn*）（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=anan+2（nn*），tn=b1+b2+bn，求证：【考点】数列与不等式的综合【专题】点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用【分析】（1）将n换为n1，相减可得an=，检验n=1也成立；（2）由=（），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）a1+2a2+3a3+nan=n，a1+2a2+3a3+（n1）an1=n1，（n1）两式相减得，又a1=1，（2）证明：bn=anan+2（nn*），tn=b1+b2+bn=+，则=（）【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用下标变换法，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的性质，属于中档题19为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如表数据：处罚金额x（元）05101520会闯红灯的人数y8050402010（）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？（）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验求这两种金额之和不低于20元的概率；若用x表示这两种金额之和，求x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【专题】概率与统计【分析】（）由用表中数据所得频率代替概率，能求出处罚10元会闯红灯的概率与罚20元会闯红灯的概率的差（）设“两种金额之和不低于20元”的事件为a，从5种金额中随机抽取2种，总的选法有=10种，满足金额之和不低于20元的有6种，由此能求出所求的概率根据条件，x的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，由此能求出x的分布列和数学期望【解答】（本小题满分12分）解：（）由题意知，处罚10元会闯红灯的概率与罚20元会闯红灯的概率的差是：（）设“两种金额之和不低于20元”的事件为a，从5种金额中随机抽取2种，总的选法有=10种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求的概率为：根据条件，x的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为： x 5 10 15 20 25 30 35 p（x）ex=+=20【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题20如图，ab是圆o的直径，c是圆o上异于a、b的一个动点，dc垂直于圆o所在的平面，dceb，dc=eb=1，ab=4（1）求证：de平面acd；（2）若ac=bc，求平面aed与平面abe所成的锐二面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由线面垂直得dcbc，由圆周角性质得acbc，从而bc平面acd，由此能证明de平面acd（2）以c为原点，ca为x轴，cb为y轴，cd为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面aed与平面abe所成的锐二面角的余弦值【解答】解：（1）dc面abc，dcbc，又ab是o的直径，acbcacdc=c，ac，dc面acd，bc平面acd又dceb，dc=eb，四边形bcde是平行四边形，debc，de平面acd4分（2）如图，以c为原点，ca为x轴，cb为y轴，cd为z轴，建立空间直角坐标系，则，6分设平面ade的一个法向量，则，令x=1得8分设平面abe的一个法向量，则，令x=1得，10分，平面aed与平面abe所成的锐二面角的余弦值为12分【点评】本题考查立体几何中线面关系的判定和性质，考查空间向量知识的运用及二面角的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21已知函数f（x）=xeax+lnxe，（ar）（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）设g（x）=lnx+e，若函数h（x）=f（x）g（x）在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；（2）由题意可得xeax=，即有a=在x0时有两个不等的实数根，令m（x）=，求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到所求a的范围【解答】解：（1）函数f（x）=xex+lnxe的导数为f（x）=xex+ex+，即有函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为k=2e+1，切点为（1，0），则有函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y0=（2e+1）（x1），即为y=（2e+1）x2e1；（2）函数h（x）=f（x）g（x）=xeax，函数h（x）在定义域内存在两个零点，即为xeax=在x0有两个不等的实数根，即有a=在x0时有两个不等的实数根，令m（x）=，则导数m（x）=，当xe时，m（x）0，m（x）递减；当0xe时，m（x）0，m（x）递增即有x=e处取得极大值，且为最大值，则有0a，解得a0故实数a的取值范围是（，0）【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求得单调区间，属于中档题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，圆周角bac的平分线与圆交于点d，过点d的切线与弦ac的延长线交于点 e，ad交bc于点f（）求证：bcde；（）若d，e，c，f四点共圆，且=，求bac【考点】与圆有关的比例线段【专题】推理和证明【分析】（）通过证明edc=dcb，然后推出bcde（）解：证明cfa=ced，然后说明cfa=acf设dac=dab=x，在等腰acf中，=cfa+acf+caf=7x，求解即可【解答】解：（）证明：因为edc=dac，dac=dab，dab=dcb，所以edc=dcb，所以bcde（）解：因为d，e，c，f四点共圆，所以cfa=ced由（）知acf=ced，所以cfa=acf设dac=dab=x，因为=，所以cba=bac=2x，所以cfa=fba+fab=3x，在等